全等三角形章节涉及的35种考法

全全全全|一文搞定全等三角形章节涉及的35种考法

(150页word)

专题一.全等三角形的性质与判定

考点1全等形的概念及性质

1)全等形：能够完全重合的两个图形

2)全等形的性质：①形状相同；②大小相同

注：

①全等图形与其所在的位置无关(只要通过平移、旋转•、翻折后能缓使两个图形完成重合即

可)。对称图形要求更苛刻些。

②因两图形完全相等.故图形所有对应条件都相同(例：周长、面积、对应角角度等皆相等)

1.(2020•全国初一课时练习)下列说法正确的是().

A.所有正方形都是全等图形B.面积相等的两个三角形是全等图形

C.所有半径相等的圆都是全等图形D.所有长方形都是全等图形

【解析】根据全等图形的定义进行判断./、所有正方瞬一定是全等图形，故此选项错误;

B、面积相等的两三角形不一定全等.故此选项解；C、所有半径相等的圆都是全等图形,

故此选项正确；D、所有长方形不一定是烂图形，故此选项错误.故选C.

2.(2020•全国初一课时练习)如图(1)〜(12)中全等的图形是和；

和;和;和;和；

【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答.

【解析】全等图形是(1)和(11)；(2)和(10)；(3)和(6)；(4)和(7)；(5)和(8)；

(9)和(12).

'先数字第六殿

【小结】本题考查了全等图形，掌握概念并准确识别各图形的形状是解题的笑地.

3.（2020•河北泊头初二期中）如图所示的图形是全等图形的是（）

【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案.

【解析】如图所示的匡形是全等图形的是以故选反

【小结】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的定义.

4.（2020•福建石狮初一期末）如图，四边形月忒刀经四边形月'B'C'Zy,则N4:

I)IX

130。

BIf

【分析】由全等形四边形的性质，得到130°.由四边形的内角和即可求出乙4

的度数.

【解析】•••四边形g四边㈱勿'。犷，••・。=0'=130。，

Z4=360°-130°-75°-60°=95°

【小结】本题考查了全等四边形的性质，解题的关犍是掌握全等图形中对应角相等.

考点2全等三角形的定义和表示方法

1）全等三角形：能够完全重合的三角形（长得完全一样的三角形）

2）表示方法：①ZUBC"△£）瓦•（读作：三角形4BC全等于三角形DEF）

②顶点需要一一对应（即长得一样的在描述中至于同等地位）

③从书写中，我们根据一一对应的关系，可得：

a点/与点D为对应顶点，点8与点E为对应顶点，点C与点尸为对应顶点；

b./月与/D为对应角，与/E为对应角，/C与/F为对应角；

入48与DE为对应边，月。与DR为对应边，8c与防为对应边。

3）找对应角对应边的方法

'二G数学第六感

①图形特征法；②字母顺序确定法

考点3全等三角形的性质与拓展

全等三角形，即任何地方都完全相同的三角形

A.对应边、对应角相等；8、周长、面积相等；8、对应边上的中线、角平分线、高相等

1.（2020噢州紫云初二期末）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的

对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等.其中正确

的说法有（）

月.1个B.2个C.3个D,4个

【分析】先分别验证①②③④的正确性，并数出正确的个数,即可得到答案.

【解析】①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义,正确：

②全等三角形的对应边相等,根据全等三角形的性质,正确：

③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；

④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；故四个命题都正确，故。为答案.

【小结】考查全等定义、全等三角形图形性质，即全唾角形对应边相等、对应角相等、面

像？

积周长均相等.承「

2.（2020•山东东平东原实验学校初一〃射下列说法错误的是（）

A.全等三角形的对应边相等，峭B.全等三角形的角相等

C.全等三角形的周长相等D.全等三角形的面积相等

【分析】根据全等三角形的性质对各选项分析判断利用排除法求解.

【解析】月、全等三角形的对应边相等，正确,不符合题意;

B、应为全等三角形的对应角相等，符合题意；

C、全等三角形的周长相等,正确，不符合题意；

D、全等三角形的面积用等，正确，不符合芯意.故选艮

3.（2019•江苏江都初二月考）下列命题中正确的是（）

A.全等三角形的高相等B.全等三角形的中线相等

C.全等三角形的垂直平分线相等D.全等三角形对应角的平分线相等

【解析】因为全等三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应边的垂直平分线、对应角的

平分线相等，月、B、C项没有“对应”，所以错误，而D项有“对应”，D是正确的.故选D.

