陈志奎离散数学试卷

陈志奎离散数学试卷一、选择题

1.设集合A={1,2,3}，集合B={2,4,6}，下列运算结果为真命题的是：

A.A∩B={2}

B.A∪B={1,2,3,4,6}

C.A-B={1,3}

D.B-A={4,6}

2.设集合A={1,2,3,4}，集合B={1,2,3,4,5}，下列命题中，正确的是：

A.A⊆B

B.B⊆A

C.A∩B=∅

D.A∪B={1,2,3,4}

3.在一个有限集合中，元素个数称为：

A.空间维数

B.集合大小

C.集合基数

D.集合维度

4.设集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，下列运算结果为真命题的是：

A.A∩B={2,3}

B.A-B={1}

C.B-A={4}

D.A∪B={1,2,3,4}

5.下列集合中，具有相同元素个数的是：

A.{1,2,3}和{2,3,4}

B.{1,2,3,4}和{2,3,4,5}

C.{1,2,3}和{1,2,3,4}

D.{1,2,3,4}和{2,3,4,5}

6.下列命题中，正确的是：

A.任何集合都是自己的子集

B.空集是任何集合的子集

C.空集是任何集合的父集

D.任何集合都是空集的子集

7.设集合A={1,2,3}，集合B={1,2,3,4}，下列运算结果为真命题的是：

A.A∩B={1,2,3}

B.A-B={1,2,3}

C.B-A={4}

D.A∪B={1,2,3,4}

8.下列集合中，是有限集合的是：

A.自然数集

B.有理数集

C.实数集

D.整数集

9.设集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，下列运算结果为真命题的是：

A.A∩B={2,3}

B.A-B={1}

C.B-A={4}

D.A∪B={1,2,3,4}

10.下列命题中，正确的是：

A.任何集合都是自己的真子集

B.空集是任何集合的真子集

C.空集是任何集合的真父集

D.任何集合都是空集的真子集

二、判断题

1.在集合论中，任意两个集合的笛卡尔积的大小等于它们各自大小的乘积。（）

2.一个集合的幂集包含该集合的所有子集，但不包括空集。（）

3.在集合的交集中，如果两个集合都包含空集，则它们的交集也为空集。（）

4.在集合的并集中，如果两个集合有一个是空集，则它们的并集等于非空的那个集合。（）

5.集合的补集运算满足交换律，即A的补集等于B的补集的补集。（）

三、填空题

1.在集合论中，如果一个集合A是另一个集合B的子集，那么A的基数（即元素个数）一定小于或等于B的基数。这个性质称为集合的______性质。

2.在离散数学中，一个______是一个集合，它包含所有满足某个特定条件的对象。

3.在集合的并集运算中，如果集合A和集合B的交集为空集，那么A和B的并集等于______。

4.在集合的补集运算中，如果一个集合A的补集是集合B，那么集合A是集合B的______。

5.在关系论中，一个______是两个集合之间的一种关系，它将第一个集合中的每个元素与第二个集合中的某个元素相关联。

四、简答题

1.简述集合的基数（Cardinality）的概念及其在离散数学中的应用。

2.解释什么是笛卡尔积（CartesianProduct）以及它在离散数学中的用途。

3.描述什么是等价关系（EquivalenceRelation）并给出其三个性质。

4.说明如何判断一个关系是偏序关系（PartialOrder）并列举其两个性质。

5.解释什么是图（Graph）以及图论中的基本术语，如顶点（Vertex）、边（Edge）和连通性（Connectivity）。

五、计算题

1.计算集合A={1,2,3,4,5}和集合B={3,4,5,6,7}的并集、交集、差集和对称差集。

2.设集合A={x|x=2n，n∈N}和集合B={x|x=3n+1，n∈N}，求A和B的并集和交集。

3.设集合A={1,2,3,4,5}，从A中任取两个不同的元素组成一个有序对，求所有可能的有序对集合。

4.设集合A={1,2,3,4,5}，集合B={1,2,3,4}，计算以下表达式的值：(A-B)∪(B-A)。

5.设集合A={x|x是小于10的正整数}，集合B={x|x是大于等于2的偶数}，计算集合A和B的笛卡尔积。

六、案例分析题

1.案例背景：

假设有一个学校的学生信息管理系统，该系统需要记录每位学生的姓名、学号、性别、年龄和专业。设计一个合适的数据库模式，包括所需的数据表和字段。

案例分析：

（1）请设计一个学生信息的数据表，包括必要的字段和字段类型。

（2）讨论如何确保数据的一致性和完整性，例如使用外键约束或主键约束。

