2024-2025学年北京朝阳区高三（上）期末数学试卷（含答案）

第2页/共11页2025北京朝阳高三（上）期末数学2025.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集，集合,则（A）（B）（C）（D）（2）在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限（3）已知抛物线．若其焦点到准线的距离为4，则抛物线的焦点坐标为（A）（B）（C）（D）（4）函数的图象的一个对称中心是（A） （B）（C） （D）（5）“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（6）已知圆：，过点的直线与圆交于.当取最小值时，直线的方程为（A）（B）（C）（D）（7）沙漏是一种古代计时仪器.如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的，则这些细沙的体积为（A）cm3（B）cm3（C）cm3（D）cm3（8）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（A）(B)（C）（D）（9）“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦的长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦的.琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫､商､角､徵､羽”，则“宫”与“角”所对琴弦长度之比为（A）（B）（C）（D）（10）设是无穷数列，若存在正整数使得对任意，均有，则称是间隔递减数列，其中称为数列的间隔数．给出下列三个结论：①若，则是间隔递减数列；②若，则是间隔递减数列；③若,则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是，其中所有正确结论的序号是（A）①（B）①③（C）②③（D）①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）在的展开式中,的系数为____．（用数字作答）（12）双曲线的渐近线方程是____；设,是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且,则____．（13）使不等式成立的一个的值是．（14）已知为所在平面内一点，满足,且,设为的夹角，则；.（15）棱长为的正方体中，点在线段上（不与重合），于，于，以下四个结论：①平面；②线段与线段的长度之和为定值；③面积的最大值为；④线段长度的最小值为；其中所有正确的结论的序号是____．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（17）（本小题14分）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活，在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下：使用AI大模型的种数性别01234男427231610女648272415在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：AI大模型种类ABCD人次32303028用频率估计概率.（Ⅰ）从该地区教师中随机选取一人,估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率；（Ⅱ）从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人，记使用B的有人，求的分布列及其数学期望;（Ⅲ）从该地区男、女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为,,比较,的数学期望的大小.（结论不要求证明）

（18）（本小题15分）如图,在五面体中,平面,,,,，.,分别为,的中点，连接．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值;（Ⅲ）线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.（19）（本小题13分）已知函数，其中是常数,.（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求的极值.（20）（本小题15分）已知椭圆的离心率为，右顶点为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点．已知点，直线与椭圆的另一个交点分别为．求证：直线过定点．

（21）（本小题15分）已知无穷数列，给定正整数，若数列满足以下两个性质，则称为数列：①；②（Ⅰ）已知和分别为数列和数列，且，，求和；（Ⅱ）已知正整数数列是数列．（ⅰ）无穷数列满足且为奇数，其中，证明：对于任意的，；（ⅱ）求满足条件的，并写出与对应的的所有可能取值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）D （2）B （3）C （4）A （5）A（6）C （7）B （8）D （9）D (10)B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12）;7 （13）（答案不唯一）（14）（15）①②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为,所以.所以.又,所以.又,所以.…………………..5分（Ⅱ）选条件①:根据余弦定理有,则.又，则.两式相减，解得.可得或者所以.选择条件③：因为且,所以由正弦定理可知.又.所以.…..13分（17）（本小题14分）（Ⅰ）记事件为“从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种AI大模型”，则估计为.…………4分（Ⅱ）记事件为“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”,根据题中数据,可以估计为.的可能取值为,,,的分布列为0123…………11分（Ⅲ）…………14分（18）（本小题15分）（Ⅰ）因为平面,平面,所以又因为,,所以平面.又平面，所以.又因为,为线段的中点，所以.因为,,所以.因为,分别为,的中点,所以.又，所以.即四点共面.又,平面，平面，所以平面.………6分（Ⅱ）因为平面，所以,又所以两两垂直.如图建立空间直角坐标系.于是,,,可得，.由（Ⅰ）可得平面.所以平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则有则直线与平面所成角的正弦值为.………11分（Ⅲ）设是线段上的一点，则存在使.,从而.由点的坐标可得.设平面的法向量为则有，即令，则法向量为.令，即，解得.此时，又显然有平面,从而平面.所以，线段上存在点，使得平面,此时.……………15分（19）（本小题13分）解：（Ⅰ）当时，所以.所以，又.所以曲线在处的切线方程为，即…………5分（Ⅱ）依题意，.（1）当时，由（Ⅰ）可知，所以在上单调递减，无极值.（2）当（）时，，（ⅰ）当（）时，,所以在上单调递减，所以无极值.（ⅱ）当（）时,时，，在上单调递增，时,，在上单调递减.所以时，取极大值，无极小值.综上，当（）时，无极值；当（）时，有极大值，无极小值.…………15分（20）（本小题15分）（Ⅰ）由题意可得解得所以椭圆的方程为．………5分（Ⅱ）设点，则，且．直线，即由得．所以．所以．所以．所以．同理,．依题意,所以．所以直线的方程为．整理得．所以直线过定点．………15分（21）（本小题15分）（Ⅰ）根据数列的定义可知：，，，；根据数列的定义可知：，，，；…4分（Ⅱ）（ⅰ）假设结论不成立，不妨设为满足且使得最小的某个整数.由，可知，因为是奇数,从而，,且，这与最小性矛盾，所以对于任意的，.………9分（ⅱ）假设及的取值已使得为数列且每一个项均为整数.由（Ⅱ）中所定义出的构成数列,首先证明满足对任意的，有.若，则，从而；若，则.分三种情况讨论.若，则.故;若，则.故;若，则，又因为为奇数，所以也为奇数，从而有;综上所述，对任意的，有.又根据（ⅰ）的结论可知必存在某个，使得对于任意的，均有；由于当时，总有，于是，数列中存在无穷多项小于，从而，可取某个，使得.由前面的证明可知只