【小结】考查全等定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、

i数学第亡感

面积周长等均相等.

4.（2020•四川雅安初一期末）如图，在△月中，D、E分别是/C，上的点，若

4ADE沿4BDEW4BDC,则ND8C的度数为.

【分析】根据出，可得乙4=NDBE,ZDEA=ZD£B=90°,又因为施加

丝ABDC,可得NDBE=NDBC,/DEB=/C=90。,故NA=/DBE=/DBC,所以可求出NDBC

的度数.

【解析】•：^ADE出@比；・ZA=NDBE,/DEA=/DEB

「NDE月+NDEB=180°・'.NDEA=NDEB=900

的

•r^BDE金△BDC・・・/DBE=NDBC,/DEB=zq^cF'

NA=NDBE=NDBC；,ZDBC=90°-3=30°瞽,

【小结】考查全等三角丹的性质，熟情豁角形对应边对应角相等是解决本题的关键.

,蛉°

5.（2020•陕西扶风初一期末）如图，&408且ACOD,4和C,B和D是对应顶点，若50=6,

40=3,AB=5,则CD的长为（）

【分析】由△/lOBgZkCOD,力和C,8和。是对应顶点可得到：/出=8、月0=。0、EO

=DO,己知四=5即可得8的长.

【解析】'：AAOB^COD,/和C,B和。是对应顶点，

：,AB=CD.AO=CO.BO=DO,

•:AB=5,：.CD=5,即CD的长为5・故选：A.

，熟练找出两个全等三角形的对应边是解说裔蝙.

【小结】本题考查了全等三角形的性质

6.（2020•广东揭阳初一期末）如图，己知ZU8C0△CDE,下列结论中不正确的是（）

A.AC=CEB,/BAC=NECDC.NACB=/ECDD.NB=/D

【分析】全等三角形的对应边相等，对应角也相等.

【解析】由全等三角形的性质可知月、B、D均正确，而4cB=NCED,故。错误，选C

【小结】本题考查了全等三角形的性质，注意其对应关系不要搞错.

7.（2020•吉林宽城?初一期末）如图，AJCm△海I其中点AB、C、。在一条直线上.

（1）若BEA_AD,ZF=62°,求乙4的大小.（嘉磐4）=9加，BC=5cm,求月8的长.

【分析】（1）根据全等三角形的性质得到/尸NEEA90。，根据直角三角形的性质计算

即可；

（2）根据全等三角形的性质得到C4=8D,结合图形得到48=8,计算即可.

【解析】（1）・；BELAD,；・NEBD=900.

♦:4ACF/ADBE,：.NFCA=NEBD=90。././后N/=90。;ZF=62°,N4=28°.

（2）：.CA=BD,：.CA-CB=BD-CB.§PAB=CD.

**,AD=9cm,8c=5cm,,9,AB+CD=9-5=4cm.*.AB=CD=2cm.

【小结】考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的

出1，为学碧/感

关键.

考点4全等变换的保形性

1）只改变图形的位置,不改变图形形状、大小，则变形后的图形与原来图形全等，叫作图

形全等变换。

注：①平移、翻折、旋转都是全等变换；②缩放不是全等变换

1.（2019•山东济阳初二期中）如图，RtAABC沿苴线边AC所在的苴线向右平移得到ADEF，

A.^DEF=90B,BE=CFC.CE=CE%边形ABEH=%边形DHCF

渗

【分析】由平移的性质，结合图形，对选项进行浮分析，选择正确答案.

【解析】,.・RUABC沿直线边8C所在的，券渝右平移得到aDEF.

.•.NDEF=NABC=9(r，BC=AABC=S^DEF，

S

/.BC-EC=EF-EC»S&ABC-AHEC=SaDEF-SaHEC

，BE=CF，S四边除圆=81g边形0H6，但不能得出CE=CF，故选C.

【小结】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移,

对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等，对应角相等.

