2024-2025学年上海市嘉定区第二中学高二上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年上海市嘉定区第二中学高二上学期期中考试数学试卷

一、填空题(★)1.二面角的平面角的取值范围是___________.(★★)2.如图，等腰直角三角形是一个平面图形的斜二测直观图，且，则该平面图形的原面积为______.(★★)3.已知向量，，且与互相垂直，则k的值是_______.(★★)4.已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数_______.(★★)5.设是等比数列，且，，则_______.(★)6.如图，在梯形ABCD中，，，点O为空间任一点，设，，，则向量用，，表示为_______.(★★★)7.利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是_______.(★★★)8.如图，已知菱形中，边长为，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为__________.(★★)9.我国古代数学名著《数书九章》中的一个问题，其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为一丈，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长几丈几尺．”（古制1丈=10尺）葛藤最少长是________．(★★★)10.某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是______．(★★★)11.如图，正方体则下列四个命题：①点在直线上运动，三棱锥的体积不变；②点在直线上运动，直线与平面所成角的大小不变；③点在直线上运动，二面角的大小不变；④点是平面上到点和距离相等的动点，则的轨迹是过点的一条直线；其中的真命题是________（请在横线上填上正确命题的序号）(★★★★★)12.已知，若数列为严格增数列，则实数q的取值范围是_______.二、单选题(★★)13.若数列满足，（），则其前2023项和为（）

A．1360B．1358C．1350D．1348(★★)14.若，是两个不同平面，，是两条不同直线，则下列命题中不正确的是

A．，，则B．，，则C．，，则D．，与，所成的角相等，则(★★★)15.若向量，满足，，，则与的夹角为（）

A．B．C．D．(★★★)16.已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（）

A．1B．2C．4D．8三、解答题(★★)17.已知数列是等差数列，且，.(1)求的通项公式；(2)若数列的前n项和为，求及其最小值.(★★)18.如图，长方体中，，点P为的中点.(1)求证:直线平面;(2)求异面直线、所成角的大小.(★★★)19.如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）.（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）.(★★★)20.如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如图2）.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.(★★★★)21.设数列的前n项和为.若（），则称是“紧密数列”.(1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为1，，，x，，