函数试题题库

函数试题

一、安徽试题

(20).(本小题满分12分)

设函数f(x)=—(x>。且r*1)

x\nx

(I)求函数/㈤的单调区间；

(II)已知对任意x£(O,l)成立，求实数a的取值范围。

解(1)八")=一笔1,若八幻=o,贝I1X=1列表如下

x-In-xe

XJ(1,400)

(0,-e)e(e-J)

/1(x)+0一一

极大值

/(X)单调增单调减单调减

/(-e)

⑵在两边取对数，得3n2>alnx,由于

x

0Vx<1.所以

-a->--1-

In2x\nx

(1)

由⑴的结果可知，当XG(0,l)时，

f(x)<f(-)=-e,

e

为使(1)式对所有XE(0,l)成立，当且仅当

>—e,即a>-eln2

In2

(11).若函数f(x),g⑶分别是R上的奇函数、偶函数，且满

足/W-g(x)=歹，则有()

A.〃2)<"3)<g(0)B.g(0)</(3)</(2)

C.”2)vg(0)</(3)D.^(0)</(2)</(3)

解：用-X代换X得：即/(x)+g(x)=-e~x,

解得：/“)=《产,gQ)=—三，而/⑺单调递增且大于等

于0,双O)=T,选D。

(7).a<0是方程加+2丹1=0至少有一个负数根的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C,充分必要条件D,既不充分也不必

要条件

解:当4=2?-4〃>0,得a<l时方程有根。a<0时,x[x2=-<o,

方程有负根，又a=l时，方程根为户一1,所以选B

(6).函数/(»=(%-1)2+心V0)的反函数为

A./■,(x)=l-^/^：T(x>l)

B./~,(x)=i+>/x^r(x>i)

C./_,(x)=l->/r:T(x>2)

D./-'(%)=l+>/x^T(x>2)

解：由原函数定义域是反函数的值域，尸⑴wo,排除B,D

两个；又原函数X不能取1,

了⑶不能取1,故反函数定义域不包括1,选c.(直

接求解也容易)

(8).函数y=sin(2x+至图像的对称轴方程可能是()

A.x=--B.x=--C.x=-

6126

D.x=-

12

解：y=sin(2x+马的对称轴方程为2x+工=无乃+三,即

332212

k=O,x=—

12

(9).设函数/(X)=2X+L-1(XVO),则f(x)()

x

A.有最大值B.有最小值C.是增函数

D.是减函数

解：Vx<0A-2r>0,-->C,/(x)=2x+--l=-[(-2x)+(--)]-l,由基

XXX

本不等式

〃幻=-卜2幻+(-5，-"-2乒5-]=-2痣7有最大值,选

(13).函数”为=正生i的定义域为.

10g2(.v-l)

解：由题知：k)g2(x-l)*O,x-l>0,1x-2|-l>0;解得：X

23.

(20).(本小题满分12分)

设函数/(xxgv-M+m+Dx+i，其中〃为实数。

(I)已知函数73在x=l处取得极值，求°的值；

(II)已知不等式/(X)>f7-4+1对任意〃£(0,+8)都成立，

求实数X的取值范围。

解：⑴f\x)=ax2-3x+(a+\),由于函数/(幻在x=l时取得极

值，所以/(1)=0

即a-3+a+l=0,.*.a=1

(2)方法一

由题设知：0¥2一3工+(4+1)>/一工一4+1对任意aG(0,+00)

都成立

即a(x2+2)-丁-2x>0对任意a£(0,+oo)都成立

设g(a)=a(x2-t-2)-x2-2x(aeR),则对任意xwR,g(。)为

单调递增函数3eR)

