2023-2024学年四川省凉山州西昌市高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省凉山州西昌市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题注意事项：1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试题卷4页，答题卡2页.全卷满分为150分，考试时间120分钟.2.答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码站贴在答题卡的指定位置；选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，其他试题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应题框内，不得超越题框区域.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线方程为，所以斜率为1，故倾斜角为，故选:B.2.某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出15位同学进行项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（）A.8 B.6 C.4 D.3【答案】C【解析】由题：，故“史地政”组合中选出的同学人数为4人，故选：C．3.已知为等比数列，若，则的值为（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】因为，所以，故选:B.4.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A. B.（2，﹣1，2）C. D.（1，﹣2，1）【答案】A【解析】因为，，所以，，故向量在向量上的投影向量是.故选：A．5.若直线与圆相切，则m的值为（）A.21或 B.或1 C.5或 D.或15【答案】D【解析】圆的圆心为圆，半径为2，由题意可得：，解得或.故选：D.6.南宋数学家杨辉所著的《详析九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第二十层球的个数为（）A.210 B.220 C.230 D.240【答案】A【解析】设第层的小球个数为依次构成数列，由题：从而有规律：所以所以．即第20层有210个小球，故选：A．7.如图，在棱长为1的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离（）A.等于 B.和EF的长度有关C.等于 D.和点Q的位置有关【答案】A【解析】取的中点G，连接，则，所以点Q到平面的距离即点Q到平面的距离，与的长度无关，B错．又平面，所以点到平面的距离即点Q到平面的距离，即点Q到平面的距离，与点Q的位置无关，D错．如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，∴，，，设是平面的法向量，则由得令，则，所以是平面的一个法向量．设点Q到平面的距离为d，则，A对，C错．故选：A．8.已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第二象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意：设，分别为的中点，椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：，解得，又因为，且分别为，的中点，可得，所以到渐近线的距离为，所以，，结合，可得：，因为，所以即，整理得：，将代入得，即，所以.故选：C.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列命题为真命题的是（）A.若空间向量，，满足，则B.若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面C.若空间向量，，则D.对于任意空间向量，，必有【答案】BD【解析】若为零向量，有，但不一定成立，A错：三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B对；若为零向量，，，但不一定成立，C错：由，，而，所以，D对.故选：BD10.已知抛物线焦点为F，过点F的直线交抛物线于M，N两点，则下列结论正确的是（）A.抛物线的焦点坐标是B.焦点到准线的距离是4C.的最小值为8D.若点P的坐标为，则的最小值为6【答案】BCD【解析】A项，抛物线，所以，焦点坐标为，即，所以A错误；B项，焦点到准线的距离为，即4，所以B正确；C项，焦点弦MN，由几何性质可知通径最小，为，所以C正确；D项，如图所示，，当M，，P三点共线时有最小值为，所以D正确.故选：BCD.11.已知首项为1的数列的前n项和为，且，则下列结论正确的是（）A.数列为等比数列B.数列不是等比数列C.D.中任意三项不能构成等差数列【答案】ABD【解析】对于A,中位数2，极差为5，所以最大值不会超过7，符合条件；对于B，若过去10天的人数分别为，满足平均数为2，众数为2，但有一天人数超过7人，所以不符合条件，故B错误；对于C，因为平均数为2，标准差为，所以，若有一天人数超过7，设为8时，则，不符合题意，故没有一天人数超过7，故C正确；对于D，若过去10天的人数分别为，满足平均数为1，方差大于0，但有一天人数超过7人，所以不符合条件，故D错误，故选：AC.第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知方程表示双曲线，则实数m的取值范围为______.【答案】【解析】由双曲线的标准方程可得：，解得.所以实数的取值范围为.故答案为：.14.如图,电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为,则该电路正常工作的概率______.