高考数学第二轮专题第2讲-函数的综合问题

第2讲函数的综合问题真知真题扫描

考点考法探究教师备用习题

模块一

真知真题扫描C[解析]函数g(x)=f(x)+x+a有2个零点,即方程f(x)=-x-a有2个不同的解,即函数f(x)的图像与直线y=-x-a有2个不同的交点.分别作出函数f(x)的图像与直线y=-x-a,由图可知,当-a≤1,即a≥-1时,函数f(x)的图像与直线y=-x-a有2个不同的交点,即函数g(x)有2个零点.真知真题扫描

C

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B

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B

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D真知真题扫描

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(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)[解析]根据条件(1)可得f(0)=0,f(1)=1,又因为关于x的方程f(x)=a无实数解,所以a≠0且a≠1,故a∈(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).考点考法探究

函数的零点个数A

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B[解析]当x>0时,由|lnx|-3=0,得lnx=±3,∴x=e3或x=e-3;当x≤0时,由-2x2-4x-3=0,得2x2+4x+3=0,∵Δ=16-4×2×3<0,∴方程没有实数根.故函数y=f(x)-3的零点个数是2.故选B.考点考法探究【规律提炼】确定函数零点个数的常用方法:(1)当方程易求解时,用解方程判定法;(2)应用零点存在性定理;(3)数形结合:转化为熟悉的两个函数图像的交点个数问题求解.考点考法探究自测题1.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=lgx,则函数f(x)的零点个数为(

)A.4 B.3C.2 D.1B[解析]由奇函数的定义可知,f(0)=0.当x>0时,f(x)=lgx,由f(x)=lgx在(0,+∞)上单调递增且f(1)=lg1=0可知,当x>0时,f(x)有1个零点.根据奇函数的性质可知,f(x)在(-∞,0)上也单调递增,且f(-1)=-f(1)=0.综上可知,f(x)有3个零点,分别为0,-1,1.故选B.考点考法探究2.函数f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零点的个数为 (

)A.2 B.3C.4 D.6C[解析]函数f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零点个数,即方程|lgx2|=-x2+2|x|的根的个数,令g(x)=|lgx2|,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),h(x)=-x2+2|x|,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则g(x),h(x)均是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数.当x>0时,g(x)=|2lgx|,h(x)=-x2+2x,作出两函数在(0,+∞)上的图像,如图所示.由图可知,两函数的图像在(0,+∞)上共有2个交点,即当x>0时,|lgx2|=-x2+2|x|有2个根,根据对称性可得,当x<0时,|lgx2|=-x2+2|x|有2个根,所以|lgx2|=-x2+2|x|共有4个根,即函数f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零点的个数为4.故选C.考点考法探究

C

考点考法探究4.已知函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R,a>0)的零点为x1,x2(x1<x2),函数f(x)的最小值为y0,且y0∈[x1,x2),则函数y=f[f(x)]的零点个数是(

)A.2或3B.3或4C.3 D.4A

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已知函数零点个数求参数D考点考法探究

考点考法探究

B

考点考法探究

B

考点考法探究【规律提炼】已知函数零点个数求参数问题的解题方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.考点考法探究

B考点考法探究

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ABC

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(8,+∞)

考点考法探究

(-∞,2)∪(4,+∞)考点考法探究

函数零点的应用D

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6

考点考法探究【规律提炼】函数零点的应用大都体现在判断图像的位置问题、根的分布问题、根的取值范围问题等,主要体现了数形结合与转换化归的思想.考点考法探究自测题1.已知{x1,x2,x3,x4}⊆{x>0|(x-3)·sinπx=1},则x1+x2+x3+x4的最小值为(

)A.12 B.15C.12π D.15πA

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B[解析]画出函数f(x)的图像,如图所示.不妨令a<b<c,则1-2a=2b-1,则2a+2b=2,结合图像可得4<c<5,故16<2c<32,所以18<2a+2b+2c<34.故选B.考点考法探究

不等式恒成立问题A

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A

考点考法探究

A

考点考法探究【规律提炼】1.对于恒成立问题,常用到以下两个结论:(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.2.解决恒成立问题的常用方法是依据不等式的特点,等价变形,构造函数,借助图像观察,或参变分离转化为求函数的最值问题来处理,此时要遵循“知道谁的范围,谁是变量;求谁的范围,谁是参数”的原则.