所以对任意aw(0,go),g⑷>0恒成立的充分必要条件

是g(O)NO

即-X2-2X>0,：.-2<X<0,于是x的取值范围是

{x|-2<x<0}

方法二

由题设知：加-3%+(〃+1)>/-工-4+1对任意aG(0,-Foo)都

成立

即a(x2+2)-一2x>0对任意a£(0,+oo)都成立

于是心守对任意即(0,例)都成立，即之生"0

X2+2X2+2

：.-2<x<0,于是x的取值范围是{x|-2WxW0}

二、北京试题

2.若4=2。$,b=logn3,c=log2sin^,贝！J()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>b

D.b>c>a

【标准答案】：A

3.“函数f(x)("R)存在反函数”是“函数/⑶在R上为增函数

的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【标准答案】：B

12.如图，函数/⑶的图象是折线段ABC,其中ABC的坐

标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则/(/(0))=

+»⑴二.(；

Ar->0Ar

【标准答案】：2-2

13.已知函数/(1)=%2一COSX,对于上的任意X］，X2,有如

下条件：

①%>工2；②考；③国>占,

其中能使/&)〉/(%)恒成立的条件序号是.

【标准答案】：②

18.(本小题共13分)已知函数/(、)=卢彳，求导函数八x),

(X-1)

并确定了。)的单调区间.

5.函数/(x)=(x-l)2+l(x<l)的反函数为()

A./-'(x)=i+>/7^T(x>i)B./-,(x)=i-VT：T(x>i)

C.f-Xx）=\+4x^（x>i）D./■'（%）=i-V^T（x>i）

【答案】B

9.若角a的终边经过点尸(1,-2),则或a的值为.

【答案】|

3

10.不等式三>1的解集是

x+2----------------

【答案】{x|x<-2}

已知函数/a)=/+/+3区+出力0),且以幻=)(幻-2是奇函数.

(I)求a,c的值；

(II)求函数八幻的单调区间.

17.(共13分)

解：(I)因为函数ga)=/a)-2为奇函数，

所以，对任意的g(-x)=-g3,/(-x)-2=-/(%)+2.

又一(x)=丁+"2+36x+c所以-x3+ax2-3bx+c-2=-xi-ax2-3bx-c+2・

所以f二“。解得。=0,c=2.

c-2=-c+2.

(II)由(I)得/(幻=1+3法+2.所以r(x)=3/+3bSwO).

当b<o时,由r(%)=o得x=±j工・x变化时，r(»的变化情况如

下表：

X(-8,-4^)(-4-b^4~b)\f-b(V^,+8)

+0—0+

所以，当b〈o时，函数/㈤在(-8,-Q)上单调递增，在(-"Q)

上单调递减，

在(口+00)上单调递增.

当b>0时,r(x)>0,所以函数/a)在(F,+00)上单调递增.

三、福建试题

⑷函数/(x)=d+sinx+1(尢£R),若/(a)=2,则f(-a)的值为

A.3B.0c.-lD.-2

解：/«-1=x3+sinx为奇函数，又/⑷=2/./⑷-1=1

故f(-a)-1=-1即f(-a)=0.

(9)函数/(X)=COSX(XER)的图象按向量(犯0)平移后，得到函

数y=-f(%)的图象，

则力的值可以为

A.—B.乃C.—7：D.——

22

解：y=-f\x)=sinx,而f{x)=cosx(xeR)的图象按向量(加,0)平

移后

得到y=cos(x-m),所以cos(x-m)=sinx,故加可以为

(12)已知函数y=/(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么

y=f(x),y=g(x)图象可能是

解：从导函数的图象可知两个函数在与处斜率相同，可以

排除B答案，再者导函数的函数值反映的是原函数

增加的快慢，可明显看出尸/⑴的导函数是减函数,

所以原函数应该增加的越来越慢，排除AC,最后就

只有答案D了，可以验证尸g(x)导函数是增函数，

增加越来越快.

(19)(本小题满分12分)

已知函数f(x)=^x3+x2-2.

(I)设｛q｝是正数组成的数列，前〃项和为S.，其中％=3.

