高中数学讲义（人教B版2019必修三）第11讲735已知三角函数值求角

专题已知三角函数值求角TOC\o"13"\h\u题型1已知角求角 2◆类型1已知正弦值求角 2◆类型2已知余弦值求角 4◆类型3已知正切值求角 6题型2利用单位圆中的三角函数线解不等式 8知识点一.利用三角函数线求角在单位圆中，MP是正弦线，OM是余弦线，AT是正切线，作出三角函数线，即可求得角的大小.知识点二.利用三角函数图象求角或角的范围用三角函数图象解sinx>a（或cosx>a）的方法作出直线y=a，y=sinx（或y=cosx）的图像；（2）确定sinx=a（或cosx=a）的x的值；（3）选取一个合适的周期写出sinx>a（或cosx>a）的解集，要尽量使解集为一个连续区间。知识点三.已知三角函数值求角的符号表示1.已知正弦值求角对于正弦函数y=sinx，如果已知函数值y(y∈[1，1])，那么在[−π2,π2]2.已知余弦值求角对于余弦函数y=cosx，如果已知函数值y(y∈[1，1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记为x=arccosy（其中1≤y≤1，0≤x≤π）.3.已知正切值求角一般地，如果y=tanx（y∈R）且x∈(−π区间(−π2,π2知识点四.已知三角函数值求角的相关规律对于已知正弦值求角的规律sinx=a(|a|≤1)x∈[−x∈[0,2π]x=arcsiny0≤a≤11≤a＜0x1=arcsinax2=πarcsinax1=πarcsinax2=2π+arcsina2.利用余弦值求角、解不等式规律将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[π,π]的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围.3.已知正切值求角的规律可先求出(−π集为{x|x=kπ＋arctana，k∈Z}题型1已知角求角◆类型1已知正弦值求角【例题11】（2023秋·天津河西·高一校考期末）满足方程sinx=−12的x的取值为（

）A．｛xx=7π6+2kC．｛xx=7π6+2k【答案】A【分析】先求出方程sinx=−1【详解】由题意得，在一个周期[0,2π)内，满足sinx=−12的x为根据正弦函数的周期性可得，满足sinx｛xx=故选：A．【变式11】1．（2023秋·江苏南通·高一统考期末）“α=2kπ+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分、必要条件结合任意角的正弦函数分析判断.【详解】若α=2kπ+若sinα=12，则α=2综上所述：“α=2kπ+故选：A.【变式11】2．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第四中学校考期末）a=π6A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】由α=π6，得π由sinπ−α=12，得故选：A【变式11】3．（2021春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）与集合A=A．x|x=2C．x|x=【答案】C【分析】求出集合A中角x的终边，即可求解.【详解】当sinx=2即A==x所以集合A=x|sin故选：C◆类型2已知余弦值求角【例题12】（2022春·广西桂林·高一校考期末）已知cosα=−32，且【答案】5π【分析】由余弦函数的性质计算即可.【详解】因为cosα=−3由余弦函数的图像和性质可得α=故答案为：5π【变式12】1．（多选）（2021春·辽宁大连·高一大连市第三十六中学校考期中）若cos3x+A．π6 B．π2 C．2π【答案】BC【分析】解出x的范围，即可求解.【详解】解：cos3x+解得：x=2kπ或x=2kπ故选：BC【变式12】2．（2023·高一课时练习）已知x=π3是方程2cosx+【答案】π3或【分析】由题可得cosπ3+【详解】由题意可得2cosπ3+∵0<α∴π所以π3+α解得α=π3故答案为：π3或π【变式12】3．（2023·高一课时练习）若cosx【答案】x|x【分析】直接解三角方程即可得到答案.【详解】因为cosx−π3=12，所以x解得：x=2kπk∈Z或所以满足条件的角x的集合是x|x=2故答案为：x|x=2【变式12】4．（2022春·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考阶段练习）方程2sinx−π【答案】5【分析】利用特殊角的三角函数值即可求解.【详解】因为2sinx−π∴x−π4=2即x=2kπ+5π∵x∈0,故答案为：5π◆类型3已知正切值求角【例题13】（2020春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）三角方程tan2x=3在(0,【答案】π【分析】解三角不等式，结合x的范围求出答案.【详解】tan2x=3因为x∈(0,π3)，所以只有当故答案为：π【变式13】1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）“tanθ−πA．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先根据tanθ−π【详解】由tanθ−π4−1=0故“tanθ−π故选：A【变式13】2．（2021春·上海徐汇·高一上海中学校考期中）已知角x∈0,π，且满足：3【答案】π4或【分析】根据正切函数值求解．【详解】由已知得，3tan2x−π3=1，tan又因为x∈0,π，所以x故答案为：π4或3【变式13】3．（2021春·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）方程cos(x+π【答案】5【分析】由cos(x+π4)=−12【详解】解：由cos(x则x+π即x=2kπ又∵x∈∴x=5π故答案为：5π【变式13】4．（2023·高一课时练习）已知集合A={x|cos(π2【答案】{【分析】根据余弦函数及正切函数的函数值，求出所对应的x的值，即集合A，B，再求A【详解】∵cos(πx=∵tanx那么A∩B=故答案为：{题型2利用单位圆中的三角函数线解不等式【方法总结】利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法（1）首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角x满足条件的终边的位置.