《近似计算方法》课件

近似计算方法近似计算方法是求解数学问题的一种重要方法，尤其在无法获得精确解的情况下，通过近似计算可以得到近似解，并在实际应用中发挥重要作用。课程简介11.课程目标本课程旨在使学生掌握数值分析的基本理论和方法。22.课程内容课程涵盖误差分析、插值与拟合、数值微分和积分等内容。33.课程特点课程注重理论与实践结合，并结合实例讲解。课程大纲数值分析概述介绍数值分析的基本概念、发展历史和应用领域。误差分析讨论数值计算中出现的各种误差，包括舍入误差和截断误差。插值与拟合介绍插值和拟合方法，用于估计未知函数值。数值微分和积分介绍数值微分和积分方法，用于近似计算函数的导数和积分。一、数值分析概述数值分析是数学的一个分支，它研究如何用数值方法求解数学问题。它关注的是近似解的误差估计和误差控制。数值分析的基本概念近似计算数值分析使用数值方法来近似求解数学问题。由于实际问题中，很多数学问题无法得到精确解，因此，数值分析方法通过迭代或近似的方式，寻求问题的近似解。误差分析数值分析方法总会带来误差，因此误差分析至关重要。误差分析用于评估数值方法的准确性，并确定误差来源和控制误差。算法数值分析依赖于一系列算法，这些算法用于执行各种计算任务，如插值、微分、积分和求解方程等。应用领域数值分析广泛应用于科学、工程、金融和计算机科学等领域。它为解决现实世界中的复杂问题提供了有力工具。数值分析的发展历程古代文明古代巴比伦和埃及人已经发展出一些简单的数值方法，例如线性方程组的解法。中世纪中世纪时期，数学家们对数值方法进行了更深入的研究，例如牛顿法和插值法。17世纪牛顿和莱布尼茨建立了微积分，为数值分析的发展奠定了基础。19世纪随着计算机技术的发展，数值分析得到了快速发展，并应用于各种领域。20世纪数值分析在现代科学和工程领域发挥着至关重要的作用，例如天气预报、金融建模和药物研发。数值分析的应用领域科学计算数值分析广泛应用于科学计算领域，如物理、化学、工程和生物学等。数据分析数值分析在数据分析中扮演着重要角色，例如数据挖掘、机器学习和统计建模等。金融工程在金融工程领域，数值分析用于模型构建、风险管理和投资策略优化等。计算机图形学数值分析在计算机图形学领域应用广泛，例如三维建模、渲染和动画等。二、误差分析数值分析中，误差分析是不可或缺的一部分。它涉及到研究和分析各种误差来源，并评估它们对计算结果的影响。误差的定义和类型精确值与近似值精确值是指理论上的真实值，而近似值是在实际计算中获得的近似值。误差定义误差是指精确值与近似值之间的差异，反映了近似值与真实值的偏离程度。误差类型误差主要分为绝对误差和相对误差，分别反映了误差的绝对大小和相对大小。绝对误差和相对误差绝对误差是真实值与近似值之差，表示误差的大小。相对误差是绝对误差与真实值之比，表示误差相对于真实值的比例。1真实值指实际的、准确的值。2近似值指通过计算或测量得到的值，与真实值之间存在误差。3绝对误差真实值与近似值之差。4相对误差绝对误差与真实值之比。舍入误差分析1浮点数表示计算机使用有限位数表示实数，导致舍入误差2舍入规则四舍五入、截断或其他方法影响误差大小3误差累积舍入误差在计算过程中不断累积，影响最终结果精度舍入误差分析是数值分析的重要组成部分，它评估计算机表示实数时的误差，并研究误差如何传播和累积。截断误差分析数值方法使用近似公式来模拟实际问题，这会导致截断误差的产生。1近似公式使用有限项来逼近无穷级数2误差来源由于公式的有限性，忽略了部分项3误差大小与忽略的项数和项的大小有关为了减少截断误差，可以使用更高阶的近似公式，或者增加公式的项数。截断误差分析是数值方法中重要的组成部分，它帮助我们理解误差产生的原因，并采取措施来控制误差。三、插值与拟合插值和拟合是数值分析中两个重要的概念。插值是指使用已知数据点来构造一个函数，使该函数在这些数据点处的值与已知数据点完全一致。拟合是指使用已知数据点来构造一个函数，使该函数在所有数据点处的值尽可能地接近已知数据点。