若点(M，d+](nWN*)在函数y=f'(x)的图象上,求

证：点(〃,5〃)也在y=f\x)的图象上；

(II)求函数/(幻在区间内的极值.

解：(I)证明：因为/3=；7+/一2,所以/(%)=炉+2工，

由点—2。“+])(■eN+)在函数y=f'(x)的图象

上，="+2%

(4+1+4)(。小一%)=2(%+%),又%>0(〃£N+),

所以％”=2,｛叫是4=3,d=2的等差数列

所以Sa=3〃+〃(；"x2=??+方，又因为f,(n)=n2+2n,所

以s“=r(〃)，

故点(〃,S“)也在函数y=f(x)的图象上.

(II)解：f\x)=x2+2x=x(x+2),令f\x)=0,得x=OWU=-2.

当x变化时，r(x)、/(X)的变化情况如下表：

X(--2(-2,0)0(0,+

°°,-2)8)

一(X)+0—0+

f(x)/极大值X极小值/

注意到|(〃-1)-同=1<2,从而

①当a-1v-2＜a即-2a＜时f獭极大值为/(-2)=|-,此时/(%)

无极小值；

②当a-lvOva即Ova＜时/3的极小值为/(0)=-2,此时/(x)

无极大值；

③当-2或-IWoWO或时/⑸既无极大值又无极小值.

3

(4)函数f(x)=x+sinx+l(xGR),若/(a)=2,则f\-d)的值为

A.3B.0C.-1D.-2

解：f。)-1=V+sinx为奇函数，又/(a)=2,/(a)-l=l

故/(-tz)-l=-1即f(-a)=0.

(7)函数y=cosx(xwR)的图象向左平移■个单位后，得到函数

y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为

A.—sinxB.sinxC.-cosx

D.cosx

解：y-W=cos(x+—)=-sinx

2

(11)如果函数y=F(x)的图象如右图，那么导函数y=f{x)

的图象可能是

解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正

f负一正一负，只有答案A满足.

（21）（本小题满分12分）

已知函数/3=X34-nvc24-MT-2的图象过点（-1,-6）,且函数

g（x）=r（x）+6x的图象关于y轴对称.

（I）求加、〃的值及函数产Hx）的单调区间；

（II）若H>0,求函数尸Rx）在区间（丁1,尹1）内的极值.

解：（21）本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、

导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方

法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分

析问题和解决问题的能力.满分12分.

解：（1）由函数f（x）图象过点（—1,—6）,得ZZTZF-3,...

①

由f{x}-x^mx+z?%-2,得（x）=3丁+2%x+力，

贝（I（x）+6产3*+（2研6）广〃；

而g（x）图象关于y轴对称，所以一普=0,所以炉-3,

2x3

代入①得27=0.

于是，（x）=3丁-6万3x（『2）.

由f'（x）>得x>2或水0,

故f（x）的单调递增区间是（一8,0）,（2,+8）；

由户（%）<0得0<K2,

故Hx）的单调递减区间是（0,2）.

（II）由（I）得，（x）=3x（『2）,

令F/(x)=0得A=0或产2.

当x变化时，F，(x)、Ax)的变化情况如下表:

(2,+

X(-8.0)0(0,2)2

OO)

a(X)+0—0+

极大值极小值

由此可得：

当0<a<l时，Ax)在(3-1,K1)内有极大值人。)=-2,无极

小值；

当年1时，F(x)在(kl,a+l)内无极值；

当1〈水3时，f(x)在(才1,乃+1)内有极小值『(2)=—6,无

极大值；

当a23时，F(x)在(/1,广1)内无极值.

综上得：当0<水1时，f(x)有极大值-2,无极小值，当1〈水3

时，Hx)有极小值-6,无极大值；当且口或时，F(x)

无极值.