【答案】【解析】由题，该电路正常工作指的是A元件正常工作且B，C中至少有一个能正常工作，设A，B，C元件能正常工作为事件A，B，C，该电路正常工作为事件D，由题A，B，C相互独立，则故答案为：．15.已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为______．【答案】【解析】由已知数列为等差数列，则，又，所以，则，所以数列为递减数列，则当时，，当时，，所以当时，取得最大值，故答案为：.16.在中,,，，P为边AB上的动点，沿CP将折起形成直二面角，当最短时，＝__，此时三棱锥的体积为____．【答案】;【解析】作于点，连接，设，则，所以，在中，由余弦定理可得，，因为为直二面角，所以平面平面，因为平面平面，，且平面，所以平面，因为平面，所以，则，当最短时，，所以，即此时为的角平分线，，且由角平分线定理可得，，即，所以，所以.故答案为:；.四、解答题（本题共有6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图,在空间四边形中,,点为的中点,设.（1）试用向量表示向量；（2）若，求的值.解：（1）因为点E为的中点，所以．（2）因为，所以.18.某学校组织全校1000名学生参加了主题为“健康生活，积极运动”的大运会文创大赛，抽取了100名学生的得分进行分析，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生得分不低于80分的人数；（2）试估计该校学生比赛得分众数和80%分位数（80%分位数保留小数点后2位）；（3）若样本中有得分在的学生甲、乙两人，得分在的学生a，b，c三人，从这五人中抽取2人集中学习，请写出抽取的样本空间，并求出这2人得分都在的概率.解：（1）由频率分布直方图可知，，解得.该校学生得分不低于80分的人数为：.（2）众数：75因为，，所以80%分位数在内，所以80%分位数为：.（3）样本空间为共10种，2人得分在的情况有，，3种，所以这2人得分都在的概率为.19.已知圆，直线.（1）求证：直线恒过定点；（2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长.解：（1）直线的方程可化为联立，解得故直线恒过定点（2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短则直线的斜率为由得直线的斜率为，解得此时的方程为，即圆心到直线的距离为∴最短弦长故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为20.已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既是等差数列，又是等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，由题得，即，解得，，所以，；（2），则，.故.21.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，E点在AD上，且．（1）求证：平面平面PAC；（2）若直线PC与平面PAB所成的角为45°，求二面角的余弦值．解：（1）∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵，且，∴，∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，取BC中点G，连接AG，∴，即，由（1）可得，以A为坐标原点，AG为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立如图所示的坐标系由（1）可得，平面，∴为直线PC与平面所成角，即设平面的法向量为∵，∵，，∴，令，则，，∴∵x轴⊥平面，∴平面的法向量，设为二面角的平面角，且为锐角，∴.22.已知椭圆：经过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值．解：（1）由题可得，解得，所以椭圆的方程为．（2）由（1）知，设直线的方程为，由得，，因为，所以，即，所以，即，设，，所以，，因为，所以，即，所以，所以，即，解得或（舍），所以直线的方程为，即直线l恒过定点，令，，则，当时，最大值为．四川省凉山州西昌市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题注意事项：1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试题卷4页，答题卡2页.全卷满分为150分，考试时间120分钟.2.答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码站贴在答题卡的指定位置；选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，其他试题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应题框内，不得超越题框区域.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线方程为，所以斜率为1，故倾斜角为，故选:B.2.某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出15位同学进行项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（）A.8 B.6 C.4 D.3【答案】C【解析】由题：，故“史地政”组合中选出的同学人数为4人，故选：C．3.已知为等比数列，若，则的值为（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】因为，所以，故选:B.4.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A. B.（2，﹣1，2）C. D.（1，﹣2，1）【答案】A【解析】因为，，所以，，故向量在向量上的投影向量是.