江西省吉安市永丰县十一校联考2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)

吉安市2024-2025学年（上）九年级数学一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.一元二次方程的常数项是（）A.1 B. C.4 D.答案：D解：一元二次方程的常数项是；故选D．2.下列四边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形答案：A解：平行四边形，是中心对称图形，而不是轴对称图形，故A符合题意；矩形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故B不符合题意；菱形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故C不符合题意；正方形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．3.如若关于x的方程有一个根为，则a的值是（）A.9 B.5 C.3 D.答案：B解：由题意得，解得：；故选：B．4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A.BD=AB B.DC=AD C.∠ABC=90° D.OD=OC答案：B解∵四边形ABCD为矩形，∴要使其为正方形，只需要使矩形ABCD为菱形即可，∴可添加DC=AD．故选：B．5.要组织一场篮球联赛，每两队之间只赛一场，计划安排15场比赛，如果邀请x个球队参加比赛，根据题意，列出方程为（）A. B.C. D.答案：C解：设邀请x个球队参加比赛，根据题意可得：，故选C．6.小明用四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：D解：四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的三个图案中，第一个与第三个四边形的四条边都相等，∴第一个与第三个图形是菱形，如图，由四个全等的含角的直角三角板拼成的四边形，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，，∴,，∴,∴，∴四边形是菱形；故选D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是______．答案：解：由题意，得：，∴；故答案为：．8.已知方程的一个解为，另一个解为______．答案：解：∴或解得，，即另一个解为，故答案为：9.如图，在直角坐标系中，矩形，点坐标是，则的长是______．答案：解：∵点B的坐标是，∴，∵四边形是矩形，∴．故答案为：．10.若m是方程的一个根，则代数式的值为______．答案：2024解；∵m是方程的一个根，∴，∴，∴，故答案为：．11.如图，在四边形中，对角线，且，，，，，分别是四边的中点，则四边形的面积为__________．答案：12解：∵点E、F分别为边AB、BC的中点，∴EF∥AC，EF=，∵AC=8，∴EF=4，同理，HE∥BD，HE=，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EH∥BD，AC⊥BD，∴EH⊥AC，∵EF∥AC，∴EF⊥HE，∴四边形EFGH是矩形，∴矩形EFGH的面积=HE×EF=12．故答案：12．12.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，点E是边CD的中点，点P在AB边上运动，点F为DP的中点；当为等腰三角形时，则AP的长为______．答案：3或或解：∵四边形是矩形，∴∵为的中点，∴设则①当时，如图1，在中，，∴∵为的中点，∴，∵，∴，解得，经检验，是原方程的解，但不合题意，舍去，∴即②当时，连接如图2，在中，，∴，∵为中点，为的中点，∴是△的中位线，∴，∵,∴,解得，，经检验，是原方程的解，但不合题意，舍去，∴即；③当时，过点作，垂足为点垂足为点如图3，∴四边形是矩形，//，∴∵//，∴△∴∴∴，综上，的值为3或或．故答案为3或或．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）用适当的方法解方程：（2）已知：如图，菱形中，点，分别在，边上，，连接，．求证：．答案：（1），；（2）见解析（1）解：∴，则或，解得，；（2）证明：∵四边形是菱形，∴，∵，∴．14.取何值时，多项式的值与的值互为相反数？答案：或1解：根据题意，得：整理得：则或解得：当x取或1时，代数式:的值与的值互为相反数15.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形．（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．答案：（1）详见解析；（2）4．解：（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形．（2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4．又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝4，∴OC＝AC＝2，∴∴矩形OCED的面积是2×2＝4．16.如图，在菱形中，，垂足为点E，请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图．（1）在图1中，画出线段的中点M；（2）在图2中，过点C画出边上的高．答案：（1）图1中AC与BD交点即是M．（2）图2中CN就是AD边上的高．解：如图1作法：连接BD交AC于M，则点M就是求作的点．理由如下：∵菱形ABCD∴AC与BD互相平分（菱形是特殊的平行四边形，平行四边形对角线互相平分）∴M是AC的中点．（２）如图2作法：连接EM并延长交AD于N，连接CN，则CN就是求作的高．理由如下：∵菱形ABCD∴AD∥BC∴∠NAC=∠ACE∠ANM=∠MEC又∵M是AC的中点∴AM=CM∴△AMN≌△CME（ASA）∴EM=MN∴四边形ECNA是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平形四边形）又∵∴四边形ECNA是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）∴于N∴CN是AD边上的高．17.已知关于的一元二次方程．（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．答案：（1）（2）【小问1详解】解：关于的一元二次方程有实数根，，解得：，即的取值范围是；【小问2详解】，，，，，即，解得或．；．故的值为2．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图．利用一面墙（墙的长度不限），用的篱笆围成一个矩形场地．设矩形与墙垂直的一边，矩形的面积为（1）若面积，求的长；（2）能围成的矩形吗？说明理由．答案：（1）或（2）不能，理由见解析【小问1详解】解：矩形与墙垂直的一边，矩形的面积为，则长为，则，当时，，解得或，故的长为或．【小问2详解】解：不能围成的矩形，理由如下：设矩形场地的宽为，则长为，依题意列方程：，即，∵，∴方程无实数解，故矩形场地的面积不能达到．19.定义：如果关于x的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题：（1）直接写出方程的“对称方程”；（2）若关于x的方程与互为“对称方程”，求m、n的值及的解．答案：（1）（2），，，【小问1详解】解：由题意得：方程的“对称方程”是；【小问2详解】由，移项可得：，∵关于x的方程与互为“对称方程”，∴，，解得：，，∴化为，∴，∴，．20.【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度．【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接．（1）证明：；（2）若正方形的边长为4，点为中点，则的长为______．答案：【操作感知】：30；（1）见解析；（2）解：【操作感知】：由折叠知，，∵，∴，∴，∴，故答案为：30；【迁移探究】（1）证明：∵正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，∴，在和中，，∴，即；（2）解：设的长为，∵正方形的边长为4，点P为中点，∴，，，在中，，即，解得故答案为：．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.【课本再现】如图，画，并画出斜边上的中线，量一量，看与有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想．已知：如图，在中，，是斜边上的中线．求证：．证明：延长至点，使，连结，．（1）【定理证明】请根据以上提示，结合图1，写出完整的证明过程．（2）【结论应用】如图2，在四边形中，，，，是的中点，连接，．求的度数．答案：（1）见解析（2）【小问1详解】解：补全后的证明过程如下：证明：延长至点，使，连接，，是斜边上的中线，，又，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，，．【小问2详解】解：如图，连接，，，，，，是的中点，，，，，．22.“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x）2+；（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．答案：（1）﹣2，1；（2）1；（3）x2﹣1＞2x﹣3解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，故答案为：-2，1；（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，（x﹣2）2+（y+1）2＝0，则x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，则x+y＝2﹣1＝1；（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴x2﹣1＞2x﹣3．六、（本大题共12分）23.在ΔABC中，，点为直线上一动点（点不与重合），以为边在右侧作正方形，连接（1）探究猜想如图1，当点在线段上时，①与的位置关系为；②之间的数量关系为；（2）深入思考：如图2，当点在线段的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点在线段的延长线上时，正方形对角线交于点．若已知，请求出的长．答案：（1）①垂直；②BC=CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC，证明见解析；（3）解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，△DAB与△FAC中，，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABC=∠ACF，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACB+∠ACF═45°+45°=90°，即BC⊥CF；故答案为：垂直；②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；故答案为：BC=CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．理由如下：∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB与△FAC中，，∴△DAB≌△FAC（SAS