高三理科数学二轮复习讲义模块一第六讲填空题技法

第六讲填空题技法攻略题型概述填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力．根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：(1)定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等．(2)定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等.技法指导方法一直接法直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法．【典例1】(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．[解析]双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，圆心A到此渐近线的距离d＝eq\f(|ba－a×0|,\r(b2＋a2))＝eq\f(ab,c)，因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝eq\f(ab,c)，即eq\f(\r(3)b,2)＝eq\f(ab,c)，所以e＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).[答案]eq\f(2\r(3),3)直接法求解填空题的关键利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．[对点训练]1．(2017·合肥质检)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________.[解析]a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.[答案]－6方法二特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．【典例2】cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为________．[解析]令α＝0，则原式＝cos20＋cos2120°＋cos2240°＝eq\f(3,2).[答案]eq\f(3,2)特例法求解填空题的技巧求值或比较大小等问题的求解均可利用特例法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．[对点训练]2．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝________.[解析]解法一：如图，可取过焦点的直线为x＝eq\f(1,2)，求出交点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，所以eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋1×(－1)＝－eq\f(3,4).解法二：设点A(xA，yA)，点B(xB，yB)，由题意，知p＝1.设AB的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))))消去x得ky2－2y－k＝0∴yAyB＝－1，∴xAxB＝eq\f(y\o\al(2,A),2)·eq\f(y\o\al(2,B),2)＝eq\f(1,4).则eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝(xA，yA)·(xB，yB)＝xAxB＋yAyB＝eq\f(1,4)－1＝－eq\f(3,4).[答案]－eq\f(3,4)方法三图解法(数形结合法)对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．【典例3】(2017·贵阳模拟)若不等式|x－2a|≥eq\f(1,2)x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．[解析]作出y＝|x－2a|和y＝eq\f(1,2)x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤eq\f(1,2).[答案]eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))图解法求解填空题的要点图解法可直观快捷得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系．[对点训练]3．已知点P(x，y)的坐标x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,|x|－y－1≤0，))则x2＋y2－6x＋9的取值范围是________．[解析]画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，∴deq\o\al(2,min)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|3－0－1|,\r(12＋－12))))2＝(eq\r(2))2＝2.最大值为点Q到点A的距离的平方，∴deq\o\al(2,max)＝16.∴取值范围是[2,16]．[答案][2,16]方法四构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．【典例4】(2017·安徽淮北二模)中国古代数学经典《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(biēnào)．若三棱锥P－ABC为鳖臑，且PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，又该鳖臑的外接球的表面积为24π，则该鳖臑的体积为________．[解析]由题意，该鳖臑实质就是四个面都为直角三角形的三棱锥．设该鳖臑的外接球半径为R，则由已知可得24π＝4πR2，即R2＝6.由PA2＋AB2＋BC2＝(2R)2，得4＋4＋BC2＝24，解得BC＝4.故该鳖臑的体积为V＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×2×4＝eq\f(8,3).[答案]eq\f(8,3)[探究追问]将本例改为如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知三棱锥P－ADE为鳖臑，且PA⊥平面ABCE，AD＝CD＝2，ED＝1，该鳖臑的外接球的表面积为9π，则阳马P－ABCD的外接球体积为()A．4eq\r(2)π B．4eq\r(3)πC．2eq\r(3)π D．2eq\r(2)π[解析]由题意得，在三棱锥P－ADE中，ED⊥DA，又PA⊥平面ABCE，所以其外接球的直径2r＝PE.设PA＝x，则2r＝eq\r(PA2＋AD2＋DE2)＝eq\r(x2＋22＋12)＝eq\r(x2＋5).由该鳖臑的外接球的表面积S＝4πr2＝π(x2＋5)＝9π，得x＝2.易知阳马P－ABCD的外接球直径2R＝PC，即2R＝eq\r(PA2＋AD2＋DC2)＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3)，所以R＝eq\r(3).故阳马P－ABCD的外接球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.[答案]B(1)构造法求解填空题的技巧构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式、数列、空间几何体等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．(2)本例中根据“鳖臑”的几何特征，可知AB与AC不垂直，只有AB⊥BC时，三棱锥的四个面才能都是直角三角形．在确定其外接球的直径时，可依据球的直径的两端点与球面上任意一点所组成的角都是直角，直接找出其直径PC；当然，也可以把“鳖臑”补成一个长方体，可更为直观地找出外接球的直径．在探究追问中，“阳马”与“鳖臑”的外接球都是用构造法找出外接球的直径．[对点训练]4．若定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式f(x)>eq\f(3,ex)＋1(e为自然对数的底数)的解集为________．[解析]由f(x)>eq\f(3,ex)＋1得，exf(x)>3＋ex，构造函数F(x)＝exf(x)－ex－3，对F(x)求导得F′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]．由f(x)＋f′(x)>1，ex>0，可知F′(x)>0，即F(x)在R上单调递增，又因为F(0)＝e0f(0)－e0－3＝f(0)－4＝0，所以F(x)>0的解集为(0，＋∞)．[答案](0，＋∞)方法五归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．【典例5】(2017·沧州联考)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．[解析]若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．[答案]甲归纳推理法求解填空题的技巧归纳推理法多用于新定义型填空题，只要能读懂题意，认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，关键是找准归纳的对象．[对点训练]5．(2017·兰州市高考实战模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.[解析]∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.[答案]n2方法六正反互推法多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论．【典例6】(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)[解析]由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝eq\r(2)，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝eq\r(2)，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝eq\r(2)，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，∴BF＝DE＝eq\r(2)，∴△ABF为等边三角形，∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．∴正确的说法为②③.[答案]②③正反互推法求解填空题的技巧正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能．两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断．利用正反互推结合可以快速解决这类问题．[对点训练]6．若函数y＝f(x)对定义域D内的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使得f(x1)·f(x2)＝1成立，则称f(x)为“自倒函数”，给出下列四个命题：①f(x)＝sinx＋eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))))是自倒函数；②自倒函数f(x)的值域可以是R；③自倒函数f(x)可以是