2023-2024学年广东省惠州市博罗县高二上学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省惠州市博罗县2023-2024学年高二上学期期末数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由得，故抛物线的准线方程为.故选：D2.若直线l的一个方向向量为，求直线的倾斜角（）A. B.C. D.【答案】C【解析】直线l的一个方向向量为，则直线斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：C3.已知正项等比数列}满足为与的等比中项，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由题意得，即，，，，故选：B.4.已知平面，其中，法向量，则下列各点中不在平面内的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若点在平面内，则，对于A：，所以A选项的点不在平面内；对于B：，满足要求，所以在平面内；对于C：，满足要求，所以在平面内；对于D：，满足要求，所以在平面内，故选：A5.设A，B为两个互斥的事件，且，则下列各式错误的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】事件，为两个互斥事件，，，故正确；事件，为两个互斥事件，则，，故错误；，故正确；，故正确，综上，ACD正确．故选：B．6.数列an中，，，且（），则为（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】由，，且可得……,所以为周期数列，且周期为6，故，故选：A7.如图，是的重心，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】是的重心，，，，，，，，．故选：D．8.已知双曲线C：的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为，，则有，到渐近线的距离，，，∴，，则，，，由，有，即，解得，则有，所以离心率.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知等差数列的前项和为，，，则（）A. B.C.的最小值为 D.的最大值为【答案】ABD【解析】设等差数列的公差为，则，解得.对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，故当或时，取最小值，C错；对于D选项，，故当时，取得最大值，D对.故选：ABD.10.已知圆，直线.则（）A.直线与圆可能相切B.圆被轴截得的弦长为C.直线被圆截得的最短弦长为D.直线被圆截得最短弦长时，直线方程为【答案】BD【解析】，则恒成立，故，则直线恒过，因为，所以点在圆内部，因为直线恒过定点，所以直线与圆恒相交，所以A错；对于圆，令，得，解得，所以圆被轴截得的弦长为，所以B选项正确；对于选项：由于点在圆的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线，最短弦长为，故C错；因为圆心，直线恒过定点，直线被圆截得的弦长最短时，可知直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以D正确；故选：BD.11.已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是（）A.直线与直线所成的角为B.直线与平面所成角的余弦值为C.平面D.点到平面的距离为【答案】ABC【解析】如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，对于A：，，因为，所以，即，直线与直线所成的角为，故选项A正确；对于C：因为，，，所以，，所以，，因为，平面，所以平面，故选项C正确；对于B：由选项C知：平面，所以平面的一个法向量，因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故选项B正确；对于D：因为，平面的一个法向量，所以点到平面的距离为，故选项D不正确.故选：ABC.12.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，下列结论正确的是（）A.函数有1个零点B.函数有2个零点C.函数有最小值D.关于x的方程的解为【答案】ACD【解析】对AB，有，解得，且此时根式有意义，故有且仅有一根，故A正确，B错误；对CD，因为，其几何意义为上的点与点，之间的距离和.易得关于的对称点为，故即的最小值为，故C正确；又到点，之间的距离和为的点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，故的解即与椭圆的交点的横坐标.即，解得，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是，，则该密码被成功破译的概率为______．【答案】【解析】根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，故该密码被成功破译的概率．故答案为：．14.已知两圆和相交，则公共弦的长度为_____．【答案】【解析】根据题意，联立两圆的方程，则有，即，则公共弦所在直线的方程为；圆，即，其圆心为，半径，圆心到直线的距离，则公共弦的长度，故答案为：．15.已知直线过点，且直线的方向向量为，则点到的距离为__________.【答案】【解析】由题知，直线过点，且直线的方向向量为，点，所以，所以点到的距离为故答案为：16.已知函数，正数数列满足且，若不等式恒成立，则实数的最小值为___________.【答案】【解析】依题意，函数，正数数列满足且，所以，，即，所以，所以不等式恒成立等价于恒成立，由得，令，则，则恒成立令所以函数表示双曲线在第一象限的一部分，双曲线渐近线为，所以对应图象上任意两点的连线的斜率的取值范围是，即的取值范围是，所以的最小值为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知是数列的前n项和，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．