浙江省稽阳联谊学校2025届高三上学期11月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省稽阳联谊学校2025届高三上学期11月联考数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有是符合题目要求的.1.已知全集，，，则图中阴影部分对应的集合为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，阴影部分为.故选：A．2.已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，设，则，即，解得，故选：C.3.下列四个函数中，以为其对称中心，且在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于A:在上单调递减，A选项错误；对于B:在上单调递增，且为其对称中心，B选项正确；对于C:不是0，所以不是的对称中心，C选项错误；对于D:在上单调递减，D选项错误；故选：B.4.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题可得或，又为增函数，所以解得或，故解集为.故选：D.5.“直线与圆有公共点”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】直线与圆有公共点则，由，反之推不出，故为必要不充分条件.故选：B6.某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（）A. B. C. D.【答案】C【解析】；故选：C.7.已知双曲线：，过的直线分别交双曲线左右两支为，关于原点的对称点为，若，则双曲线的离心率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，记与轴的交点为，因为，所以，所以，即，因为都在双曲线上，所以，两式相减得，所以，所以，所以.故选：A8.已知是定义在上且不恒为0的连续函数，若，f1=0，则（）A. B.为奇函数 C.的周期为2 D.【答案】D【解析】令得，因为不恒为，所以，所以A错误；令得，得，则为偶函数，所以B错误；令得，则，则，得周期为4，所以C错误；令得，，即，令得，即关于1,0中心对称，即，所以，所以D正确.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若随机变量，则B.残差平方和越大，模型的拟合效果越好C.若随机变量，则当减小时，保持不变D.一组数据的极差不小于该组数据的标准差【答案】ACD【解析】由于，所以A正确；残差平方和越小，模型的拟合效果越好，所以B错误；根据正态分布的概率分布特点知为定值，C正确；由于，标准差，故D正确.故选：ACD.10.某校南门前有条长80米，宽8米的公路（如图矩形），公路的一侧划有16个长5米宽2.5米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，学校提出一个改造方案，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中，则（）A. B.C.该路段改造后的停车位比改造前增加8个 D.该路段改造后的停车位比改造前增加9个【答案】AD【解析】∵，∴，构造对偶式可得，，平方相加得，由，可得或，又，所以，，该路段改造后的停车位比改造前增加9个.故选：AD.11.如图，是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（）A.，，，四点不共面B.该几何体体积为8C.过四点，，，四点的外接球表面积为D.截面四边形的周长的最小值为10【答案】BCD【解析】对于A，取中点，取靠近的三等分点，易知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，所以，，则，所以，，，四点共面，故错误；对于B，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，所以，故B正确；对于C，过四点，，，构造正方体，所以，外接球直径为正方体的体对角线，所以，则，所以此四点的外接球表面积为，故C正确；对于D，由题意，平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四边形为平行四边形，则周长，沿将相邻两四边形推平，当，，三点共线时，最小，最小值为5，所以周长最小值为，故D正确，故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知i为虚数单位，若，则______.【答案】3【解析】设则，可得，即得.故答案为：313.已知等比数列的前项和为，若，则______.【答案】91【解析】因为，所以，故，故答案为：91.14.已知函数，若对任意，，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】设，，由知函数是奇函数，∵∴可化为∴又所以在上单调递增，∴在x∈1,+∞∴在x∈1,+∞令，x∈1,+∞，则所以hx在上递减，在上递增，所以所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为，母线长为，是弧上的点，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：取中点，连结，∵，，，，∴，，∴为平行四边形，∴，又面，面，所以面.（2）解：法一：过作于点，易知圆台底面，∵，，圆台的母线与底面所成的角为，母线长为，∴，，又，∴，，又，则，所以，又由，可得，，取中点，连结，，所以，则为二面角的平面角，又易知，，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为法二：如图，以为坐标原点，和垂直的直线为轴，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，由法一知，，则，，设平面的法向量为，则，取，则，，所以，设平面的法向量为，则，取，则，，所以，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.若以，，为，，轴建立坐标系，则，所以，，，同理可求得平面的法向量为；平面的法向量为，则.16.如图，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，设，满足.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长.解：（1）由正弦定理得，又∵∴，得.（2）∵即,根据余弦定理可得即,则，所以，得的周长为.17.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点，求的取值范围.解：（1）∵当时，，∴，∴，又，∴曲线y=fx在点处的切线方程为.（2）令，令，，则，令得，①当时，在上单调递增，当时，；当时，，所以存在唯一的零点，又得，所以且时有两个极值点0，；②当时，在上单调递减，在上单调递增，又当时，，当时，，又，所以只需，解得；③当时，，在0,+∞上单调递增，所以在0,+∞上只有一个零点，所以只有一个极值点，故不符合.综上：的取值范围为18.已知椭圆：的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆在第一象限上的一点，直线，分别交轴于点，.（1）求的值；（2）在直线上取一点（异于），使得.（ⅰ）证明：，，三点共线；（ⅱ）求与面积之比的取值范围.（1）解：由题意，设，则直线，故，同理直线得，则，又，所以；（2）（ⅰ）证明：直线，因为在直线上且，得，消得，因为在椭圆上，所以，代入上式整理得（1）因为，所以（1）式一定有一个根1，得，即，得，故，，，得，所以，，三点共线，（ⅱ）解：因为为椭圆在第一象限上的一点，所以，所以.19.每个正整数有唯一的“阶乘表示”为（，，…，），这些满足，其中每个都是整数，且，.（1）求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”；（2）若正整数对应的“阶乘表示”为（，，…，），正整数对应的“阶乘表示”（，，…，），其中，求证