浙江省丽水市2023-2024学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省丽水市2023-2024学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合，，若，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因集合，，且，则.故选：C.2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据全称量词命题：的否定是特称量词命题：，可知命题“”的否定为“”.故选：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以或，则可以推出，但不能推出．故“”是“”的充分不必要条件.故选：A．4.函数的定义域是（）A. B.C.且 D.且【答案】D【解析】由题可知，解得且.故选：D.5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，达到及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：）（）A. B. C. D.【答案】D【解析】某驾驶员喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了，则血液中酒精含量达到，在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%速度减少，他至少要经过1小时后才可以驾驶机动车．则，，．他至少经过个小时才能驾驶．故选：D.6.已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个可能值是（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】的图象向左平移个单位长度后的解析式为，由题知，，所以，所以，即，由题知，当时，.故选：A.7.已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为依次确定了零点所在区间为，，，可得，即，解得.所以.故选：B.8.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，根据为上的单调减函数，则在上单调递减，且，，所以函数在上存在唯一的零点，故；又因为，所以，所以，即，所以，所以，即，所以;因为，所以，所以，即，所以，综上可得：.故选：A.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.如果，那么下面结论一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】对于AD，当时，，故AD错误；对于BC，因为，所以，故BC正确.故选：BC.10.已知函数，则（）A.的最小正周期是 B.的定义域是C.的图象关于点对称 D.在上单调递增【答案】ACD【解析】由题意，函数，可得的最小正周期为，所以A正确；令，解得，即函数的定义域为，所以B不正确；令，解得，当时，可得，所以函数的图象关于点对称，所以C正确；由，可得，根据正切函数性质，可得函数在上单调递增，所以D正确.故选：ACD.11.下列是真命题的是（）A.函数且的图像恒过定点B.函数的值域是C.函数为奇函数D.函数的图像的对称轴是【答案】AC【解析】对于A，令，则，当时，，所以函数恒过定点，故A正确；对于B，因为，则，令，则，则，即函数的值域是，故B错误；对于C，因为函数定义域为关于原点对称，且，则，所以函数为奇函数，故C正确；对于D，函数的图像的对称轴是，故D错误.故选：AC.12.已知函数，则下列判断正确的是（）A. B.C.函数的图象存在对称轴 D.函数的图象存在对称中心【答案】ABD【解析】对于选项A：因为，当时等号成立；，当时等号成立，则两个式子中等号不会同时成立，所以由不等式性质可得；故选项A正确；对于选项B：显然.因为当时，，当且仅当时等号成立，此时；当时，，当且仅当时等号成立，此时；所以，则.又因为，所以，即，故选项B正确；对于选项C：因为，，.显然，所以函数的图象不存在对称轴，故选项C错误；对于选项D：因为，所以函数的图象关于点对称，故选项D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13.若扇形的半径为2，弧长为3，则扇形的面积为______________.【答案】3【解析】由题意可得：扇形的面积为.14.若幂函数的图象不经过原点，则实数的值是______．【答案】【解析】由题可知，解得，舍去.15.化简______．【答案】1【解析】.16.若正数，满足，则的最大值为________．【答案】【解析】因为正数，满足，所以，即，则，当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值9，则的最大值为．17.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】令，对称轴为，∵函数在区间上单调递增，在上单调递增，∴在上单调递增，且，∴且，即且，解得，即实数的取值范围为.18.若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】因为函数在区间内有两个不同的零点，则方程，即在区间上有两个不等的实根，设，，则函数在区间上有两个交点，显然，当时，，此时两函数只有一个交点，不满足；当时，为二次函数，对称轴为，开口向上，与轴只有一个交点，则，解得，即实数的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19.已知为锐角，．（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1）为锐角，，，.（2），，或.20.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）若方程在区间上恰有一个解，求的取值范围．解：（1），由，得，∴所求的单调递增区间是.（2）由，得，或，或，∴由已知.21.丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”．该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元．若这种水果的市场售价为元/千克，且水果销路畅通．记该水果树的单株年利润为（单位：元）．（1）求函数的解析式；（2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？解：（1）当时，，当时，，故.（2）当时，的对称轴为，最大值为，当时，，当且仅当时，等号成立，综上施肥量为时，单株年利润最大为390元.22.已知函数，且.（1）求的解析式；（2）设函数，若方程有个不相等的实数解，求的取值范围．解：（1）由题有时，解得或，因为，所以，故.（2）由（1），则方程为设，当且仅当，即时等号成立，可得，则原方程可化为，令，因为，故函数为上的偶函数，设，，，，，即函数在上单调递增，由偶函数得在上单调递减，最小值为故原条件等价于方程在有两个不相等的实数根，即，解得，不妨设两根为，的两根为，由为上的偶函数，可得，即，，所以.23.函数，表示不超过的最