四、广东试题

7.设QER,若函数y=*+3x,xeR有大于零的极值点，则

(B)

A.u>—3B・ci<—3C•ci>—D•ci<—

33

【解析】/(乃=3+〃*,若函数在xsR上有大于零的极值点，

即八幻=3+〃*=0有正根。当有尸(x)=3+ae"=0成立时,显然有

〃<0,此时x=-ln(--),由x>0我们马上就能得到参数〃的范

aa

围为av-3.

12.已知函数/(x)=(sinx-cosx)sinx,XGR,则/(x)的最小正周

期是.

【解析】/(x)=sin2x-sinxcosx=^~C0S^X--sin2x，此时可得函数的

22

最小正周期r=空”。

2

14.(不等式选讲选做题)已知awR,若关于x的方程

x2+x++同=0有实根，则a的取值范围是.

【解析】方程即+时=-2_]£[04，利用绝对值的几何意义

44

(或零点分段法进行求解)可得实数。的取值范围为限。

_4_

19.(本小题满分14分)

、3系法[―-X<1注

设ZtR,函数=,F(x)=f{x)-kx,XGR,试

—yjx—l,X21

讨论函数尸(x)的单调性.

【解析】尸(=X)-J1诙"‘X)"<

[-4-1-走,

——!~~7-欠，X<1,

尸G(/X)、=j(D।

------/一k,1,

对于/(x)=—!—-Ax(x<l),

\-x

当&K0时，函数F(x)在(3,1)上是增函数；

当%>0时,

上是增函数;

对于F(x)=---J=-A(x>l),

2VT-1

当Z20时，函数F(x)在［1,+00)上是减函数；

当Z<0时，函数尸㈤在1,1+*)上是减函数，在1+*，+8

上是增函数。

5.已知函数/(%)=(1+8$2幻$山晨,工£/?,贝(1/(幻是()

A、最小正周期为〃的奇函数B、最小正周期为工

2

的奇函数

C、最小正周期为乃的偶函数D、最小正周期为王的

2

偶函数

2222

【解析】f(x)=(1+cos2x)sinx=2cosxsinx=—sin2x=--人,选p

8.命题“若函数了(外=陶%3>0,〃工1)在其定义域内是减函数，

则1皿2<0"的逆否命题是()

A、若logfl2>0,则函数/(刈=108“尢(。>。,。工1)在其定义域内不

是减函数

B、若log02Vo,则函数f(x)=log“x(a>0MHl)在其定义域内不

是减函数

C、若砥2",则函数/(x)=log〃Ma>0,"l)在其定义域内是

减函数

D、若loga2<0,则函数/(x)=log,>OMH1)在其定义域内是

减函数

【解析】考查逆否命题，易得答案A.

9、设aeR,若函数y=e'+or,xcR,有大于零的极值点，则

()

A、a<-[B、a>-\C、a<——D、a>——

ee

【解析】题意即,+〃=o有大于0的实根，数形结合令

X=短5=-〃，则两曲线交点在第一象限，结合图像易得

-a>[=>a<-\,选A.

10、设她£火，若加|例>0,则下列不等式中正确的是()

A^b-a>0B、a34-Z?3<0C、a2-b2<0D、b+a>0

五、宁夏试题

1.已知函数y=2sin@r+0)@>0))在区间[0,2兀]的图像如下：那

解：由图象知函数的周期一，所以。子2

73-sin70_(B

)A—-TC.2

・2-COS210"

D.4

解.3—sin70_3-cos20_3-(2cos220_1)_2选C

・2-COS210-2-COS210~-2-cos210'

21.(本小题满分12分)

设函数/(幻=办+'7steZ),曲线y=/(x)在点(2,/⑵)处的切

线方程为产3.

(I)求f(x)的解析式：

(II)证明：函数尸/⑴的图像是一个中心对称图形，并求

其对称中心；

(IID证明：曲线y='f(x)上任一点的切线与直线产1和直线

尸X所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

21.解：(I)f\x)=a-1,

(x+b)-

…1i9

2«+---=1,〃=一,

于是2了解得或\

八b=—L.o

a--------7=0，b=—・

(2+b)23

因a,beZ,故/*)=x+—.

x-1

(H)证明：已知函数乂=以必=」都是奇函数.

