专题五 指数函数与对数函数的应用（B卷-能力提升）解析版

专题五指数函数与对数函数的应用（B卷·能力提升）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：100分考试时间：100分钟题号一二三总分得分注意事项：答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(A)A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2[解析]由散点图可知，与指数函数拟合的最贴切，故选A．2．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是(D)[解析]设今年绿地面积为m，则有my＝(1＋10%)xm，∴y＝1.1x，故选D．3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2015年的湖水量为m，从2015年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为(C)A．y＝0.9eq\f(x,50) B．y＝(1－0.1eq\f(x,50))mC．y＝0.9eq\f(x,50)m D．y＝(1－0.150x)m[解析]设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9eq\f(1,50)，x年后的湖水量为y＝0.9eq\f(x,50)m，故选C．4．某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为(C)A．(1＋P)11 B．(1＋P)12C．(1＋P)12－1 D．(1＋P)11－1[解析]设年平均增长率为x，∴1·(1＋x)＝1·(1＋P)12，∴x＝(1＋P)12－1，故选C．5．设某产品2018年12月底价格为a元(a>0)，在2019年的前6个月，价格平均每月比上个月上涨10%，后6个月，价格平均每月比上个月下降10%，经过这12个月，2019年12月底该产品的价格为b元，则a，b的大小关系是(A)A．a>b B．a<bC．a＝b D．不能确定[解析]由题意，得b＝a·(1＋10%)6·(1－10%)6＝a·(1.1×0.9)6＝0.996a<a，故选A．6.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(D)A．eq\f(p＋q,2) B．eq\f(1＋p1＋q－1,2)C．eq\r(pq) D．eq\r(1＋p1＋q)－1[解析]设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.7.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到（

）A．300只 B．400只 C．600只 D．700只【解析】将x=1，y=100代入y=alog2(x+1)得，100=alog2(1+1)，解得a=100，所以y=100log2(x+1)所以当x=7时，y=100log2(7+1)=300.故选：A8.某工厂去年十二月份的产量为，已知月平均增长率为，则今年十二月份的产量比去年同期增加的倍数为（

）A． B． C． D．【解析】由于去年十二月份的产量为，且月平均增长率为，则今年十二月份的产量为，比去年同期增加的倍数为，故选A.第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分．9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：h，y表示病毒个数)，则k＝__2ln2__，经过5h,1个病毒能繁殖为__1_024__个．[解析]∵当t＝0.5时，y＝2，∴2＝eeq\f(k,2)，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2.当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.10．在不考虑空气阻力的情况下，火箭(除燃料外)的质量mkg、火箭的最大速度vm/s和燃料的质量Mkg的函数关系是v＝2000ln(1＋eq\f(M,m))．当燃料质量是火箭质量的__e6－1__倍时，火箭的最大速度可达12km/s.[解析]设M＝tm，则有2000ln(1＋t)＝12000，即ln(1＋t)＝6解得t＝e6－1.11.随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为________元.(精确到个位)(附：1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59)【解析】设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3000×1.06x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3000×1.067≈4500.故答案为：450012.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的_____【解析】某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，设湖泊中原来蓝藻数量为，则，经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.故答案为：36倍评卷人得分解答题：本题共2小题，共28分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.13．（14分）有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有aL水，水桶乙中无水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，tmin后剩余的水符合指数衰减曲线y＝ae－nt，假设过5min时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲中的水只有eq\f(a,8).[解析]由题意得，ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝eq\f(1,2)，设再过t分钟水桶甲中的水只有eq\f(a,8)，得ae－n(t＋5)＝eq\f(a,8)，所以e－n(t＋5)＝eq\f(1,8)＝(eq\f(1,2))3＝e－15n，∴t＋5＝15，∴t＝10.∴再过10分钟水桶甲中的水只有eq\f(a,8).14．（14分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(eq\f(1,16))t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．[解析](1)∵药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y与时间t成正比，∴设y＝kt，代入点(0.1,1)，得k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1)．同理，将点