高三理科数学二轮复习讲义模块二专题六第一讲排列组合与二项式定理

专题六概率与统计、算法、复数、推理与证明第一讲排列、组合与二项式定理1．考查排列、组合的实际应用．2．考查二项式系数、常数项、二项式指定项的求解.1．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24 B．18C．12 D．9[解析]由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B.[答案]B2．(2017·全国卷Ⅰ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6展开式中x2的系数为()A．15 B．20C．30 D．35[解析]对于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6，若要得到x2项，可以在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))中选取1，此时(1＋x)6中要选取含x2的项，则系数为Ceq\o\al(2,6)；当在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))中选取eq\f(1,x2)时，(1＋x)6中要选取含x4的项，即系数为Ceq\o\al(4,6)，所以，展开式中x2项的系数为Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,6)＝30，故选C.[答案]C3．(2015·湖北卷)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．212 B．211C．210 D．29[解析]∵(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为Ceq\o\al(3,n)，Ceq\o\al(7,n)，∴Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(7,n)，得n＝10.对(1＋x)10，令x＝1，得(1＋1)10＝Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(3,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210，①令x＝－1，得(1－1)10＝Ceq\o\al(0,10)－Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,10)－…＋Ceq\o\al(10,10)＝0，②利用①＋②可得2×(Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10))＝210，∴奇数项的二项式系数和为Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝29.[答案]D4．(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20C．30 D．60[解析](x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有Ceq\o\al(2,5)(x2＋x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝30，故选C.[答案]C5．(2017·天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)[解析]分两类：①有一个数字是偶数的四位数有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝960个．②没有偶数的四位数有Aeq\o\al(4,5)＝120个．故这样的四位数一共有960＋120＝1080个．[答案]1080考点一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．[对点训练]1．已知I＝{1,2,3}，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，则集合A，B共有()A．12对 B．15对C．18对 D．20对[解析]依题意，当A，B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋2＝8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A，B均有两个元素时，有3对．所以共有3＋8＋3＋3＋3＝20对，选D.[答案]D2．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种 B．18种C．24种 D．36种[解析]第一步：将4项工作分成3组，共有Ceq\o\al(2,4)种分法．第二步：将3组工作分配给3名志愿者，共有Aeq\o\al(3,3)种分配方法，故共有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝36种安排方式，故选D.[答案]D3．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为()A．240 B．204C．729 D．920[解析]分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个；当中间数为3时，有2×3＝6个；当中间数为4时，有3×4＝12个；当中间数为5时，有4×5＝20个；当中间数为6时，有5×6＝30个；当中间数为7时，有6×7＝42个；当中间数为8时，有7×8＝56个；当中间数为9时，有8×9＝72个．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个凸数．[答案]A两个计数原理的应用技巧(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．考点二排列与组合名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复不同点①排列与顺序有关；②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同①组合与顺序无关；②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同[对点训练]1．(2017·山西四校联考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120C．144 D．168[解析]依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.[答案]B[探究追问](1)若第1题中改为“同类节目必须相邻”，则有多少种不同的排法？(2)若第1题中改为“相声类节目不排第一个，小品类节目不排最后一个，则有多少种不同的排法？”[解析](1)(捆绑法)将歌舞类节目，2个小品类节目分别各自作一个节目与相声类节目排列，共有Aeq\o\al(3,3)种不同排法．又歌舞类节目有Aeq\o\al(3,3)种排法，小品类节目有Aeq\o\al(2,2)种排法，所以共有Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,2)＝72(种)不同排法．(2)分两类：第一类，若第一个节目排歌舞类，由于最后一个不排小品类节目，有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝216(种)排法；第二类，若第一个节目排小品类节目，则有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝192(种)排法．故共有216＋192＝408(种)不同的排法．[答案](1)72种(2)408种2．(2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)[解析]从8人中选出4人，且至少有1名女学生的选法种数为Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,6)＝55.从4人中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人的选法为Aeq\o\al(2,4)＝12种．故总共有55×12＝660种选法．[答案]6603．(2017·北京西城一模)某种产品的加工需要A，B，C，D，E五道工艺，其中A必须在D的前面完成(不一定相邻)，其他工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B与C必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有________种．(用数字作答)[解析]B与C必须相邻，看作一个元素，与剩下三个元素全排列共有Aeq\o\al(4,4)种排法，而B与C的顺序有Aeq\o\al(2,2)种排法，又A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有eq\f(A\o\al(4,4)·A\o\al(2,2),A\o\al(2,2))＝24(种)．[答案]24解排列组合综合应用题的解题流程考点三二项式定理1．通项与二项式系数Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk(k＝0,1,2，…，n)，其中Ceq\o\al(k,n)叫做二项式系数．2．二项式系数的性质(1)Ceq\o\al(0,n)＝Ceq\o\al(n,n)，Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(n－1,n)，…，Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n)；(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；(3)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1.[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80 B．－40C．40 D．80[解析](2x－y)5的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·(2x)5－r·(－y)r＝(－1)r·25－rCeq\o\al(r,5)·x5－ryr.其中x2y3项的系数为(－1)3·22·Ceq\o\al(3,5)＝－40，x3y2项的系数为(－1)2·23·Ceq\o\al(2,5)＝80.于是(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为－40＋80＝40.[答案]C2．(2017·大连质监)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(1,x)))(2x－1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．－20 B．－10C．10 D．20[解析]令x＝1，可得a＋1＝2，所以a＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(1,x)))(2x－1)5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))(2x－1)5，则展开式中常数项为2Ceq\o\al(4,5)(－1)4＝10.[答案]C3．(2017·广东肇庆三模)(x＋2y)7的展开式中，系数最大的项是()A．68y7 B．112x3y4C．672x2y5 D．1344x2y5[解析]设第r＋1项的系数最大，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,7)·2r≥C\o\al(r－1,7)·2r－1，,C\o\al(r,7)·2r≥C\o\al(r＋1,7)·2r＋1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7！,r！7－r！)·2r≥\f(7！,r－1！7－r＋1！)·2r－1，,\f(7！,r！7－r！)·2r≥\f(7！,r＋1！7－r－1！)·2r＋1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,r)≥\f(1,8－r)，,\f(1,7－r)≥\f(2,r＋1)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r≤\f(16,3)，,r≥\f(13,3).))又∵r∈Z，∴r＝5.∴系数最大的项为T6＝Ceq\o\al(5,7)x2·25y5＝672x2y5.故选C.[答案]C4．(2017·江西抚州一模)在(1－x)(1＋x)4的展开式中，含x2项的系数是b.若(2－bx)7＝a0＋a1x＋…＋a7x7，则a1＋a2＋…＋a7＝________.[解析]在(1－x)(1＋x)4的展开式中，含x2项的系数是b，则b＝Ceq\o\al(2,4)－Ceq\o\al(1,4)＝2.(2－2x)7＝a0＋a1x＋…＋a7x7，令x＝0，得a0＝27，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝0，∴a1＋a2＋…＋a7＝0－27＝－128.[答案]－128利用二项式定理求解的3种常用思路(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．(3)二项展开式的最大项是通过不等式组确定的．【易错提醒】(1)通项公式表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；(2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；(3)公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置．热点课题21分类讨论思想在排列组合中的应用[感悟体验]1．(2017·济南二模)某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选