X

所以函数g*)=X+!也是奇函数，其图像是以原点为中心的

X

中心对称图形.而/⑴=x—l+_L+l,可知，函数g(x)的图像

X-}

按向量0=(1,1)平移，即得到函数/(X)的图像,故函数了(X)的

图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形.

(III)证明：在曲线上任取一点L，%+—L、.

由ra°)=i-7e知，过此点的切线方程为

Uo-1)'

XQ-XG+\

y-------；--

X0-1

—罟,切线与直线m交点为图

令y=X得y=2/T,切线与直线y=x交点为(2x0-l,2x0-1).

直线x=1与直线y=x的交点为(L1).

从而所围三角形的面积为g罟,2i信备2g=2.

所以，所围三角形的面积为定值2.

24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数/(乃=k-8|-卜-4|,

(I)作出函数y=/(力的图像;

(II)解不等式|工-8|-卜-4|>2.

解：

4,xW4,

(I)/(x)=<-2x+12,4Vx《8,

-4x>8.

图像如下:

(II)不等式卜-8|-卜-4|>2,即/*)>2,

由-2x+12=2得x=5.

由函数/*)图像可知，原不等式的解集为(—8,5).

4、设/⑶=xlnx,若.(%)=2,则m=()

A.e2B.eC,电2D.In2

2

【标准答案】B

【试题解析】•*/(x)=xlnx:./(x)=Inx+x«—=lnx+l

X

・••由/.)=2得In/+1=2:.xQ=e9选B

11、函数f(%)=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为()

A.-3,1B.-2,2C.-3,-D.

2

-2,1

2

【标准答案1C

z［、2a

【试题解析】：丁/(x)=l-2sin2«r+2sinx=-2sinx——IH•一

<2)2

・••当sinx=g时，几x(“="|，当sinx=-l时，Zin(x)=-3；故选

C；

21、(本小题满分12分)设函数个)=如〃，曲线尸/(幻在点

X

(2J⑵)处的切线方程为

7x-4y-12=0。(1)求丫=f(x)的解析式；(2)证明：曲线y=f(x)

上任一直处的

切线6直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，

并求此定值。

21.【试题解析】1)方程7x-4y-12=0可化为广人-3,当

4

x=2时，y=g；

2Ca—b=一1

又一“)=〃+上,于是//，解得：=，故4)*二

x'b7b=3x

a+—=—

44

(2)设尸(事,%)为曲线上任一点，由炉=1+3■知曲线在点

A

尸5,%)处的切线方程为

I%JIx"(X。1

令X=O,得丁=-9,从而得切线与直线x=。的交点坐标为

X。

1。,-斗

令丫=%，得y=x=2不，从而得切线与直线y=x的交点坐标为

(2%,2%)；

所以点尸伍,%)处的切线与直线x=O,y=x所围成的三角形面积

为；与2%|=6;

故曲线广/(x)上任一点处的切线与直线.0,产x所围成的三

角形面积为定值，此定值为6;

六、湖北试题

1.函数/'(工)」皿，？_3/+2+，一人一3%+4)的定义域为

x

A.(-oo,T⑵例)B.(-4,0)(0.1)

C.[-4,0)(0,1]D.[-4,0)(0,1)

解：函数的定义域必须满足条件:

xwO

X2-3X+2>0

=>XG[-4,0)(0,1)

-x2-3x+4>0

yjx2-3x4-2+5/-x2-3x+4>0

5.将函数y=3sin(尢-6)的图象Z7按向量g,3)平移得到图象F,若

9的一条对称轴是直线＞生，则夕的一个可能取值是

4

A.—7CB.--7TC.—7T

121212

D..-

12

解：平移得到图象广的解析式为y=3sin(x-。©)+3,

对称轴方程x-0--=k7r+—(keZ)

329

把工=乙带入得。二一二一%4二(一%—1)乃+且伏wZ),令后=-1,

41212

9=—71

12

7.若/(x)=-1x2+/?ln(x+2)在(-1,+8)上是减函数，则力的取值范围

是

A.[―1,4-CO)B.(―1,+oo)C.(-00,-11D.