2.（2020•全国初二课0v练习）如图,将矩形纸片488折叠，使点。与点8重合，点。落

在C'处，折痕为印，若月8=1,BC=2,则△48E和△BC户的周长之和为（）

数字第之感

A.3D.8

分析：由折叠特性可得CD=4U=/&/FCB=NEAB=90。,NEBC=/ABC=90°,推出/4BE=

ZC'BF,所以△BAEWdBCF,根据△/1即和△BCk的周长=2△月BE的周长求解.

【解析】将矩形纸片月88折叠,使点。与点8重合，点。落在U处，折痕为EF.

由折叠特性可得，CD=BC=AB,ZFC'B=ZEAB=90°,/EBC=NABC=90°,

*/ZABE+ZEBF=ZC'BF+^EBF=90°：./ABE=NCBF

2FC'B=ZEAB

在月E和△BC'R中，(BC'=AB/.AB/IE^AFCF(.ASA)t

ZABE=ZCyBF

,/AABE的周^z=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=\+2=3,

△/8E和48。下的周长=2△月BE的周长=2x3=6.故选C.

【小结】本题考查图形的翻折变换.解题过程中应注意折叠是一种对称变换,折叠前后图形

的形状和大小不变，如本题中折叠前后角边相等.

3.(2020•丰宁满族自治县黄旗中学初二月考)如图？妻方形月88沿力后折费,使D点落

嗓I

在8。边上的尸点处，ZBJF=60°,那么NZM播芋()

F

A.45°B.30°D.60°

【分析】先根据矩形的性质得到/丽=30。,再根据折叠的性质即可得到结果.

【解析】•・288是长方形，；♦/R4D=90°,VZB/1F=60o,：.ZDAF=30a,

•・•长方形/BCD沿4E折强，.•・△/£>£•丝△/方、£.•・/D4E=NE4F=L/D/415°.故选C.

2

【小结】图形的折叠实际上相当于把折段部分沿着折痕所在直线作轴对称,所以折叠前后的

两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量.

考点5全等三角形判定条件

三角形全等判定总结：

(DSSS②SAS⑤月£4^AAS0"L斜边和直角边分别相等的两直角三角形全

、心物学第六感

等(简写为HL)

1.（2020,陕西雁塔初一月考）下列判断正确的个数是（）

（D能够完全蚤合的两个图形全等；（2）两边和一角对应相等的两个三角形全等；

（3）两角和一边对应相等的两个三角形全等；（4）全等三角形对应边相等.

41个氏2个C3个D.4个

【分析】分别利用全等图形的概念以及全等三角形的判定方法进而判断得出即可.

【解析】（1）能镀完全重合的两个图形全等,正确：

（2）两边和一角对应相等的两个三角形全等，必须是£蛤才可以得出全等,错误；

（3）两角和一边对应相等的两个三角形全等，是一角的对边或两角的夹边对应相等，正确；

（4）全等三角形对应边相等.正确.所以有3个判断正询,故选C.

【小睛】主要考杳了全等图形的概念与性质，正确掌握判定两三角形全等的方法是解题关键.

2.（2020・云南昆明三中初一期末）如图，44BC在平面宜角坐标系中，京Ae，D，5（4,

1)C(\,3),

【分析】根据题意画出持台条件的图形，根据图形结合d、。、C的坐标即可得出答案.

【解析】如图，:△ABD与ZL4BC全等，3种情况，0（3,3）,必（1,-1）,D3（3,-1）,

故答案为：（3.3）或（1,-1）或（3,-1）.

【小靖】本题考查的是全等三角形的判定,坐标与图形性质，注意要进行分类讨论，能求出

效字第六想

符合条件的所有情况是解此题的关键.

3.（2020•湖北枣阳?初二期末）如图,小敏做了一个角平分仪月88,其中/B=/1D.BC=DC.

将仪器上的点/与/PR。的顶点A垂合,调整48和5D使它们分别落在角的两边上，过

点、A,。画一条射线力不力后就是NPR。的平分线.此角平分仪,的画图原理是：根据仪器结

构，可得这样就有/04E=/P4E.则说明这两个三角形全等的依据是（）

A（R）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

AD=AB

【解析】在△皿？和A48C中，DC=BC,MADCWAABCCSSS),

AC=AC

:・NDAC=/BAC,^ZQAE=ZPAE.故选D.?您

【小结】本题考查了三角形全等的判定，掌握承形全等的判定的方法是解题的关键.

