结构化视角下数的认识教学探析

为回应数学课程标准提出的“确立核心素养导向的课程目标、设计体现结构化特征的课程内容、实施促进学生发展的教学活动”理念，我们确定了“素养导向的大单元整体设计”数学专题核心议题。这里的“大单元”指整合度高、结构性强的学习单位，如数的认识、数的运算等。它可以跨越学段、年级，而不局限于教材单元、教学单元。“整体设计”主要指向单元内容组织的整体性和结构化、单元学习目标的衔接性和进阶性等。本期，我们以整体视角分析“数的认识”主题下的大单元课程内容设计与实施，为教师研究学段知识衔接、单元教学结构化提供参考和借鉴。小学数学教材采用螺旋式上升的内容编排方式，同一主题内容的非连续性教学安排要求教师准确把握每个学段的教学目标、内容和方法等。“数的认识”是数学学习的根基，核心目标是帮助学生感悟数的概念本质上的一致性。笔者基于文本分析和教学实践，具体阐释不同学段相关知识的衔接、同一学段内相关教学内容的结构化处理、学习策略与路径的优化等。一、厘清知识结构，沟通联系人教版数学教材“数的认识”内容编排如下：一是将整数的认识划分为10以内、11～20、100以内、万以内、万以上等阶段；二是将分数、小数的认识分为两个阶段，考虑到小数的意义要借助分数才能理解，所以先安排分数的初步认识，再安排小数的初步认识；三是安排分数、小数的再认识，也就是安排分数、小数的意义和性质等内容时，考虑到小数和整数都满足十进制，学生比较容易理解，所以先安排小数的再认识，再安排分数的再认识。虽然不同认识阶段有不同的要求，但数本质上都是对数量或数量关系的抽象，数的认识要抓住计数单位及其累加这个核心。1.基于数的形成理解符号表达的数的意义从一个个地数数到一组组地数数，从1的累加到1的均分再累加，反映了因计数需要产生新计数单位的数的形成与发展过程。整数、小数、分数的本质都是不同计数单位的累加。从数的建构规则来说，整数、分数和小数的本质一致，都要先明确计数单位，再确定计数单位的数量，如5是5个一，50是5个十，0.5是5个0.1，[25]是2个[15]，教师应抓住计数单位这个核心概念，引导学生结合计数单位及其个数理解数的意义，感悟数概念本质上的一致性。如认识整数时，从“3名同学”到3的表达，去掉了数量的具体含义，抽象出符号3，但此时只是认识3，还需要转换环境，用3表示其他事物，以理解3的意义。也就是说，学生需要经历从具体到抽象再回到具体的过程来理解整数的概念。小数、分数的认识同理。学习数的认识，学生既要理解数字符号表达的是这个数含有的计数单位及其个数，又要理解数字符号表达的数的实际意义，这样才能发展数感，增强符号意识和抽象能力。2.在数的呈现中感受数是对数量的抽象一年级新教材针对学生需要借助生动活泼的故事、游戏情境学习的特点，设置海洋馆、农家小院等主题图以及小猴吃水果、小熊帮小兔盖房子等具体情境，以此教学一一对应、比多少、比大小等数学知识。教学这部分内容时，教师要通过游戏、操作、讨论等活动激发学生的学习兴趣，培养学生的数学思维和解决问题的能力，还要根据学生的年龄特征选择合适的素材设置问题情境，帮助学生感悟数是对数量的抽象，理解数的现实意义。如教学《1～5的认识》时，教师可以先借助农家小院的主题图引导学生发现其中的1个人、1只狗等，再将1个人、1只狗用1根小棒或1个圆表示，进而抽象出计数单位“一”并用数字“1”表示。二、建立思维结构，凸显核心小学阶段“数的认识”教材内容编排以整数的认识为起点，从数的认、读、写，数的顺序、大小比较、改写等角度展开，教学如果局限于教材的表层逻辑，就很难实现知识的系统理解。因此，教师要聚焦计数单位、数位和十进位值制等核心概念教学，帮助学生打通知识之间的联系，建立认识数的思维结构，强化对数的概念本质上一致性的理解。1.构建计数单位，理解数的本质计数单位是数的计量单位，是度量数的大小的标准，教师应该在教学中突出计数单位的构建过程，帮助学生构建计数单位的概念，感悟其在数的意义构建、读写、大小比较中的作用，把握它们之间的关系。整数的认识要引导学生通过数一数实物等直观手段构建计数单位“一”，借助十进制体验“十、百、千、万”等计数单位的构建过程，并在此过程中巧用学具认识位值制，深入理解十进制。如教学《10的再认识》，教师可以借助一托鸡蛋（10个）等结构化实物，帮助学生感受10个一组数起来既方便又简洁；可以利用10根小棒形成1捆的操作活动，帮助学生明确1捆是1个十，形成计数单位“十”；还可以设计拨一拨计数器的活动，帮助学生认识十进制和位值制，体会位值的作用。