(-8,-1)

解：由题意可知/(X)=-X+—^<0,在X£(-1,+OO)上怛成立，

即b<x(x+2)在xe(-1,+8)上怛成立，由于工工-1,所以64-1,

故C为正确答案.

8.已知机wN”,R,若lim"+")+"=匕，则

2。X

A.-mB.mC.-1D.1

解：Hm-+JHm(a+D+Cx+C%2+C学

XTO%.t->0x

=lim([—+能+C,3++CynA)=b

XTOX

:.a=-T,b=m=ab=-m

另外易知人T由洛必达法则lim(l+H+Jlim巩1+x严=吁"

x-»OxXTOI

所以ab=­m

6.已知f(x)在7?上是奇函数，且

/(x+4)=f0),当xe(0,2)时,f(x)=2x2,则〃7)=

A.-2B.2C.-98

D.98

解：由题设/(7)=/(3)=/(-I)=-/(l)=-2xl2=-2

7.将函数〉=而。-。)的图象厂向右平移？个单位长度得到图象

F,若F'的一条对称轴是直线行工则。的一个可能取值是

4

A.—71B.一~—7CC.—71

121212

D.

12

解：平移得到图象广的解析式为y=3sin(x-8-g)+3,

3

对称轴万程x-0--=k/r+—(keZ),

32

把x=£带入得。二一上一ATT=(—%—1)乃+2伏wZ),令4=一1,

41212

0=—7T

12

8.函数f(x)=—1n(\Jx2-3x4-2)+\1-x2-3x+4的定乂域为

x

A.(-oo,-4][2,+oo)B.

(Y,0)50」)

C.[-4,0)(0,1]

D.[-4,0)50,1]

解：函数的定义域必须满足条件：

xwO

—3x+2N0

j3i0_________nm。)(。」)

Q£-3x+2+yj-x2—3x+4>0

13.方程二+/=3的实数解的个数为.

解：画出y=2-x与y=37的图象有两个交点,故方程2一+-=3

的实数解的个数为2个。

17.（本小题满分12分）

已知函数了（＞¥）=/+7nx_m2彳+1（勿为常数，且加＞0）有极大

值9.

（I）求力的值；

（II）若斜率为-5的直线是曲线），=/（此的切线，求此直线

方程.

解：（I）f'（x）=39+2加不一/2二（X+勿）（3x一%）=0,则尸一勿

或A=-/Z7,

3

当X变化时，（X）与F（x）的变化情况如下表:

（―°°,(―(?"'+

X—m-1m

一勿）ID,-/n)3°°)

3

+0——0+

（X）

f极小

极大值

（X）值

从而可知，当产一勿时，函数F（x）取得极大值9,

即F（一%）=一序+/+序+1=9,・,•勿=2.

（II）由（I）知，f（x）=x+2/—4^+1,

依题意知f\x）=3*+4x—4=-5,...x=—1或x=-

3

又〃-1）=6,f（T）=黑,

327

所以切线方程为y—6=-5（x+1）,或y—11=-5（x+

拉

即5x+y—l=0,或135x+27y—23=0.

19.（本不题满分12分）

如图，要设计一张矩形广告，该广告含

有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴

影部分），这两栏的面积之和为18000cn）2,四

周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白

的宽度为5cm,怎样确定广告的高与宽的尺

寸（单位：cm）,能使矩形广告面积最小?

解：

解法1：设矩形栏目的高为acm,宽为bcm,则^9000.