兹

门

4.（2020•全国初二课时练习）如图，E,B,尸在一条直线上，在△ziBC和中,

AC=FD,BC=DE,要利用“Sr”来判定时，下面4个条件中：0AE=

FB；®AB=FE；®AE=BE；④BF=BE；可利用的是（）

A.①或②

【解析】由题意可得，要用S器进行△/8C和△反D全等的判定，/要AB=FE,

若添加①4比底从贝IJ可得/E+8E叩8+BK,HPAB=FE,故①可以;

若添加/8=破，则可真接证明两三角形的全等，故②可以，

若添加/E=8E,或8斤=8瓦均不能得出月8=尸及不可以利用S器进行全等的证明，故③④

不可以，故选4

【小结】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定的方法是解题的关键.

5.（2019•山西浑源初二期中）如图，在△48。中，AB=AC.点、B,D,E衽口玄叠盥上7点

。在△血内、点9在△斯€•外，且西丝.若NBAC=N£ME=5g则/EXC的度

数为（）

1分析】如图，由NB4C=NDAE•可得/田4。=/以£,法而可根据尔0明

^ABD^ACE,于是得/3E=/4,再樵据三顺形的力角和定理即得&M/①1C,

从而可得答案.

【新】如图，"£RAC=ZDAE,：.^BAD=^CAE,

^-：AB=AC,AD=/£,:.△ABD9△盟E（SAS）、

A

■;ZAOB=ZCOB,；.ZBEC=NBM=ST.椒餐A.

【小贴】本题考查了全等三角形的判定黑燕以及三角形的内角和定理，属于常考题型，鞘

续拿他上述如以是解威的关健瞪

6.（2019•广西田东和二期聿》如图，的一角被墨水湾了,但小明很快桃画出蹑原来

一样的图形，他所照定理是（）

A.SASB.SSSC.ASAD.HL

【分析】根裾双有的边和角利用全等三角形的判定方法即可得到答案

Ml析】报裾题强可跖，4的,4都是已^的，所以利用房可以得到△丝。的全等

三角形，从而就可画出跟原来一祥的图形.故选：C.

t小钻】本题主要考查全等三角形的刈定，掌握全等三角形的判定方法是解题的镇鼠”

7.（2020全国初二课时练习）如图，已知三条平行直线，，。，％，4,4两条平行线间的

距离为2,4两条平行线间的距离为%将一等腰直角三角形如图放置，过力，3分别向

直线4作垂线，垂足分别为。，E，则QE=

【分析】根据同角的余角相等得出NC4O=N8CE,根据等腰三角形性质和一线三等角证

出“CD包CM（44S）,所以/Z）=CE=6，CD=BE=4.即DE=CE+CD.从

而求解.

【解析】•.•月。_1，3于点。，BE1%于点、E，，/ADC=NCEB=XP.

小

•;ZACB=90。，；.ZACD+ZBCE=90。.《翩E+ZZ^C=90°,

:.4CAD=ZBCE.静

公

ZADC=A^B

在/XACD和4CBE中，,/CAD&BCE,

AC=CB

:.^ACD^^CBE（AAS）,.\AD=CE=2-i-4=6rCD=BE=A.•:DE;CE+CD.

=6+4=10

【小结】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等

根据同角的余角相等和一线三等角证明三角形全等是解题关键.

8.（2020•全国初二课时练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度月C与右边

滑梯水平方向的长度OF相等，两个滑梯的倾斜角44BC和"庄之间的关系是（）

心缴学第六慝

A./ABC=ZDFEB.ZABC>ZDFEC.ZABC+ZDFE=mZABC+ZDFE=9（r

【分析】根据HL定理判定施心出。/06防（卬，），即可得到结果；

【解析】由题意可知6。=①，AC=DF,AC上AB,DE1.DF，

\BC=EF

，“BC与DEF为直嵬三角形.；.在Rfa4BC与RlADEF中,\厂厂

［AC=DF

.•.RiklBC学RsDEF（HL）,.•.ZACB=ZDFE.

