4.4 同角三角函数的基本关系

授课题目4.4同角三角函数的基本关系选用教材高等教育出版社《数学》（基础模块上册）授课时长2课时授课类型新授课教学提示本课从熟悉的特殊角的三角函数值之间的关系出发，借助三角函数的定义利用单位圆，推导同角三角函数的平方关系和商数关系，学习利用同角三角函数的基本关系进行有关的化简和计算的常见方法．教学目标经历利用单位圆和三角函数定义推导同角三角函数的平方关系和商数关系的过程，逐步提升逻辑推理等核心素养；熟记同角三角函数基本关系式，并会通过一个三角函数值求出另外两个三角函数值，体推理和数学运算等核心素养．教学重点推理等问题．教学难点理解和识记两个公式；已知正切值求正弦值和余弦值．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入sin、cos和tan之间有什么关系？6 6 6提问启发引导思考作答交流用熟悉的问题引发学生思考降低学习起点探索新知利用单位圆，可以求得1，6 2 12 32cos 3，tan3，且 16 2 6 3 2 2讲解说明理解思考结合具体数值搭建思维台阶学生通过观察思考12 3．即3 32 sinsin2 cos2 tan 66 6 6 cos6P(x,y)αO的交点，则|OP|=1，x=cosα，y=sinα.因为OP=r=x2y2，所以x²+y²=1即 sin²α+cos²α=1显然，当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立．而当+kkZ时，有2y sintan= = .x cos由此得到同角三角函数间的基本关系式：sin2cos21,tansin.cos这说明，同一个角α的正弦、余弦的平和等于1，商等于角α的正切．推导分析展示讲解方参与知识形成感受发现的乐趣分析思考数形结合说明问题帮助学生观察理解提升直观想象核心素养理解提示思维的严谨性学习记忆深入思考温馨提示sin关 系 式 tan= 中 的cos+kkZ是指终边在在y轴上的角的2正切值不存在.例1 已知sin=4,且角α是第二象限角,求5cosα和tanα．解因为sin²α+cos²α=1，所以42 3|cosα|=1－sin2α= 1 = ．5 5αcosα＜0此cosα=3，5从而4tan=sin=5 4．cos 3 35例2已知tanα=−5,且α是第四象限角.求sinα和cosα．解 由题设及同角三角函数间的基本关系，得方程组：sin2cos21 ns5 ()由(2)式得sinα=−5cosα，代入(1)，得（−5cosα）2+cos2α=1，1即6cos2α=1，所以cos2α=6，因此提问思考例1和例2强调综合运用同引导分析角三角函数基本关系与算数讲解解决根有关知识解决问题掌握常强调交流用解决问题方法和例题思路辨析例3利用提问思考同角三角函数进行恒等变形引导分析解决问题例4学习三角恒等讲解解决式证明的常用方法锻炼学生强调交流灵活运用公式能力|cosα|=6．6因为α是第四象限角，cosα＞0．所以cosα=6，6sinα=−5cosα=−5×630．6 6例3化简：sincos．tan1解 由于tan1sin1sincos,cos cos故sincossincos=costan1 sincos cos例4求证：sin=1cos．cos sin证明因为sincos sin21-cos2 sin2sin2- 1cos sin 1cossin cos)sin所以sinα1−cosα1+cosα=sinα例5已知tanα=2，求3sin+4cos．2sincos解法一 由 tanα=2, 得sin=2, 即cossinα=2cosα,所以解法二体会化归思想方法例5渗透“数学的提问思考逻辑美”引导分析讲解解决强调交流提问思考引导分析讲解解决强调交流提问思考引导分析讲解解决强调交流探究与发现sinα+cosα与sinαcosα之间有什么关系？提出问题思考交流练习4.4已知cos2α是第三象限角，2sinαtanα．已知sin 3且α是第二象限角求2cosα和tanα．已知tan3α是第一象限角，求4sinα和cosα．化简：(1)cosαtanα； (2)2cos21；12sin2(3)1sin2α为第二象限角．5．已知tanα=−4，求下列各式的值(1)sincos； (2) 1sincos cos2sin26．求证：1+sin=cos．cos 1sin12sincosα为第一象限角．提问思考通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺巩固巡视