浙江省杭州市萧山区2025届高三上学期联考（四）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省杭州市萧山区2025届高三上学期联考（四）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，则；当时，，所以；所以.故选：.2.已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，所以与的夹角为．故选：A．3.某公司通过研发技术、提升工艺、提高效率等方法来降低成本.假设该公司的年成本以每年10%的比例降低，要使年成本低于原来的，至少需要年，则（）（参考数据：，）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】设该公司原来的年成本为，年成本低于原来的需要的时间为年，则由题意得，得，得，因为，所以.故选：C.4.已知表面积为的球与一圆台的上、下底面以及侧面均相切，若该圆台的下底面半径为上底面半径的4倍，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设球的半径为，由，解得．作出圆台的轴截面，如图，设，则，由相切的性质可知，，易知，分别是，的平分线，即，，又，所以，所以，所以，又，则，所以，即，所以，所以，解得（负值已舍去），所以该圆台的体积为，故选：D．5.在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内，圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示：易知圆心到直线的距离为，所以，又，可得；因此可得，所以的面积为.故选：D6.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b等于()A.10 B.9 C.8 D.5【答案】D【解析】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,又因△ABC为锐角三角形,所以cosA=.△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,即b2-b-13=0,即b=5或b=-(舍去),故选D.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交椭圆于另一点.若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图：因为的周长为，，，所以，.又，所以.所以椭圆的离心率为.故选：C8.不等式对任意恒成立，则的最小值为（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】由题意可得，需满足是的一个根，即，且，所以，，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.为了解鸭梨种植园的亩收入（单位：万元）情况，从“高标准梨园”种植区抽取样本，得到的亩收入样本均值，样本方差；从“标准化梨园”种植区抽取样本，亩收入服从正态分布，假设“高标准梨园”的亩收入服从正态分布，则（）.（若服从正态分布，则A. B.C. D.【答案】BC【解析】由题意可知，服从正态分布，服从正态分布，所以，故A错误；，故B正确；，所以C正确，D错误.故选：BC．10.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.为的图象的一个对称中心C.在上单调递增D.将的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到的图象，则曲线与直线有4个交点【答案】AB【解析】函数，最小正周期，故A正确；，则为的图象的一个对称中心，故B正确；时，，易知在上先减后增，故在上先减后增，故C错误；，在同一直角坐标系中分别作出y=gx与的大致图象如下所示，观察可知，它们有3个交点，故D错误.故选：AB11.在平面直角坐标系中，曲线经过坐标原点，且上的点满足：，且到点的距离与到定直线的距离之积为，则（）A.B.点，均在曲线上C.曲线在第二象限的点到轴的距离的最大值为D.【答案】ABD【解析】由已知，，又曲线过坐标原点，则，则，又，则，A选项正确；则曲线方程为，，即，，令，得，所以，即点，均在曲线上，B选项正确；设，，则，当时，，设，则，则当时，，时，，即在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以，使gx0且时，gx>0，时，gx即时，f'x>0，的单调递增，时，f'x<0，则，即，使，又，所以，C选项错误；将轨迹方程转化为，可知恒成立，又，所以，即，即，D选项正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数，则______.【答案】【解析】，故.故答案为：13.已知数列是公差不为0的等差数列，现从中随机删除两项，得到一个新的数列.这两组数据的极差相同的概率为______.【答案】【解析】不妨设，则，其极差为．若随机删除两项后极差不变，则删除的两项必存在于第2项至第5项，则有种删除方法，所以．故答案为：.14.已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则__________.【答案】2【解析】因为为偶函数，则，即，又因为为偶函数，则.由，求导得，即，所以，则，所以是以4为周期的周期函数.由，可得，即，则，，所以，所以.故答案为：2四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，△为等边三角形.（1）求证：；（2）若，，求与平面所成角的正弦值.（1）证明：∵菱形，且，∴△等边三角形，又△为等边三角形，若是中点，连接，易知：，又，即面，又面，∴（2）解：由，，结合（1）知：，即，∴，又，故可构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，∴，则，，，若是面的一个法向量，则，令，则，∴，即与平面所成角的正弦值为.16.随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2021年的考研人数是377万人，2022年考研人数是457万人.某省统计了该省其中四所大学2023年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：A大学B大学C大学D大学2023年毕业人数（千人）87542023年考研人数（千人）0.60.40.30.3（1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；（2）假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴，若大学的毕业生中小江､小沈选择考研的概率分别为，该省对小江､小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围.参考公式：.解：（1）由题意得，又，，，，所以，故得关于线性回归方程为；（2）设小江､小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为，，，，，则，可得，又因为，可得，故.17.已知点为椭圆上不同两点，点为椭圆的一个焦点.（1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）若的面积，求直线的方程.解：（1）由在椭圆C:x2a2+y又F1,0可得，因此，即所以椭圆的标准方程为,其离心率为.（2）根据题意可知，若直线的斜率不存在，则，如下图所示：此时，的面积为，满足题意；可得此时直线的方程为；若直线的斜率存在，设直线的方程为，如下图所示：联立，消去并整理可得，解得或，又，所以此时，点F1,0到直线的距离为，所以的面积为，解得，所以直线的方程为；综上可知，直线的方程为或18.已知曲线在处的切线过点.（1）试求的值；（2）讨论的单调性；（3）证明：当时，.（1）解：函数，求导得，则，而，因此曲线在处的切线方程为，即，依题意，，所以则.（2）解：由（1）知函数，其定义域为R，求导得，当时，在R上单调递减；当时，由，得，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；所以当时，在R上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）证明：由（2）得，要证明，即证，即证，令，求导得，由，得，由，得，即函数在上单调递减，在上单调递增，因此，即恒成立，所以当时，.19.已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质：①；②对任意，存在，使得，则称为数表．（1）判断是否为数表，并求的值；（2）若数表满足，求中各数之和的最小值；（3）证明：对任意数表，存在，使得．（1）解：是数表，（2）解：由题可知.当时，有，所以.当时，有，所以.所以所以或者，或者，或，或，故各数之和，当时，各数之和取得最小值.（3）证明：由于数表中共个