故选：A．5.若直线与圆相切，则m的值为（）A.21或 B.或1 C.5或 D.或15【答案】D【解析】圆的圆心为圆，半径为2，由题意可得：，解得或.故选：D.6.南宋数学家杨辉所著的《详析九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第二十层球的个数为（）A.210 B.220 C.230 D.240【答案】A【解析】设第层的小球个数为依次构成数列，由题：从而有规律：所以所以．即第20层有210个小球，故选：A．7.如图，在棱长为1的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离（）A.等于 B.和EF的长度有关C.等于 D.和点Q的位置有关【答案】A【解析】取的中点G，连接，则，所以点Q到平面的距离即点Q到平面的距离，与的长度无关，B错．又平面，所以点到平面的距离即点Q到平面的距离，即点Q到平面的距离，与点Q的位置无关，D错．如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，∴，，，设是平面的法向量，则由得令，则，所以是平面的一个法向量．设点Q到平面的距离为d，则，A对，C错．故选：A．8.已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第二象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意：设，分别为的中点，椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：，解得，又因为，且分别为，的中点，可得，所以到渐近线的距离为，所以，，结合，可得：，因为，所以即，整理得：，将代入得，即，所以.故选：C.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列命题为真命题的是（）A.若空间向量，，满足，则B.若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面C.若空间向量，，则D.对于任意空间向量，，必有【答案】BD【解析】若为零向量，有，但不一定成立，A错：三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B对；若为零向量，，，但不一定成立，C错：由，，而，所以，D对.故选：BD10.已知抛物线焦点为F，过点F的直线交抛物线于M，N两点，则下列结论正确的是（）A.抛物线的焦点坐标是B.焦点到准线的距离是4C.的最小值为8D.若点P的坐标为，则的最小值为6【答案】BCD【解析】A项，抛物线，所以，焦点坐标为，即，所以A错误；B项，焦点到准线的距离为，即4，所以B正确；C项，焦点弦MN，由几何性质可知通径最小，为，所以C正确；D项，如图所示，，当M，，P三点共线时有最小值为，所以D正确.故选：BCD.11.已知首项为1的数列的前n项和为，且，则下列结论正确的是（）A.数列为等比数列B.数列不是等比数列C.D.中任意三项不能构成等差数列【答案】ABD【解析】对于A,中位数2，极差为5，所以最大值不会超过7，符合条件；对于B，若过去10天的人数分别为，满足平均数为2，众数为2，但有一天人数超过7人，所以不符合条件，故B错误；对于C，因为平均数为2，标准差为，所以，若有一天人数超过7，设为8时，则，不符合题意，故没有一天人数超过7，故C正确；对于D，若过去10天的人数分别为，满足平均数为1，方差大于0，但有一天人数超过7人，所以不符合条件，故D错误，故选：AC.第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知方程表示双曲线，则实数m的取值范围为______.【答案】【解析】由双曲线的标准方程可得：，解得.所以实数的取值范围为.故答案为：.14.如图,电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为,则该电路正常工作的概率______.【答案】【解析】由题，该电路正常工作指的是A元件正常工作且B，C中至少有一个能正常工作，设A，B，C元件能正常工作为事件A，B，C，该电路正常工作为事件D，由题A，B，C相互独立，则故答案为：．15.已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为______．【答案】【解析】由已知数列为等差数列，则，又，所以，则，所以数列为递减数列，则当时，，当时，，所以当时，取得最大值，故答案为：.16.在中,,，，P为边AB上的动点，沿CP将折起形成直二面角，当最短时，＝__，此时三棱锥的体积为____．【答案】;【解析】作于点，连接，设，则，所以，在中，由余弦定理可得，，因为为直二面角，所以平面平面，因为平面平面，，且平面，所以平面，因为平面，所以，则，当最短时，，所以，即此时为的角平分线，，且由角平分线定理可得，，即，所以，所以.故答案为:；.四、解答题（本题共有6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图,在空间四边形中,,点为的中点,设.（1）试用向量表示向量；（2）若，求的值.解：（1）因为点E为的中点，所以．（2）因为，所以.18.某学校组织全校1000名学生参加了主题为“健康生活，积极运动”的大运会文创大赛，抽取了100名学生的得分进行分析，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生得分不低于80分的人数；（2）试估计该校学生比赛得分众数和80%分位数（80%分位数保留小数点后2位）；（3）若样本中有得分在的学生甲、乙两人，得分在的学生a，b，c三人，从这五人中抽取2人集中学习，请写出抽取的样本空间，并求出这2人得分都在的概率.解：（1）由频率分布直方图可知，，解得.该校学生得分不低于80分的人数为：.（2）众数：75因为，，所以80%分位数在内，所以80%分位数为：.（3）样本空间为共10种，2人得分在的情况有，，