线性插值线性插值线性插值是一种简单且常用的插值方法，通过已知数据点绘制直线，并在直线上找到未知点对应的值。应用场景数据预测图像处理数值计算Newton插值多项式基本原理Newton插值多项式利用差商来构建多项式，它可以逼近给定数据点的函数值。公式推导插值多项式的系数由差商决定，通过递归公式可以得到这些系数。应用范围Newton插值多项式在数值分析、数据拟合、函数逼近等方面有着广泛应用。样条插值1分段多项式使用分段多项式进行插值，可以更好地控制曲线的形状。2光滑性样条插值可以确保插值曲线在连接点处光滑连续。3灵活性和可控性用户可以调整样条曲线的形状，以满足不同的需求。最小二乘法最小二乘法原理最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化数据点与拟合曲线之间的误差平方和来找到最优拟合曲线。该方法可以用于线性拟合、多项式拟合和非线性拟合。四、数值微分和积分数值微分和积分是数值分析中的重要组成部分。它们提供了一种近似计算函数导数和积分的方法。前、后和中心差分前差分用函数在当前点和前一点的差值来近似导数。后差分用函数在当前点和后一点的差值来近似导数。中心差分用函数在当前点前后两点的差值来近似导数。Simpson积分公式Simpson积分公式是数值积分中常用的公式之一，它利用二次多项式近似函数曲线，从而得到积分的近似值。Simpson积分公式的精度比梯形公式高，特别适用于被积函数在积分区间内变化较大的情况。Simpson积分公式的误差与步长h的四次方成正比，因此当步长越小时，误差越小。在实际应用中，可以根据需要选择合适的步长来控制积分的精度。梯形积分公式公式∫a^bf(x)dx≈h/2[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+2f(b-h)+f(b)]h步长(b-a)/nn分割区间数量梯形积分公式通过将曲线下的面积近似为一系列梯形的面积来计算积分值。该公式在数值分析中广泛应用于近似计算定积分。五、常微分方程的数值解法常微分方程是描述自然界和工程领域中许多现象的重要数学工具。许多常微分方程没有解析解，只能采用数值方法求解。Euler法基本原理Euler法是最简单的常微分方程数值解法之一。该方法基于导数的定义，使用当前时刻的解和导数来估计下一个时刻的解。Euler法采用一阶近似，即用当前时刻的导数来近似下一时刻的解，该方法的精度较低，误差较大。公式设微分方程为y'=f(t,y)，初始条件为y(t0)=y0。Euler公式如下：yn+1=yn+h*f(tn,yn)，其中h为步长。Runge-Kutta法高阶精度Runge-Kutta法是一种数值积分方法，它通过多个中间点来逼近解，提高了精度。计算效率该方法在计算效率方面优于低阶方法，可以更准确地求解微分方程。应用广泛Runge-Kutta法在科学、工程和金融领域都有广泛的应用，是解决常微分方程的常用方法。多步法亚当斯-巴什福斯公式利用前几个时间步长的数值解来逼近当前时间步长的数值解。米尔恩公式采用前几个时间步长的数值解来构建一个预测值，然后用该预测值来改进数值解。预测-校正方法先进行一个预测步骤，再进行一个校正步骤，以提高数值解的精度。六、偏微分方程的数值解法偏微分方程广泛应用于物理学、工程学和金融学等领域。数值解法提供了逼近偏微分方程解的有效方法。有限差分法网格离散化将连续的偏微分方程定义域离散为网格点，用网格点上的函数值近似表示。导数近似用差商代替偏导数，将偏微分方程转换为差分方程。差分方程求解通过求解差分方程，得到网格点上的函数值，从而近似得到解。误差分析分析差分法解的误差，包括截断误差和舍入误差。有限元法11.将求解域离散化将连续的求解域划分为若干个互不重叠的单元，并对每个单元定义相应的节点。22.建立单元方程在每个单元上建立一个近似解函数，并根据该函数求解单元上的节点值。33.汇集单元方程将所有单元方程汇集在一起，形成一个全局方程组，并求解全局方程组得到节点值。4