浙江省杭州市部分学校2025届高三上学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省杭州市部分学校2025届高三上学期期末联考数学试题一、单选题（共40分）1.已知集合，且，则等于（）A.或 B. C. D.【答案】C【解析】当时，得.此时.此时集合.因为不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去.当时，解方程，即，可得或.若，则，此时集合.不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去.若，则，此时集合.符合集合元素的互异性.故选：C.2.已知复数z与复平面内的点对应，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由复数的几何意义可知，则．故选：C.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得.故选：D4.若，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由条件可知，两边平方后得，并且，.因为向量夹角的范围是，所以向量与的夹角为.故选：A.5.已知，则的最小值为（）A. B.9 C. D.10【答案】B【解析】由，得，则，当且仅当，即时等号成立，令，则，解得（舍去）或，则，当且仅当，时等号成立，即的最小值为9.故选：B.6.某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设事件为选到的是团员，事件为选到的是男生，根据题意可得，，，故．故选：B．7.已知是等差数列的前项和，且，，则（）A.数列为递增数列 B.C.的最大值为 D.【答案】C【解析】由题意，，，则，故B错误；数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误；由于时，，时，，所以的最大值为，故C正确；，故D错误.故选：C.8.已知当时，函数取得最大值2，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，因为当时，函数取得最大值2，所以，即，解得，所以，，令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减，则，符合题意，所以.故选：C.二、多选题（共18分）9.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数在单调递减D.该图象向右平移个单位可得的图象【答案】BD【解析】由图象得，，解得，所以的最小正周期为，故A错；，则，将代入中得，则，，解得，，因为，所以，，，所以是的对称轴，故B正确；当时，，因为在上不单调，所以在上不单调，故C错；该图象向右平移个单位可得，故D正确.故选：BD10.已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，点为在上的射影．线段交轴于点，下列命题正确的是（）A.对于任意直线，均有B.不存在直线，满足C.对于任意直线，直线与抛物线相切D.存在直线，使【答案】AC【解析】对于选项A，如图，由抛物线知为的中点，轴，所以为线段的中点，由抛物线的定义知，所以，所以选项A正确；对于选项B，设，，，，，为线段的中点，则，，，由，得，解得，，又，，故，，，可得，，故存在直线，满足，所以选项B不正确；对于选项C，由题意知，为线段的中点，从而设，则，直线的方程，与抛物线方程联立可得：，又，代入整理得，则，所以直线与抛物线相切，所以选项C正确；对于选项D，设的方程，联立，则，所以，，由，而，由，得，解得：，故，所以，所以选项D错误，故选：AC．11.已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，M为AC的中点，，，且，则（）A.平面ACD B.平面ABCC.O到AC的距离为 D.二面角的正切值为【答案】AD【解析】设的中心为G，过点G作直线平面ABC，则球心O在上.由M为AC的中点，得.因为.所以平面BDM，则，所以，所以，所以，，所以，所以，可得平面ACD，所以球心O在直线MB上，因此O与G重合.过M作于H，连接OH，则，从而为二面角的平面角.因为，，所以O到AC的距离为，且.故选：AD三、填空题（共15分）12.设函数，若方程有且仅有1个实数根，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】方程有且仅有1个实数根，即函数与直线的图象有且只有一个交点，作出函数的图象，如图：结合图象可得.故答案为：.13.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为______．【答案】3【解析】，，①又②①-②得：，的面积为9，，故答案为：3.14.甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为______.【答案】【解析】设分别表示甲在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件，设分别表示乙在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件，根据相互独立事件的概率公式可得，，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘事件为，且互斥，故，故答案为：四、解答题（共77分）15.在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.问题：在中，内角所对的边分别为，，，，，且_____________，求的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：因为，可知角A是钝角，又因为，则，可得.选择条件①：因为，即，化简得，即，由正弦定理得.由，解得，由余弦定理可得，所以.选择条件②：因为，由正弦定理可得，整理可得，即.由正弦定理得，由，解得，由余弦定理可得，所以.16.已知数列满足，.（1）证明：是等比数列；（2）设，证明：.证明：（1）因为，，则，，…以此类推可知，对任意的，，由已知得，即，所以，且，所以是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知，，，，.17.如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点．（1）若是的中点，求证：直线平面；（2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积（1）证明：取的中点，连，，为的中点，且，又，且，，，所以四边形为平行四边形，，又平面，平面，故直线平面．（2）解：以为坐标原点，以，，所在射线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，设，则，，在棱上，可设，故，解得，即，易知平面的法向量为，设平面的法向量，，，，即，即，取，则，，故，因为二面角的平面角的余弦值为，所以，即，即，，解得，故是的中点，因此18.已知点，，曲线上的点与两点的连线的斜率分别为和，且，在下列条件中选择一个，并回答问题（1）和（2）．条件①：；条件②：．问题：（1）求曲线的方程；（2）是否存在一条直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）若选条件①：点的坐标为，则，，由题意可得，，化简得，进而曲线的方程为．若选条件②：设点的坐标为，则，，由题意可得，，化简得，进而曲线的方程为．（2）若选条件①：（ⅰ）若直线的斜率存在，设，由，得，则，即，设Px1,y1，Q因为以为直径的圆经过原点，所以，则，即，整理得．，设为点到直线的距离，则，所以，又，所以．（ⅱ）若直线的斜率不存在，则，不妨设，则，代入方程，得，所以，则．综上，存在这样的直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．且．若选条件②：（ⅰ）若直线的斜率存在，设，由得，则，即，设Px1,y1，Q因为以为直径的圆经过原点，所以，则，即，整理得．，设为点到直线的距离，则，所以，又，所以．（ⅱ）若直线的斜率不存在，则，不妨设，则，代入方程，得，所以，则．综上，存在这样的直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．且．19.对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.（1）当时，求函数的不动点；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条