计算机科学导论第二章数制

2025/2/14第2章数制NumberSystems2025/2/14理解数制的概念.

分清位置化数制和非位置化数制.

描述十进制.描述二进制.

将十进制转换为二进制、八进制或十六进制.

将二进制和八进制相互转换.

将二进制和十六进制相互转换.

查找在各种系统中代表特定数值所需的数码.目标通过本章的学习，同学们应该能够:2025/2/142-1引言INTRODUCTION数制定义了如何用独特的符号来表示一个数字.在不同的系统中，数字有不同的表示方法.例如，这两个数字(2A)16

和(52)8

都是指同样的数量(42)10,但是它们的表示截然不同.

一些数制系统已经在过去广为使用，并可以分为两类：位置化数制和非位置化数制.我们的主要目标是讨论位置化数制系统，但也给出非位置化数制系统的例子.2025/2/142-2位置化数制系统POSITIONALNUMBERSYSTEMS在位置化数制系统中，符号所占据的位置决定了其表示的值。它的值是:2025/2/14位置化数制系统

其中，S是一套符号集，Si是数码（数字符号），b是底或基数（数码的个数）.

bi：权（数值中每一固定位置对应的单位）计数规则：逢基数进一例：(123.45)10=1×102+2×101+3×100+4×10-1+5×10-2(101.01)2=1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2

2025/2/14下标法：用小括号将所表示的数括起来，然后在右括号右下角写上数制的基R。字母法：在所表示的数的末尾写上相应数制字母。2025/2/14进制符号数码二进制

B(Binary)

0~1八进制

O(Octal)

0~7十进制

D(Decimal)

0~9十六进制H(Hexadecimal)0~9,A~F2025/2/14S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}十进制系统Thedecimalsystem(以10为底)十进制来源于拉丁词根decem(ten).在该系统中，底b=10，并且我们用10个符号来表示一个数该系统中的符号，常被称为十进制数码，或仅称为数码.

2025/2/14整数Figure2.1在十进制系统中使用位置量表示整数2025/2/14Example2.1在十进制系统中使用位置量表示整数+224.注意，在位置1的数码2值为20，但是在位置2的同一个数码其值为200。通常我们省略掉的加号，实际上是隐含的.2025/2/14Example2.2在十进制系统中使用位置量表示整数−7508.可以用k表示的十进制整数的最大值？答案是Nmax=10k-1。如果k=5，那么这个最大值是Nmax=105-1=99999.()Values2025/2/14实数Example2.3以下显示了实数+24.13的位置量.2025/2/14二进制binary来源于拉丁词根bini(二).在该系统中，底b=2,并且用两个符号来表示一个数

二进制系统Thebinarysystem(以2为底)S={0,1}该系统中的符号常被称为二进制数码或位2025/2/14整数Figure2.2在二进制系统中使用位置量表示整数2025/2/14Example2.4二进制数(11001)2，下标2表示底是2.相等的十进制数是N=16+8+0+0+1=25.2025/2/14实数Example2.5与十进制数5.75等值的二进制数(101.11)2.2025/2/14十六进制hexadecimal来源于希腊词根hex(six)和拉丁词根decem(ten).在该系统中，底b=16，并且用16个符号来表示一个数.字符集是，十六进制系统Thehexadecimalsystem(以16为底)S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}注意符号A,B,C,D,E,F分别等于10,11,12,13,14,15.该系统中的符号常被称为十六进制数码.2025/2/14整数Figure2.3在十六进制系统中使用位置量表示一个整数2025/2/14Example2.6与十进制数686等值的十六进制数(2AE)16.相等的十进制数为N=512+160+14=686.2025/2/14八进制octal来源于拉丁词根octo(八).在该系统中，底b=8，并且用8个符号来表示一个数.字符集是，八进制系统Theoctalsystem(以8为底)S={0,1,2,3,4,5,6,7}2025/2/14整数Figure2.4在八进制系统中使用位置量表示一个整数2025/2/14Example2.7八进制数(1256)8.相等的十进制数为N=512+128+40+6=686.2025/2/14表2.1是本章讨论的四种位置化系统的小结.四种位置化系统总结2025/2/14表2.2显示了数字0到15在不同的系统中是如何表示的.2025/2/14如何将一种系统中的数字转换为另一个系统中等价的数字？