①

广告的高为a+20,宽为2步25,其中5>0,Z?>0.

广告的面积S=（芯20）（2护25）

=2a加40""25尹500=18500+25^+406

2

18500+2J25〃・4O。=18500+Jiooo"=24500.

当且仅当25a=406时等号成立，此时代入①式

8

得才120,从而反75.

即当走120,即75时,S取得最小值24500.

故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面

积最小.

解法2：设广告的高为宽分别为xcm,ycm,则每栏的高和

宽分别为x—20,与竺，其中x>20,y>25

两栏面积之和为2(x—20)匕生=18000，由此得

2

18000»

------+25,

x-20

广告的面积S=孑X(更@+25)=幽2+25X,

x—20x—20

整理得S=3600004-25(x-20)+18500.

x-20

因为%-20>0,所以S'

x25(x-20)+18500=24500.

当且仅当合=25(、-2。)时等号成立,

此时有(才-20)2=14400(f>20),解得尸140,代入

产竺出+25,得y=175,

%-20

即当二140,尸175时,S取得最小值24500,

故当广告的高为140cm,宽为175cm时，可使广告

的面积最小.

七、湖南试题

6.函数/(止sin*/3sin在区间(弓上的最大值是

()

A.1B.匕迫C.之D.1+V3

22

【答案】C

【解析】由/⑴=士警+当法="皿21-刍,

2226

423oo22

13.设函数y=/(x)存在反函数y=L(x),且函数y=x-/(x)的图

象过点(1,2),

则函数y=广一)r的图象一定过点.

【答案】(-1,2)

【解析】由函数y=x-f(x)的图象过点(1,2)得:/⑴=-1,即函

数y=/(X)过点(1,-1),则其反函数过点(-1,1),所以函数

丁=尸(幻7的图象一定过点(-1,2).

14.已知函数/（乃=匹三（0工1）.

a-\

（1）若3>0,则/（幻的定义域是；

（2）若/（无）在区间（0』上是减函数，则实数a的取值范围

是.

【答案】卜8，T,（7,0）D（L3]

【解析】（1）当a>0时，由3-依20得xw1所以f（x）的定义

（2）当己>1时，由题意知1<d3；当0<水1时，为

增函数，不合；

当a<0时，/*）在区间（0』上是减函数.故填

19.（本小题满分13分）

在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为

警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测

得一艘匀速直线行驶的船只位于点/北偏东45且与点力相距

40五海里的位置B,经过40分钟又测得该船*

已行驶到点A北偏东45+。（其中sine二堂,

26।--------

0<夕<90）且与点4相距109海里的位置C.

（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；

（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断

它是否会进入警戒水域，并说明理由.

解：（I）如图，AB=4。壶,AC=1OV13,

ZBAC=6>,sin<9=^—.

由于0<6><90，所以COS「二J—（噜了

由余弦定理得

BC=\lAB2+AC2-2ABACcos6^=105/5.

所以船的行驶速度为挈=150（海里/

3

小时）.

（H）解法一如图所示，以/为原点

建立平面直角坐标系，

设点以C的坐标分别是8（乂，乃），C（^,y2）,

BC与x轴的交点为D.

由题设有，乂二力二3AB=40,

X2=ACCOSZCAD=10V13cos(45-<9)=30,

y2=/6§inNCAO=loVi5sin(45-19)=20.

所以过点反。的直线/的斜率A=^=2,直线/的方程

为『2尸40.

又点少（。「55）到直线/的距离加句手=3石<7.

所以船会进入警戒水域.

解法二：如图所示，设直线力总与欧的延长线相交于点Q

在△力阿中，由余弦定理得,

cosZ.ABC=

2ABBC

_好x2+102x5—IO?x13_3加

2x40^x10^10

从而sin/ABC=Vl-cos2ZABC

在AA3Q中，由正弦定理得,

40匹x回

ABsinZ.ABC

-----------10_=40.

sin(45-ZABC)yf22>/io

---X____

210

由于力田55〉40二力。，所以点Q位于点A和点£之间，且

QE=AE-AQ^15.