解：（1）当时，由，得，两式相减可得，当时，，符合上式，因此，的通项公式为；（2）由（1）可知，所以，．综上．18.已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.（i）写出该试验的样本空间；（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.解：（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，因为两两互斥事件，由已知得，解得.∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；（2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，则样本空间.（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以所以因为，所以此游戏不公平.19.已知曲线C位于y轴右侧，且曲线C上任意一点P与定点的距离比它到y轴的距离大1．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）若直线l经过点F，与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程．解：（1）由题意动点与定点的距离和它到直线的距离相等，所以，曲线C是以F为焦点，直线为准线的抛物线（去掉顶点），，所以曲线C的轨迹方程是；（2）若直线斜率不存在，则不合题意，因此直线斜率存在，设直线方程为，代入曲线C方程整理得，设，则，，所以直线方程为，即或．20.如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．（1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）解：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，设该圆的半径为r米，则，解得，故该圆弧所在圆的方程为．（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则，解得．若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为．隧道能并排通过4辆该种汽车．综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．21.如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.其中，，点为弧的中点，且四点共面.（1）证明：四点共面；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求长.解：（1）连接，因为，所以直棱柱的底面为等腰直角三角形，，在半圆上，是弧中点，所以，所以，又，所以，所以四点共面.（2）法1：直棱柱中，以为原点，建立如图空间直角坐标系，设，则，设面的法向量为，则，取，所以，，设面的法向量为，则，取，所以，平面与平面所成夹角，即与夹角或其补角，所以，解得，所以法2：设，由（1）知四点共面，则面面.取中点，连接，则，而面，面，故，，面，则平面，过作于，又平面，所以平面，过作于，连接，则，又是锐角.所以是平面与平面所成的夹角，则，所以在Rt中，，在中，根据等面积法，在中，.所以.所以，解得，即，所以.22.如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且离心率为，设椭圆的右顶点为，点，是椭圆上异于，的两个动点，记直线，的斜率分别为，，且．（1）求证：直线过定点；（2）设直线，相交于点，记，的面积分别为，，求的取值范围．解：（1）由题设且，故，可得，则，所以，则，，若斜率为0，则关于轴对称，显然与矛盾，所以斜率不为0，令，联立，整理得：，则，，，而，又，又，则，所以，即，，，综上，，即，所以或（舍），则，即直线过定点.（2）根据椭圆对称性，不妨设在椭圆的上半部分，即，令，，联立消去得：，所以，而，，所以，即在定直线上，而，，则，，若直线无限接近轴，即分别无限接近，则无限接近，由在直线上，易知，且趋向于，若直线无限接近椭圆的切线，此时接近重合，即趋向于，所以.广东省惠州市博罗县2023-2024学年高二上学期期末数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由得，故抛物线的准线方程为.故选：D2.若直线l的一个方向向量为，求直线的倾斜角（）A. B.C. D.【答案】C【解析】直线l的一个方向向量为，则直线斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：C3.已知正项等比数列}满足为与的等比中项，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由题意得，即，，，，故选：B.4.已知平面，其中，法向量，则下列各点中不在平面内的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若点在平面内，则，对于A：，所以A选项的点不在平面内；对于B：，满足要求，所以在平面内；对于C：，满足要求，所以在平面内；对于D：，满足要求，所以在平面内，故选：A5.设A，B为两个互斥的事件，且，则下列各式错误的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】事件，为两个互斥事件，，，故正确；事件，为两个互斥事件，则，，故错误；，故正确；，故正确，综上，ACD正确．故选：B．6.数列an中，，，且（），则为（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】由，，且可得……,所以为周期数列，且周期为6，故，故选：A7.如图，是的重心，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】是的重心，，，，，，，，．故选：D．8.