浙江省杭州市2023-2024学年高一上学期期末学业水平测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省杭州市2023-2024学年高一上学期期末学业水平测试数学试题一、单选题.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，又，所以.故选：C.2.若，则“”是“且”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，，则，即由推不出且，故充分性不成立；若且，则，即由且推得出，即必要性成立，所以“”是“且”的必要不充分条件.故选：B.3.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由且.故选：C.4.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有的点（）A.向左平移1个长度单位 B.向右平移1个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位【答案】D【解析】由于，为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有的点向右平移个长度单位.故选：D.5.若函数是奇函数，则（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由于函数是奇函数，故时，，则，故.故选：B.6.若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，故，即，得，则，且，所以，所以，则，故.故选：B.7.已知，，且，则的最小值为（）A.4 B.6 C.8 D.9【答案】D【解析】由得，其中，，所以，当且仅当，即，则，时，等号成立，故的最小值为9.故选：D.8.已函数，若对于定义域内任意一个自变量都有，则的最大值为（）A.0 B. C.1 D.2【答案】B【解析】若，则恒成立，故符合题意；若.①当即时，，此时函数的定义域为，所以恒成立，所以：符合题意；②当即时，，此时函数的定义域为，则，所以恒成立，所以：符合题意；③当即时，函数的定义域为且，则取，则，令，当时，，可以取得负值，故不符合题意，若，则函数定义域为且，令，则，当且时，，可以取得负值，故不符合题意；综上，，即的最大值为.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分．9.下列各式的值为的是（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】对于A，，A正确；对于B，，B正确，对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD.10.下列函数的值域为且在定义域上单调递增的函数是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】根据幂函数的性质及函数图象的平移变换可知：在上单调递增且值域为，故A符合题意；根据指数函数的图象和性质可得：的值域为，故B不符合题意；根据对数函数的图象和性质可得：在上单调递增，值域为，故C符合题意；根据反比例函数的图象和性质可知：，在和上单调递增，但在定义域上不单调，故D不符合题意.故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（）A.B.函数有3个零点C.的最小正周期为D.的值域为【答案】ACD【解析】对于A，，A正确；对于B，当时，，则，此时为的零点，有无数个，B错误；对于C，在区间上，，结合的最小正周期为，由此可得的最小正周期为，C正确；对于D，结合C的分析可知的值域为，D正确.故选：ACD.12.已知函数在区间上单调递增，则下列判断中正确的是（）A.的最大值为2B.若，则C.若，则D.若函数两个零点间的最小距离为，则【答案】ABD【解析】函数在区间上单调递增，所以该函数的最小正周期T满足,所以，当时，成立，所以的最大值为2，A正确；因为在区间上单调递增，故有：，当时，，所以，所以，，所以，又，故，可得，故B正确；由于，故当时，，故C错误；令，两个零点分别设为，，则：，因为，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.的值为_______．【答案】10【解析】原式.14.已知函数的定义域为，且满足，，则可以是_______．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】由题意：函数的定义域为，且，所以为奇函数；又，所以是以2为周期的周期函数；所以的解析式可以为：（答案不唯一）.15.已知，，则的值为_______．【答案】【解析】因为，又，所以且，所以；.所以：.16.已知下列五个函数，从中选出两个函数分别记为和，若的图象如图所示，则_________．【答案】【解析】如图可知，的定义域为，可知一定包含这一函数，且一定不包含这一函数，又函数不是奇函数，所以不成立；所以只有两种可能：或.若，当时，，，所以，与图象不符，故不成立；若，当时，单调递减，单调递减，所以在上递减；当时，，当且仅当即时取“”.所以上递减，在上递增，符合题意.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数a的值．解：（1）依题意解得：，当时，或，此时或，.（2）由可知．因为，；当，即时，，符合题意，当，即时，或，则或，此时不存在；当，即时，或，则或，此时不存在，所以．18.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A、B两点，点A的横坐标为，点C与点B关于x轴对称．（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1）因为点的横坐标为，且，点在第一象限，所以点纵坐标为，所以，.所以.（2）因为，由图可知：.而，故（）（），所以.19.已知函数（，且）是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）若关于t方程在有且仅有一个根，求实数k的取值范围．解：（1）因为函数是上的奇函数，所以恒成立.所以恒成立恒成立恒成立，即恒成立，所以.（2），设，则，因为在上单调递增，所以，又，所以即，所以是上的增函数.在上只有一解.问题转化为：关于的一元二次方程在只有一解.设.①若或.当时，，故符合题意；当时，，故不符合题意；②若，或，在只有一解，故符合题意；若，方程或，在上有两解，故不符合题意；③若，此时方程在上只有一解.综上可知：.20.设函数.（1）求函数的对称中心；（2）若函数在区间上有最小值，求实数m的最小值．解：（1）令，则，故函数的对称中心为.（2），函数在区间上有最小值，即区间上有最小值，而，即需，则，即实数m的最小值为.21.为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产（单位：千只）手表，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本）（1）求2024年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千只）的函数关系式．（2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）依题意，当时，，当时，，故.（2）若，，当时，，若，，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，，又，故年的年产量为千只时，企业所获利润最大，最大利润是万元．22.已知函数.（1）若函数有4个零点，求证：；（2）是否存在非零实数m．使得函数在区间上的取值范围为？若存在，求出m的取值范围．若不存在，请说明理由．解：（1）证明：因为函数有4个零点，所以方程有4个不同的解，于是方程，都各有两个不同的解，即