正切函数的性质与图像+高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7.3.4正切函数的性质与图像学习目标：1.利用正切线研究正切型函数的性质；2.掌握正切函数的性质（定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等）；3.类比正、余弦函数的五点法作图作正切函数的图像；4.利用整体代换的思想方法解决正切函数性质相关的问题。重难点：正切函数的性质与图像。一、正切函数y=tanx的性质1、定义域:

值域：2、奇偶性：3、周期性：5、零点：4、单调性：奇函数T=

根据正切函数的周期性，把图象向左、向右连续平移，得出y=tanx，的图象——正切曲线。yx1-1/2-/2

3/2-3/2-oy=tanx二、正切函数y=tanx的图像方法1：描点法AToXY如何利用正切线画出函数，的图象？

方法2：正切线法作法:(1)等分：(2)作正切线(3)平移(4)连线把单位圆右半圆分成8等份.，，，，，利用正切线画出函数，的图象:

.yxOO正切函数y=tanx的性质1、定义域与值域：2、奇偶性：3、周期性：5、零点：4、单调性：6、对称性：中心对称，对称中心为正切型函数y=Atan(

x+

)的性质1、定义域:值域：2、周期性：3、单调性：【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)正切函数既没有最大值也没有最小值.()(2)正切函数的对称中心是(kπ,0),k∈Z.(

)(3)函数y=tan2x的周期是2π.(

)2.下列是函数y=tan的对称中心的是(

)

A.(0,0) B.C.

D.(π,0)C√×

×

基本题型类型一、与正切函数有关的定义域、值域（最值）问题方法总结：求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tanx有意义即x≠+kπ,k∈Z.【例1】2.函数f(x)=的定义域为 (

)

【小试牛刀】A方法总结：1、求y=Atan(ωx+φ)型的函数值域，一般先由x的范围求出ωx+φ的范围，然后借助图像求出y的范围。2、求y=atan2x+btanx+c型的函数值域，一般先通过换元转化为二次函数，再根据自变量的范围求出二次函数的值域。【小试牛刀】1.函数y=tan,x∈的值域是________.

2.已知-≤x≤,f(x)=tan2x+2tanx+2,求f(x)的最值及相应的x值.基本题型类型二、单调性问题角度1求单调区间【例3】函数f(x)=tan的单调递增区间为(

)

角度2单调性的应用【例4】1.若tan2=a,tan3=b,tan5=c,则 ()A.a<b<c B.b<c<aC.c<b<a D.c<a<bAD1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω≠0,且A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0,由于y=tanx在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令kπ-<ωx+φ<kπ+,k∈Z,解得x的范围即可.(2)若ω<0,可利用诱导公式把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可.2.运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.(2)运用单调性比较大小关系.方法总结2.若函数y=tanωx(ω>0)在(-π,π)上是递增函数,则ω的取值范围是_______.【小试牛刀】1.函数y=tan的单调增区间是()3.比较-tan与tan大小关系是

.

B小于基本题型类型三、奇偶性与对称性问题【例5】若函数f(x)=tan(x+φ),|φ|<的图像的一个对称中心为求φ的值。-或2.函数y=tan(sinx)是 ()A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数1.下列函数中,同时满足:①在上是增函数,②为奇函数,③以π为最小正周期的函数是 (

)

A.y=tanx B.y=cosx C.y=tan D.y=|tanx|3.函数y=tan是 ()A.最小正周期为4π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为4π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数【小试牛刀】【例6】1.下列图形分别是①y=|tanx|;②y=tanx;③