•/ZABC+ZACB=90°,/.ZABC+ZDFE=90°.故选D.

【小结】本题主要考查了全等三角形的判定，准确理解是解题的关键.

重难点题型

题型1全等三角形的判定

方法：5种判定方法：SSS.SAS、ASA、AAS.HL年形式的SW）

解题技巧:

1）根据图形和己知条件,猜测可能的全等三2）寻找边角相等的3组条件。

3）往往有2个条件比较好找,第3个冬华需要推理

寻找第3个条件思路：嘴''

原则

1）需要证明的边或角需首先排除，不可作为第3个条件寻找

2）寻找第3个条件，往往需要根据题干给出的信息为指导，确定是找角还是边

全等三角形证明思路：

（找夹角T）S4S

已知两边找第三边fSSS

［找直角—也

/边为角的对边一找任一角-44S

示口*_»面—岳［找夹角的另一边一网S

重L知n边和角边为角的邻边找夹角的另一角一的

找边的对角-44S

我夹角f匐4

已知两角勤学第六感

找期中一角的对边t44s

r：sss证全等

1.(2020•山东中区济南外国语学校初一期末)如图.点才、D、C、R在同一条直线上，AD

=CF.4B=DE,BC=EF.(1)求证：AABC^ADEF；(2)^ZA=60°,NB=80°.求/产

的度数.

(分析】C)因为AD=CF,故AD+CD=CD+CF,即AC=DF,运用1sss可证AABC咨&DEF；

(2)由(1)可得NF=/478,根据三角形内角和180°,可求乙4C8的度数，即/尸可求.

【解析】(1)'：AD=CF,J.AD+CD=CD+CF',BPAC=DF,

AB-DE

在3BC和△DEF中，＜BC=EF:.。丝ADEF(S5S)；

A3DF

(2)由(1)可得少BC丝ADEF,：.ZF=ZACB^^

爵

根据三角形内角和180。，乙4=60。，/8=80。，4c8=180。《0。-80。=40。，ZF=40°.

【小结】本题主要考察了三角形全等的鳏否法及应用、三角形内角和为180°,能够根据

AD=CF得出AC=DF是解题的关键避靖

2.(2020•渠县崇德实验学校初一期末)“三月三，放风筝”如图是小颖制作的风筝，他根

据力，AC=BC,不用度量,就知道/ruc=/m?c.请运用所学知识,给予说明.

【分析】可证明ZUCQ与△88全等，题中给出两条边相等，又有一公共边，所以两三角

形全等，可得对应角相等.

AD=BD

【解析】连CD,在AJCD与△88中，AC=BC,：./\ACD^ABCD(SSS),ZDAC=ZDBC

CD=CD

【小结】本题考查了全等三角形的应用；熟练掌握全等三角形的性质及判定，会求解一些简

多字第六感

单的应用问题，学会把应用问题转化为数学问题来求解.

3.(2018・高邮市汪曾祺学校初二月考)雨伞的中做面如图.伞骨/B=4C,支撑杆OE=O凡

AE--AB,AF=\AC,当O沿/。滑动时,雨伞开闭,问雨伞开闭过程中,NBAD与/CAD

33

有何关系？说明理由.

【分析】/RW=NCW,根据已知条件利用SSS证明△4EO且据性质即得结论.

【解析】NBAD=/C4D,理由如下：'：AE=-AB,AF=-AC,AB=AC,：.AE=AF.

33

在A4£O和A4R□中，AE=AF,AO=AO,OE=OF,

...zMFO经△/尸O(SSS).ZE4O=ZE4O,即/胡D=NC/1D.

【小结】考查全等三角形应用.在实际生活中，常常通过两个全等三角形，得出对应角相等.

、品

2,»证全等僚］

1.(2020•甘肃平川区四中初一期末)如图./褥•8两点分别位于一个池塘的两端，小明想

%

用绳子测量8之间的距离，但无因臀子直接测量.爷爷猪他出了一个这样的主意：

先在地上取一个可以直接到达点力遍8的点C,连接/C并延长到点。，使⑦士：

连接方。并延长到点E•使Q?*8；连接。石并测量匕。£=8〃7,这样就可以得到.45

的长.请说一说爷爷的方法对吗？09的长是多少？

【分析】由题意知4C=DC,BC=EC,根据N/1C8=/DCE即可证明即可

得AB=DE,即可解题.