考点考法探究

D[解析](1)当x≤1时,f(x)=x2-2kx+2k,∴f(x)的图像的对称轴为直线x=k,且开口向上.考点考法探究①当k<1时,f(x)在(-∞,k)上单调递减,在(k,1]上单调递增,∴只需f(k)≥0,解得0≤k≤2,∴0≤k<1.②当k≥1时,f(x)在(-∞,1]上单调递减,∴只需f(1)≥0,1≥0显然成立,此时k≥1.∴当x≤1时,k≥0.(2)当x>1时,f(x)=(x-k-1)ex+e3,则f'(x)=(x-k)ex.①当k≤1时,f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴只需-ke+e3≥0,∴k≤e2,此时k≤1.②当k>1时,f(x)在(1,k)上单调递减,在(k,+∞)上单调递增,∴只需f(k)=-ek+e3≥0,∴k≤3,此时1<k≤3.∴当x>1时,k≤3.综上,0≤k≤3,故选D.考点考法探究

[-3,1]

考点考法探究3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=3x2,若不等式f(x+m2)≥4f(x)对任意的x∈[m,m+2]恒成立,则实数m的取值范围是

.

(-∞,-1]∪[2,+∞)

考点考法探究

考点考法探究

函数的同构问题C[解析]令f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1,又x>0,故f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,原不等式可化为ex-x-1>m[eln(x+1)-ln(x+1)-1].易知x>ln(x+1),则ex-x-1>eln(x+1)-ln(x+1)-1>0,则m≤1.故选C.考点考法探究

e5

考点考法探究

e5

考点考法探究【规律提炼】1.同构式是指除了变量不同,其余地方均相同的表达式.2.同构式的应用:(1)在方程中的应用:如果方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特征,则a,b可视为方程f(x)=0的两个根;(2)在不等式中的应用:如果不等式的两侧呈现同构特征,则可将相同的结构构造为一个函数,进而和函数的单调性找到联系,可比较大小或解不等式;考点考法探究(3)在解析几何中的应用:如果A(x1,y1),B(x2,y2)满足的方程为同构式,则A,B为方程所表示曲线上的两点,特别地,若满足的方程是直线方程,则该方程即为直线AB的方程;(4)在数列中的应用:可将递推公式变形为“依序同构”的形式,即关于(an,n)与(an-1,n-1)的同构式,从而将同构式设为辅助数列便于求解.考点考法探究

B

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2

教师备用例题[备选理由]例1考查函数的零点个数,将函数的零点问题转化为两函数图像的交点问题是处理此类问题的常用方法,取整函数是难点,有助于学生理解分段函数.例2利用函数图像考查根的存在性及根的个数判断,能培养学生的逻辑思维能力,数形结合思想意识,有助于理解复合函数的概念.例3考查函数的图像与性质的应用、函数的零点问题,解决本题的关键是要根据已知条件得出函数的周期,把函数的零点个数问题转化为两个函数图像的交点个数问题,有助于培养学生转化思想和数形结合思想的综合应用.例4主要考查根据方程的根、函数图像的交点求参数的取值范围,考查化归与转化的数学思想方法.教师备用例题例5考查函数的零点个数问题,解题关键是转化为函数图像与直线的交点个数问题,有利于培养学生利用数形结合思想解题的能力.例6考查函数的零点个数问题,解题时可利用导数研究函数的单调性与极值,运用极限思想研究函数值的变化趋势,结合图像得出结论是解题的关键.例7考查已知方程根的个数求参数的取值范围,有利于培养学生利用数形结合思想解题的能力.例8考查函数图像的对称性,有利于提高学生分析问题的能力和知识迁移能力,提升数学核心素养.例9考查同构函数,较为典型,有利于学生理解构造的意义与方法.教师备用例题例1

[配例1使用]定义在R上的函数f(x)=x2-[x]-2([x]表示不大于实数x的最大整数)的零点个数为 (

)A.0 B.1C.2 D.3D

教师备用例题例2

[配例1使用]定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示,则方程g[f(x)]=0的根的个数不可能是(

)A.1 B.2C.3 D.4D[解析]由题图知,当x∈[-a,a]时,g(x)=0有唯一根,不妨设为k,由g(x)的图像可知k∈(0,a),则由g[f(x)]=0可得f(x)=k.因为k∈(0,a),所以由f(x)的图像可知f(x)=k可能有1个根,2个根或3个根,不可能有4个根,故选D.教师备用例题例3

[配例1使用]已知f(x)为定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x2,则函数g(x)=f(x)-log2|x|的零点个数为 (

)A.3 B.4C.5 D.6D[解析]因为f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期T=2.函数g(x)=f(x)-log2|x|的零点个数即为方程f(x)-log2|x|=0的根的个数,即为函数f(x)的图像与y=log2|x|的图像的交点个数.作出两函数的图像,如图所示,由图可知两函数图像的交点个数为6,故选D.教师备用例题例4

[配例2使用]已知函数f(x)=x3-4x,过点A(