过点后作鳍18。于点只则班为点后到直线回的距离.

在Rt\QPE中,PE^QE9sinNPQE=QE.sinZAQC=QE-sin（45-NABC）

二15x咚=36<7.

所以船会进入警戒水域.

21.（本小题满分13分）

已知函数小）=小加W

(I)求函数f(x)的单调区间；

(II)若不等式(l+3"+"e对任意的〃wN*都成立(其中e是

n

自然对数的底数).

求a的最大值.

解：(I)函数/(X)的定义域是(-1,+8),

、21n(l+x)x2+2x2(l+x)ln(l+x)-x2-2x

J(x)=-----------------=-------------：--------.

1+x(1+x)2(l+x)2

设g(x)=2(1+x)ln(l+x)-x2-2x,贝!!g'(x)=2ln(l+%)-2x.

令h(x)=2ln(l+x)-2x,贝1]h\x)=———2=—

1+x1+x

当-IvxvO时,〃(x)>0,MO在(T,0)上为增函数,

当X>0时，/f(x)<O"(x)在(0,+oo)上为减函数.

所以/?(x)在尸0处取得极大值，而力(0)=0,所以

g'(x)vO(x。。),

函数g(x)在(-l,+oo)上为减函数.

于是当T<x<0时，g(x)>g(O)=O,

当X>0时，g(x)<g(O)=O.

所以,当-IvxvO时,r(x)>OJ(x)在(-1,0)上为

增函数.

当X>0时，r(x)<0,“X)在(0,+8)上为减函数.

故函数/⑴的单调递增区间为(-1,0),单调递减

区间为(0,”).

(II)不等式(1+与+”e等价于不等式(〃+a)]n(l+3.由1+，>1

nnn

知，

a<--------n.设…而奇g,X£(O,l],则

ln(l+-)

n

--------+g=(1：幻"1广)-♦

(l+x)ln-(l+x)x2x2(l+x)ln2(l+x)

由(I)知,In2(1+x)-—<0,EP(1+x)In2(1+x)-x2<0.

1+x

所以G（x）＜0,于是G（X）在（0,1］上为减函数.

故函数G（X）在（0』上的最小值为G⑴=+-1.

所以H的最大值为-L-1.

In2

4.函数f（x）=/avo）的反函数是（）

A.f-[(x)=Vx(x>0)B.f-}(x)=-4x(x>0)

C.f-1(x)=-4^x(x<0)D.f-[(x)=-x2(x<0)

【答案】B

6.下面不等式成立的是（）

A.log32<log23<log25B.log32<log25<log23

C.log23<log32<log25D.log23<log,5<log32

【答案】A

【解析】由Iog32vl<log23vk)g25,故选A.

21.（本小题满分13分）

已知函数有三个极值点。

42

（I）证明：-27vcv5;

（II）若存在实数C,使函数/（幻在区间［%,+2］上单调递减,

求a的取值范围。

解：(I)因为函数=+有三个极值点，

42

所以fXx)=x3+3x2-9x+c=0W二个互异的实根.

设^(x)=x3+3X2-9X+C,贝！］g'(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-l),

当％<-3时，g\x)>0,g(x)在(-oo,-3)上为增函数；

当-3<%<1时，gXr)vO,g(x)在(-3,1)上为减函数；

当4>1时，>0,g(x)在(l,+oo)上为增函数；

所以函数g*)在工=-3时取极大值，在x=l时取极小值.

当g(-3)40或g(l)N0时,g(x)=0最多只有两个不同实根.

因为g(x)=0有三个不同实根，所以g(-3)>0且g⑴<0.

SP-27+27+27+00,且1+3-9+cvO,

解得。>一27,且c<5,