CD=CA

【解析】爷爷的方法对，在△。9£和/\。46中，

CE=CB

;.KDE2cAB(SAS)：,DE=AB，又<DE=8〃?.，45=8〃八即的长为8m

【小结】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形的判定与性质，本

G勃字第六鹦

题中求证△CDE是解题的关谯.

2.(2020•山东郸城初一期末)如图，已知点B、尸、C、E在一条直线上，BF=CE,AC=DF,

EAC//DF.求证：NB=NE.

【分析】先证出BOEF,NAC的NDFE,再证明A4CB妾ADFE,得出对应角相等即可.

【碗】证明：；BF=CE,：,BC=EF,VAC//DF,AZACB=ZDFE,

BC=EF

在△?!,和中，Z/1C5=ADFE^ACB^ADFE(SAS'),：.，B=/E.

AC=DF

【小结】本题考宜了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定

方法，证出三角形全等是解题的关键.

着

3.(2020•河南太康初二期末)如图，＜8=力。,蒯C=DC,点E在幺。上.(1)求证：幺C平

分NBAD；(2)求证：BE=DE.

【分析】＜1)由题中条件易知：A4BC9A4DC,可得/C平分/班£)；(2)利用(1)的结

论，可得△班E&ZS0/E,得出BFDE.

AB=AD

【解析】(1)在&4笈。与A4DC中，＜AC=AC-(SSS)

BC=DC

.\ZBAC=ZDAC即/C平分NH4D；

SA=DA

(2)由(1)ZBAE=ZDAE在△砌E与中，得乙BAE=4DAE；

AE=AE

△班阳(SAS')：.BE=DE

【小结】本题考查三角形全等的判定定理，得出三角形全等，转化边角关系是露敏'球

4,（2020•全国初二课时练习）（1）作图发现

如图1,已知&48C,小涵同学以48、4C为边向△HBC外作等边44即和等边连

接班，CD.这时他发现班与CD的数量关系是_.

（2）拓展探尢

如图2.已知44BC,小涵同学以4反4c为边向外作正方形18也＞和正方形ACG&连接

BE.CD.试判断改与CD之间的敬旨关系，并说明理由.

【分析】（D根据等边三角形的性质可得到：山?=月&/C=H£,ZBAD=ZCAE=60°,

再通过角的等量代换可征出NC4O=N£48,因腌嘉即可求解.

（2）根据正方形的性负可得到：AD=AB,AG^Ef^BAD=ZCAE=%°,再通过角的等

量代换可证出NC4D=NEH8,因此△©嫉.△为48,即可求解.

【解析】⑴,••△力8。和4水花都第学务三角形，

.".AD=ABfAC=AE,Z.BAD=ACAE=6Q°,

AABADi^BAC=ACAE+^BAC,即NCAD=N£A氏

'AD=AB

在和△瓦4B中，'：lZCAD=ZEAB,

AC=AE

：.ACAD^/\EAB（SAS）,：.BE=CD.

（2）8E=CD,理由同（1）,

•四边形4即D和4c均为正方形，.二月。=42AC=AEf/BAD=4CAE=W0,

：.ABADi^BAC=ACAE+^BAC,即NG40=NEAB,

AD=AB

在AGW和△£43中，ZCAD=ZEAB,/.ACAD^AEAB（SA^）f：.BE=CD.

AC=AE

【小绪】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，正方形的性质，熟

曲学骋六想

练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

3-：ASA证全等

1.（2020•全国初二课时练习）如图,小颖站在堤岸边的』处,正对她的S点停有一艘游艇.她

想知道这艘游艇电离她有多远，于是她沿堤岸走到电线杆8旁，接着再往前走相同的距离.

到达C点.然后她向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时她位于D

点.那么C,。两点间的距离就是在4点处小颖与游艇间的距离.请你用所学的数学知识解

释其中的道理.