（2）角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.（3）写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求.提醒：在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合.【例题2】（2019春·全国·高一专题练习）利用三角函数线，sinx【答案】{【分析】如图，当角的终边位于图中阴影部分时，正弦线的大小不超过12，根据sinx=【详解】如图，作出满足sinx=12的角的正弦线M1当角的终边位于图中阴影部分时，正弦线的大小不超过12因此，满足sinx≤1故答案为：{x【变式21】1．（2020·高一课时练习）利用三角函数线,确定满足不等式−12≤cos【答案】2kπ−2π3≤θ【解析】分别过点(32,0)和(−12,0)作x轴垂线交单位圆于【详解】解:作出以坐标原点为圆心的单位圆,分别作直线x=−12,x=32,直线x=−12与单位圆交于点P1,P2与x轴交于点M,直线x=32与单位圆交于点P3,P4,与x轴交于点M2,连接OP1,OP2,OP3,OP4.在−π,π范围内,cos2π3=cos−2π3=−【点睛】本题考查用三角函数线解三角不等式，可以根据图形写出一个周期内的解集，然后再加上周期．【变式21】2．（2021·江苏·高一专题练习）利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合：(1)sinα≥22(2)cosα≤12【答案】(1){α(2){α【分析】根据正余弦的函数值，在单位圆中画出对应角的范围即可知α的集合.(1)由下图知：当sinα≥22时，角α满足的集合为{(2)由下图知：当cosα≤12时，角α满足的集合为{【变式21】3．（2022·高一课时练习）用单位圆中的三角函数线说明:对于任意角α,不等式|sinα【答案】见解析【解析】如图所示，OM为角α的余弦线，MP为角α的正弦线，根据三角形两边之和大于第三边，再考虑特殊情况得到证明.【详解】如图所示：OM为角α的余弦线，MP为角α的正弦线.在△OMP中，|OM|+|当O，M，P三点共线时，|sin所以对于任意角α，|sinα【点睛】本题考查了三角函数的正弦线和余弦线，意在考查学生的推断能力.【变式21】4．（2022·高一课时练习）利用三角函数线，写出满足|cosα|＞|sinα|的角α的集合．【答案】α【详解】如图，作出单位圆．所以角α满足的集合为.【变式21】5．（2019·高一课时练习）利用单位圆和三角函数线．（1）证明：sinα<α（2）已知0≤x≤2π【答案】（1）证明见解析（2）π【分析】（1）在单位圆中作出角的正弦线,正切线,由三角形的面积大小关系可得；（2）利用三角函数线分别解出两不等式,求交集即可．【详解】(1)如图所示，在单位圆中作出角α的正弦线MP，正切线AT由SΔOAP<SMP<AP<(2)由图可知，，当0≤x≤2π时，sin当角x在第一象限，MP>0,OM>0当x=π2时，MP当角x在第二象限，MP>0，OM<0，当x=π时，当角x在第三象限，MP<0,OM<0当x=3π当角x在第四象限，MP<0,当x=2π时，综上可得x∈当0≤x≤2π时，sin当角x在第一象限，0<MP当角x在第二象限，MP>0,AT<0当角x在第三象限，MP<0,当角x在第四象限，MP<0,AT<0，MP综上可得x∈所以不等式组sinx>cosx【点睛】本题主要考查三角函数线的应用,考查学生数形结合的能力．【变式21】6．（2019·高一课时练习）利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则（1）sinα（2）sin2【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】如图，记角α的两边与单位圆的交点分别为点A，P，点A在x轴正半轴上，过点P作PM⊥x轴于点M，则sinα（1）由三角形的两边之和大于第三边即可得答案；（2）由勾股定理即可得答案．【详解】证明：如图，记角α的两边与单位圆的交点分别为点A，P，点A在x轴正半轴上，过点P作PM⊥x轴于点M，则sinα（1）在RtΔOMP中，MP+OM（2）在RtΔOMP中，MP2【点睛】本题考查利用三角函数线和三角形的边长关系证明三角不等式与等式问题，属于一般题．【变式21】7．（2021秋·江苏·高一专题练习）阅读与探究人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学4(必修)》在第一章的小结中写道：将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数.因此，正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质(主要是对称性)之间存在着非常紧密的联系.例如，和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为2π与正弦函数、余弦函数的周期为2π是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等下而我们再从图形角度认识一下三角函数.如图，角a的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的重线，重足为M.根据三角函数定义.我们有：|如图.过点A(1，0)作单位圆的切线.这条切线必然平行于y轴(为什么?)，设它与a的终边(当a为第一、四象限角时)或其反向延长线(当a为第二、三象限角时)相交于点T.根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段OA，AT.我们有tanα依据上述材料，利用正切线可以讨论研究得出正切函数y=tanx的性质．比如：由图可知，角α的终边落在四个象限时均存在正切线；角α的终边落在x轴上时，其正切线缩为一个点，值为0；角α的终边落在y轴上时，其正切线不存在；所以正切函数y=tan(1)请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数y=tan(2)根据阅读材料中图，若角α为锐角，求证：sinα【答案】(1)在区间−π(2)证明见解析【分析】（1）在单位圆中画出角x∈−π2，π2的正切线，