重庆大学高等数学(工学类)中期试卷及参考答案_第1页
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重庆大学2014版试卷标准格式第1页共4页命题人：组题人：审题人：命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院专业、班年级学号姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密

20—20学年第学期开课学院：数学与统计课程号：考试日期：考试时间：120分钟题号一二三四五六七八九十总分得分考试提示考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试；2.考试作弊，留校察看，毕业当年不授学位；请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等，属严重作弊，开除学籍。一．单项选择题（每小题3分，共15分）1.设，则【D】（A）（B）（C）（D）2.若函数有，则当时，该函数在处的微分是【D】（A）与等价的无穷小（B）与同阶的无穷小（C）比低阶的无穷小（D）比高阶的无穷小3.若，则方程【B】（A）无实根（B）有唯一实根（C）有三个不同实根（D）有五个不同实根4.若，则【C】（A）（B）（C）（D）5.设两函数和都在处取得极大值，则函数在处【D】（A）必取极大值（B）必取极小值（C）不可能取极值（D）不能确定是否取极值二．填空题（每小题3分，共15分）1.已知且，则的定义域为2.若，则3.已知当时，与是等价无穷小，则常数4.若在上连续，则5.设在点处可导，且，则函数在处的切线斜率为三．判断并说明理由（每小题4分，共12分）。1.设在的某个邻域内有定义，若存在，则在处可导。简答：不对，例如则在间断，因此在处是不可导，但2.若，则。简答：错，因为，3.设和在内有定义，为连续函数，且有间断点，则必有间断点。简答：对，因为如果连续，于是，由连续函数的乘积必连续，知连续，与假设矛盾。四．计算题）1.。在处具有连续的导数，且求。解：=求曲线上对应于点处的法线方程。解：当时，，切线的斜率为：，法线的斜率为，所以法线的方程为：设函数在区间内有定义，若当时，恒有，求解：由题设在区间内有定义，又，令，得到，又而，由迫敛性定理可以知道故确定函数在内零点个数。解：令当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以函数在取得极大值，又，极大值在轴的上方。又，，由零点存在定理知在和内分别有一个零点.，所以在内有两个零点.五．证明题1.设函数在区间上二阶可导,且在上有求证在上有证明:任取,由泰勒公式其中.上面两式相减得于是当时,有即有2、设函数连续，在内可导，且，试证明存在使得证明：在上满足拉氏中值定理的条件，由拉氏中值定理，存在，使得令，则与在满足柯西中值定理的条件，故由柯西中值定理，存在，使得，即由题设，知，从而应用题（7分）汽车的前灯、探照灯、反射式的天文望远镜以及日常生活中使用的手电筒，它们的反光镜都是采用旋转抛物面，即抛物线绕对称轴旋转一周而成的曲面。这种反光镜有一个很好的光学特性，把光源放在抛物线的焦点处，经镜面反射后的光线变成了与对称轴平行的光束，请用导数的几何意义来证明这个性质。解：不妨设抛物线的方程为，它的焦点为由于抛物线关于

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