如何从其他进制转换到十进制.如何从十进制转换到其他进制.如何简便地进行二进制与八进制或十六进制之间的相互转换.转换

2025/2/14其他进制到十进制的转换Figure2.5任意进制到十进制的转换2025/2/14Example2.8如何将二进制数(110.11)2

转换为十进制数6.75.2025/2/14Example2.9如何将十六进制数(1A.23)16

转换为十进制数.注意这个十进制表示并不精确，因为3×16−2=0.01171875.四舍五入成三位小数(0.012).2025/2/14Example2.10如何将八进制数(23.17)8

转换为十进制数.在十进制中(23.17)8≈19.234.再一次,我们把7×8−2=0.109375四舍五入.2025/2/14Figure2.7转换十进制的整数部分到其他进制除基取余法十进制到其他进制的转换2025/2/14Example2.11如何将十进制数35转换为二进制数？从这个十进制数35开始，一边连续寻找除以2得到的商和余数，一边左移.结果是35=(100011)2.2025/2/14Example2.12如何将十进制数126转换为八进制数.一边连续寻找除以8得到的商和余数，一边左移.结果是126=(176)8.2025/2/14Example2.13如何将十进制数126转换为十六进制数.一边连续寻找除以16得到的商和余数，一边左移.结果是126=(7E)162025/2/14例：将十进制整数（105）10转换为二进制整数。解：

2︳105

2︳52

余数为12︳26

余数为02︳13

余数为02︳6

余数为12︳3

余数为02︳1

余数为10 余数为1

所以，（105）10＝（1101001）22025/2/14Figure2.9转换十进制的小数部分到其他进制乘基取整法转换十进制的小数部分到其他进制2025/2/14Example2.14将十进制数0.625转换为二进制数.该例子显示小数部分如何计算.2025/2/14Example2.15如何将0.634转换为八进制数且精确到小数四位.结果是0.634=(0.5044)8.注意，乘以8(以8为底).2025/2/14Example2.16如何将十进制数178.6转换为十六进制数，且精确到1位小数.结果是178.6=(B2.9)16

，注意，以16为底时除以或乘以16.2025/2/14Example2.17通常把小于256的十进制数

转换为二进制数，有一个变通的方法，即把这个数分解为下列二进制位置量对应数的和:2025/2/14Example2.18当分母是2的幂次时，用类似的方法可以把十进制小数转换为二进制:结果是(0.011011)22025/2/14二进制-十六进制的转换Binary-hexadecimalconversionFigure2.10二进制与十六进制的互换2025/2/14Example2.19如何将二进制数(10011100010)2转换为十六进制数解：首先将二进制数排为4位一组的形式:10011100010注意:最左边一组可能是1到4位不等.根据表2.2所示的值对照每组等量转换得到十六进制数(4E2)16.2025/2/14Example2.20与十六进制数(24C)16相等的二进制数是多少?解：将每个十六进制数码转换成4位一组的二进制数:2→0010,4→0100,C→1100结果是(001001001100)2.2025/2/14二进制-八进制的转换Binary-octalconversionFigure2.11二进制与八进制的互换2025/2/14Example2.21如何将二进制数(101110010)2转换为八进制数.解：每3位一组转换为1位八进制数码.对照每3位一组等量转换得到八进制数.结果是(562)8.1011100102025/2/14Example2.22与(24)8相等的二进制数是多少?解：将每个八进制数码写成对等的二进制位组2→0104→100结果是(010100)2.2025/2/14八进制-十六进制的转换Octal-hexadecimalconversionFigure2.12八进制与十六进制的互换2025/2/14Example2.23找出二进制数码的最小数，用于存储一个最大6个数码的十进制整数.解：k=6,b1=10,b2=2.x=「k×(logb1/logb2)=「6×(1/0.30103)=20.最大的6数码十进制数是999,999，并且最大的20位二进制数1,048,575.注意，可以用19位表示的最大的数是524287,它比999,999小.因此需要20位.2025/2/142-3非位置化数制系统NONPOSITIONALNUMBERSYSTEMS尽管非位置化系统并不用在计算机中,但我们给出简单的介绍作为和位置化数制系统的比较.非位置化数制系统仍然