（3）说明如何利用集合论中的概念，如集合、关系和映射，来描述学生信息管理系统中的数据结构。

2.案例背景：

一个在线书店需要管理大量的书籍信息，包括书名、作者、出版社、出版年份、ISBN和库存数量。为了优化库存管理，书店决定使用一种编码系统来标识每本书。

案例分析：

（1）设计一个书籍信息的数据表，包括必要的字段和字段类型。

（2）提出一种书籍编码方案，并解释如何确保编码的唯一性和有效性。

（3）讨论如何使用集合论中的概念，如集合、关系和函数，来描述在线书店的书籍信息管理系统。特别关注如何通过编码系统来建立书籍与库存数量之间的关系。

七、应用题

1.应用题：

一个班级有30名学生，其中有18名女生和12名男生。现在要从这个班级中随机抽取5名学生参加比赛，求以下概率：

（1）抽取的5名学生中至少有3名女生的概率。

（2）抽取的5名学生中女生的数量恰好是男生的两倍的概率。

2.应用题：

一个图书馆有5个不同的图书分类，每个分类中有10本书。现在要随机选择一本书，求以下概率：

（1）选中的书属于第一个分类的概率。

（2）选中的书至少属于第二个分类的概率。

3.应用题：

一个密码锁由4位数字组成，每位数字可以是0到9之间的任意一个数字。求以下概率：

（1）密码锁的密码恰好是1234的概率。

（2）密码锁的密码中至少包含一个偶数的概率。

4.应用题：

一个班级有20名学生，其中有10名学生擅长数学，8名学生擅长物理，6名学生擅长化学。如果每个学生至少擅长一门科目，求以下概率：

（1）随机选择一名学生，他擅长数学和物理的概率。

（2）随机选择一名学生，他至少擅长两门科目的概率。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.A

2.A

3.C

4.D

5.B

6.B

7.A

8.D

9.D

10.D

二、判断题答案：

1.×

2.×

3.×

4.√

5.×

三、填空题答案：

1.对称性

2.类

3.A

4.补集

5.函数

四、简答题答案：

1.集合的基数是指集合中元素的数量。在离散数学中，基数用于描述集合的大小，是集合论中的一个基本概念。例如，集合A={1,2,3}的基数是3，表示集合A中有3个元素。

2.笛卡尔积是两个集合A和B中所有可能的有序对(x,y)的集合，其中x属于A，y属于B。在离散数学中，笛卡尔积用于表示两个集合之间的关系，例如，如果集合A={1,2}，集合B={a,b}，则A×B={（1,a），（1,b），（2,a），（2,b）}。

3.等价关系是满足以下三个性质的二元关系：自反性、对称性和传递性。例如，在集合A={1,2,3}上定义关系R={（1,1），（2,2），（3,3），（1,2），（2,1），（2,3），（3,2）}，则R是一个等价关系。

4.偏序关系是满足以下两个性质的二元关系：自反性和传递性。例如，在集合A={1,2,3}上定义关系R={（1,1），（2,2），（3,3），（1,2），（2,3）}，则R是一个偏序关系。

5.图是由顶点和边组成的结构，顶点代表实体，边代表实体之间的关系。图论中的基本术语包括顶点、边、连通性、路径和回路。例如，一个简单的图可能有两个顶点a和b，以及一条连接它们的边（a,b）。

五、计算题答案：

1.并集：{1,2,3,4,5,6,7}，交集：{3,4,5}，差集A-B：{1,2}，差集B-A：{6,7}，对称差集：{1,2,6,7}

2.并集：{1,2,3,4,5,6}，交集：{3}，A和B的并集为自然数集，A和B的交集为{3}

3.所有可能的有序对集合：{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)}

4.(A-B)∪(B-A)={1,2,3,4}

5.笛卡尔积：{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)}

六、案例分析题答案：

1.（1）学生信息数据表：

-学号（主键）

-姓名

-性别

-年龄

-专业

（2）使用外键约束确保数据的一致性和完整性，例如，学号可以作为外键关联到另一个班级信息表。

（3）使用集合论中的概念描述学生信息管理系统，如将学生视为集合中的元素，性别、年龄和专业视为集合的属性，学号作为集合的唯一标识。

2.（1）书籍信息数据表：

-ISBN（主键）

-书名

-作者

-出版社

-出版年份

-库存数量

（2）书籍编码方案可以是ISBN的前几位数字，确保唯一性和有效性。

（3）使用集合论中的概念描述在线书店的书籍信息管理系统，如将书籍视为集合中的元素，ISBN作为集合的唯一标识，库存数量作为集合的属性。

题型知识点详解及示例：

-选择题：考察学生对基本概念和性质的理解，如集合的运算、关