已知双曲线C：的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为，，则有，到渐近线的距离，，，∴，，则，，，由，有，即，解得，则有，所以离心率.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知等差数列的前项和为，，，则（）A. B.C.的最小值为 D.的最大值为【答案】ABD【解析】设等差数列的公差为，则，解得.对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，故当或时，取最小值，C错；对于D选项，，故当时，取得最大值，D对.故选：ABD.10.已知圆，直线.则（）A.直线与圆可能相切B.圆被轴截得的弦长为C.直线被圆截得的最短弦长为D.直线被圆截得最短弦长时，直线方程为【答案】BD【解析】，则恒成立，故，则直线恒过，因为，所以点在圆内部，因为直线恒过定点，所以直线与圆恒相交，所以A错；对于圆，令，得，解得，所以圆被轴截得的弦长为，所以B选项正确；对于选项：由于点在圆的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线，最短弦长为，故C错；因为圆心，直线恒过定点，直线被圆截得的弦长最短时，可知直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以D正确；故选：BD.11.已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是（）A.直线与直线所成的角为B.直线与平面所成角的余弦值为C.平面D.点到平面的距离为【答案】ABC【解析】如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，对于A：，，因为，所以，即，直线与直线所成的角为，故选项A正确；对于C：因为，，，所以，，所以，，因为，平面，所以平面，故选项C正确；对于B：由选项C知：平面，所以平面的一个法向量，因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故选项B正确；对于D：因为，平面的一个法向量，所以点到平面的距离为，故选项D不正确.故选：ABC.12.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，下列结论正确的是（）A.函数有1个零点B.函数有2个零点C.函数有最小值D.关于x的方程的解为【答案】ACD【解析】对AB，有，解得，且此时根式有意义，故有且仅有一根，故A正确，B错误；对CD，因为，其几何意义为上的点与点，之间的距离和.易得关于的对称点为，故即的最小值为，故C正确；又到点，之间的距离和为的点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，故的解即与椭圆的交点的横坐标.即，解得，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是，，则该密码被成功破译的概率为______．【答案】【解析】根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，故该密码被成功破译的概率．故答案为：．14.已知两圆和相交，则公共弦的长度为_____．【答案】【解析】根据题意，联立两圆的方程，则有，即，则公共弦所在直线的方程为；圆，即，其圆心为，半径，圆心到直线的距离，则公共弦的长度，故答案为：．15.已知直线过点，且直线的方向向量为，则点到的距离为__________.【答案】【解析】由题知，直线过点，且直线的方向向量为，点，所以，所以点到的距离为故答案为：16.已知函数，正数数列满足且，若不等式恒成立，则实数的最小值为___________.【答案】【解析】依题意，函数，正数数列满足且，所以，，即，所以，所以不等式恒成立等价于恒成立，由得，令，则，则恒成立令所以函数表示双曲线在第一象限的一部分，双曲线渐近线为，所以对应图象上任意两点的连线的斜率的取值范围是，即的取值范围是，所以的最小值为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知是数列的前n项和，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．解：（1）当时，由，得，两式相减可得，当时，，符合上式，因此，的通项公式为；（2）由（1）可知，所以，．综上．18.已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.（i）写出该试验的样本空间；（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.解：（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，因为两两互斥事件，由已知得，解得.∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；（2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，则样本空间.（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以所以因为，所以此游戏不公平.19.已知曲线C位于y轴右侧，且曲线C上任意一点P与定点的距离比它到y轴的距离大1．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）若直线l经过点F，与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程．解：（1）由题意动点与定点的距离和它到直线的距离相等，所以，曲线C是以F为焦点，直线为准线的抛物线（去掉顶点），，所以曲线C的轨迹方程是；（2）若直线斜率不存在，则不合题意，因此直线斜率存在，设直线方程为，代入曲线C方程整理得，设，则，，所以直线方程为，即或．20.如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．（1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多