分数的认识要突出几分之一的教学，通过直观手段让学生感悟分数单位的产生是基于计数的需要，平均分成多少份，分数单位就是几分之一。如教学《分数的意义》时，教师可借助分数墙、数线等学习材料，让学生直观感知分数、整数、小数都由不同的计数单位组成，从而系统地建立分数的概念，理解分数的意义。小数由计数规则扩展产生，是十进制记数法向相反方向衍生的结果，其本质是十进分数的另一种表现形式，而小数和整数在形式上是统一的，因此小数的出现使十进制记数法从整数扩展到分数，丰富了数的内涵。理解了这一点，在《小数的意义和性质》教学中，学生就能借助“十分之一、百分之一、千分之一”等分数单位，建立“0.1，0.01，0.001”等小数的计数单位，并明确它们之间的关系，感悟计数单位在构建小数的意义及小数大小比较中的作用。如此，整数和小数的教学就能以计数单位这个核心概念统整起来，促进学生发现不同数域的数在本质与意义上高度一致，为他们形成数感、符号意识、推理意识等奠定基础。2.把握数位本质，理解数的表达数位的本质是位值，它是为了表达数，将数字进行排列而形成的不同位置。“数的认识”教学中，教师要凸显数位的本质，明确数位表示数字所在位置的计数单位的大小，以及计数单位之间的关系。“数位顺序表”是数位的表征，有助于学生建立数位顺序与计数单位关系的直观表象，增强对数的意义的理解，把握数位之间的关系，进而有效进行数的读写。借助数位读数、写数，要从一个数的最高位起，依次读出（写出）这个数各个数位上的计数单位及其个数。学生要理解“478”读作“四百七十八”，是因为这个数含有4个百、7个十、8个一。3.认识十进位值制，理解计数规则认识十进位值制，至少要理解以下几方面内容：一是数由有限个抽象符号组成，遵循“满十进一”规则；二是同一个数字在不同数位上表示的大小不同；三是所有的数都由各数位上的数字组合而成；四是这样的数的组成方式可以一直延伸，从而实现用有限的数字表示无限的数的目的。针对小学阶段“数的认识”教学内容，我们可以梳理出如下表所示的位值制概念认知的不同层次。教师要基于以上认知层次设计教学，突出十进位值制的教学支撑作用，以此帮助学生理解计数规则和方法。如认识20以内的数时，要借助直观感悟个位上“满十进一”后产生新的计数单位“十”，渗透十进制记数法；认识100以内的数、大数时，要基于已有的计数经验，体验满10个十产生新的计数单位“百”。同理，依次产生计数单位“千”“万”。三、把握方法结构，理解本质1.直观数数，培养数感“数源于数”强调了数数是理解物体个数的基础，是数概念的起点，对于理解数的意义、培养数感至关重要。学生数数一般经历“口头唱数、一一点数、按群计数、组合计数”四个阶段，所涉及的计数单位越来越多。教师要引导学生借助数数感悟计数单位，体会计数单位的累加。教学《20以内数的认识》，教师可以借助直尺、小棒、计数器等实物引导学生手脑结合地数数，将抽象的计数单位和计数单位的个数变得直观、具体。教学《100以内数的认识》，教师可以设计数小棒活动，引导学生先从20数到29，接着根据“满十进一”得到30，突破“拐弯数”认读，然后从30数到40，再十个十个地从40数到90，最后数到100。在此基础上，教师可以引导学生把10根小棒捆成1捆，进而发现100根小棒可以捆成10捆（10个十），10捆又可以捆成1大捆，从而形成新的计数单位“百”。教学《万以内数的认识》，教师要引导学生选择不同的计数单位数数，可以一个一个地数，也可以一十一十、一百一百、一千一千地数。同时，教师要引导学生按不同顺序数数，因为向前顺着数有助于感悟计数单位的累加使数变得越来越大，向后倒着数有助于感悟计数单位的拆分、递减使数变得越来越小，从而增强学生的数感。2.多维表征，深化理解数的表征要经过从非符号数量表征到符号数量表征、从小数量精确表征到大数量精确表征、从整数符号表征到分数符号表征等阶段，学生的年龄越小，具体形象思维越占主导地位，他们对数的表征就越需要依靠具体形象的支撑。基于此，教师要在教学中引导学生用圈一圈、涂一涂、画一画、写一写等方式，借助实物图、线段图、方格图等表征数量、数字、计数单位，从而直观感知抽象的计数单位及其个数，理解抽象的数的意义，感悟数的表达的简洁性，增强符号意识。3.实际应用，提高素养用抽象的数表达现实世界中事物数量的多少能体现数的应用价值，提高学生的应用意识。如教学“大数的认识”单元后，教师可以组织学生开展调查活动，让他们寻找生活中的大数，如人口普查得到的人口数、某一阶段的经济增长量等，体会数在生活中的广泛应用；教学《一亿有多大？》的过程中，教师可以组织学生开展