.：S

DV

【分析】先根据题目条件证明△SA44Z\D?C（4S4）,再由全等三角形的性质即可得答案

【解析】根据题意，可知：Z4=ZC=90°.AB=CB,ZSBA=^DBC.

4="封

在M％和△D5C中,AB=CB所以ADBC(ASA).所以S4=QC

NS历1=力BC希

（全等三角形对应边相等）.即解忖的距离就是在力点处小领与游艇间的距离.

【小结】本题主要考查了全等三角盘判定与性质.熟练举握全等三角形的判定、全等三角

形对应边相等的性质是解题的关键.

2.（2020•湖南雨花初二期末）如图.△/8C中,点。在.4C边上，AE//BC,连接团并延

长交BC于点凡若月D=8,求证：ED=FD.

B

【分析】由平行可得内错角相等，再利用力”即可判定&IDEgZiCD凡所以ED=FD.

【解析】证明；*：AR//RC：.ZFAD=ZC

ZEAD=/C

在A4DE和△（?£＞尸中.AD=CD：.AADE^ACDF（ASA）：.ED=FD

^ADE=NCDF

、交数学第六感

【小结】本题考查全等三角形的判定和性质，比较简单，找到全等条件即可

3.(2020•湖北阳新初三三模)如图.R/A4BC和RA4DE中,NC=4=90°.

4cAD=/EAB,AC=AE.AB，DE相交于点“，M，5c相交于点G.

(1)求证：A43c会zVQE；(2)若/3=U，/G=6,求QG的长.

【分析】(1)先得出NC46="4Z),再由/£1证明两个三角形全等；

(2)由全等得出HB=MQG=4DdG3B-/lG的结果.

【解析】(D证明：-ZCAD=ZEAB./.ZC4D+ZB.AD=ZEAB+ZDAB,

即NC4B=N£4D,又NC=4£,ZC=zTE=90°.A4BC=A4DE(ASA).

(2)vAlfiC2：AWE',;.AB=AD礴

v/lB=lb,\/lD=ll又月G=6,.•./X7=J^=5.

【小结】本题考查全等三角形的判定与性檄,..徐掌握全等的判定方法是关键.

城

4,»445证全等‘、

1.(2020・四川巴州初一期末)某建筑测量队为了测量一栋居民楼团的高度，在大树月B与

居民楼ED之间的地面上选了一点。，使&C,D在一直线上，测得大树顶端力的视线4C

与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°•若/3=CD=12米.%A64米,请计算出该居民

楼即的高度.

H-

f

f

l

E

【分析】先根据大树顶瑞A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90。以及AB=CD

可以推出NIBCgACDE.从而得到ED=3C,进而计算出即可.

【解析】由题意可知：ZB=ZCDE=ZACE=90°,Z4C5+z7X?2T=180o-90o=90o,

'二片数字第六感

NH+ZR4c=90。，ZACB+ZDCE=ZACB^ZRAC,:./DCE=ZB^2：'

'^BAC=ZDCE

在AA5c和△，£）£中，，4B=4CDE,J.^ABCACDE.:.ED=BC.

AB=CD

又；CD=12米，眄64米，二BC=SD-CD=64-12=52米，二匹=52米，

答：该居民楼如的高度为52米.

【小结】本题考直了全等三角形的判定，利用儿无比明的C9ZiCZ）£是解题的关提

2.（2020•广西防城港初二期末）如图，四边形4R9C是正方形，NC为4和N月班都是直

角，且点瓦工乃三点共线.。£=5,求48的长.

【分析】据题意NB"=NEC4,利用XAS•证苑4即9Z\C£4,从而得出旗-CE-S

金f

【解析】‘•‘四边形⑷^D。是正方形，•,-第=姐,ZC4尸=90°：

短.

,•'点£A,B三点共线./班期•,/历19=180°-N①尸=90°：

又；/CEAH/AB尸=如°,，N班C+NEG4=90°,AZBAF=ZECA,

:.4ABF94CEA<AAS）,：.AB=CE=5.

【点睛】考直全等三角膨判定与性质的应用.掌握全等三甬形的判定与性质是解题的关糜.

3,（2020•山西朔州初二期末》综合与实践

阅读以下材料：

定义：两边分别相等且夹角互补的两个三角形叫做“互补三角形”.

用符号语言表示为：如图①,在NIB。与酬中，如果4>D£ZC+Z^180',BC=EF.

那么zM5C与△£）职是互补三角形.

反之，"如果△"<?与△DEF是互补三角形,那么有工。=2双,ZOZ5=180a.BC=EF”

也是成立的.

自主探究

X二夯字第六盛

利用上面所学知识以及全等三角形的相关知识解决问题:

⑴性质:互补三角形的面积相等

如图②，已知母!比与是互补三角族

求证：A4BC与ADEN的面积招写.

证明：分别作M比与ADEN的边BC,即上的高线，则4GC=4）HE=9伊.

……儒剌余证明过程补充完勤

（2）互补三角形一定不全等,请你判断该说法是否正瓶并说明理由，如果不正确，请举

出一个反例，盲出示意图.

【分析】“）已知人肥与AD即是互补三角柩，可得4C8+/E=18伊"C=DE,BC=EF,

if得乙ICG="，证明&1GC空MHE,得到力G=D从所以;B「dG=gE/1/）//,即

41BC与拉）办的面积相等.

（2）不正确.先画出反期图，证明A4BC@△姚尸，MBC与M即是互补三角形.互补

好

三角形一定不全等的说法嘏.铲

【解析】（1）；ZUBC与AD即是赤三角形，；.ZO+NE=180°,心DE,BC=EF.

又C8+N.4CG=180°,；.4CG=/E,

ZAGC=ZDHE=90°

在AJGCmSHE中，ZACG=ZE:.AJGC^ADZ/E（Z45）

AC=DE

：.AG=DH.：.-BC-AG=-EF-DH,职艰BC与AD即的面积相*

22

AB=DE

（2）不正确.反例如解图，在MBC和△/）即中，乙1BC=4）/丁=90°；.Zv!BC丝△。即

BC=EF

（8!S）,•••△ZBC与AD即是互补三角形.，互补三角股一定不全等的说法错误.

4〃

LBEF

【小组槌糙了全等三角形的判定及性渍定理，利用的和&⑤证明三角形全等，己

如两个三角形全等，可得到对应边相等.般学第六感

5-：//L证全等

1.（2019•江苏鼓楼南京市第二十九中学初二期中）用三角尺可以按下面的方法画的

平分线：在。4、06上分别取点£、F,使OE=O尸;再分别过点E、尸画。4、的垂

线，这两条垂线相交于点C；画射线OC（如图）.试说明射线OC平分乙406的道理.

【分析】由作图过程可得0E=0兄CE1OA,CF10F,进而证明RgOEC/RlZiOR?,即

可得射线。。为//O8的角平分线.

【解析】证明：，'。回工点,。/7，。/7,.•.NOEC=NOR?=90,

OC-OC八

在R/AOCE和R/AOCH中,,.,.Ri

OE=CF

:&OC=ZFOC、:.OC^ZAOB.

【小结】本题考查了作图-复杂作图、与等三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握基

本作图方法.喷十

2.（2018新沂市王楼中学初二期中）如图，//=/。=90。，AC=DB,AC、D?相交于点O.求

证：OB=OC.

【分析】因为/4=/690°，AC=BD,BC=BC、知RtABACmRtACDB(HL),所以

NACB=，DBC,故OB=OC.

[BD=CA

【解析】证明：在RIA46C和&△DCS中'，:R/^ABCWRlADCB(HL),

[DC=CB

：.NOBC=NOCB,：.BO=CO.

【小结】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证

、》•数字第六职

明线段和角相等的垂要工具.

3.(2020•湖南常福初二期末)如图，已知B,D在线段RC上，且RD=C-BF=DE.NAED

=ZCra=90°求证：(1)£^AED94CFB工(2)BE//DF.

K分析】(1)根据乩证明用AAEI2R4CFB得

(2)证明则NDBE=/BD得出结论.

[fUfrl(1)'/4跖=zcra=90°，

\AD^8

在舟△丝。和咫△era中，'咨，:'K"ED£R4CFB(HL)：

DE=BP

(2)、：4AED94CFB,:,乙BDE=々DBF,

'DE=BF

在zYDBE和△BDF中j/BDE=/DBF,.