云南省玉溪市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南省玉溪市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意有.故选：B．2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，所以.故选：C．3.已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，点为角终边上一点，则（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】由题意可得.故选：B．4.在中，，则（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由余弦定理知，，解得，故选:D．5.已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为P，A，B，C四点共面，所以，所以.故选:C．6.“”是“a，b，c成等比数列”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若a，b，c成等比数列，则，故不必要；若，令，满足，但此时a，b，c不构成等比数列，故不充分；故选：D．7.已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若的中点为，则椭圆C的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨设椭圆方程，由题意得：，两式作差得：，整理得：，因为AB的中点为，，所以，所以，所以，又因为，所以.故选：A．8.已知实数a，b，满足恒成立，则的最小值为（）A.2 B.0 C.1 D.4【答案】A【解析】，所以，因为函数单调递增，所以，即.故选：A．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数是定义域为的奇函数，则下列式子一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因为是定义域为的奇函数，所以，则B一定成立；令，则，解得，则D一定成立；例如，则为奇函数，符合题意，但，可知，即A不一定成立；且，即C不一定成立；故选：BD．10.已知抛物线的焦点为F，P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，若则（）A B. C. D.【答案】AD【解析】因为抛物线，即，所以，准线方程为，故A正确；设，则，由题意得，且，故，则（舍）或，所以，故D正确；故选：AD．11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，则的最小正周期为B.若，则的最小正周期为C.若在上单调递增，则D.若在上单调递增，则【答案】AC【解析】对AB，的最小正周期为，故A正确，B错误；对CD，当时，，则，解得，故C正确，D错误.故选：AC．12.在正方体中，E，F分别是线段BC，中点，则（）A.B.C.异面直线，EF所成角的正切值为D.异面直线，EF所成角的正切值为【答案】ABC【解析】如图所示，F是线段的中点，连接交于F，F是线段的中点，故，故A正确；又，故，故B正确；由正方体的性质知，则异面直线，EF所成角即为直线，EF所成角，故是异面直线EF与所成角，故，故C正确：由正方体的性质知，则异面直线，EF所成角即为直线BC，EF所成角，故是异面直线EF与所成角，故，故D错误，故选：ABC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线l的方程为，则该直线倾斜角的正切值为_________．【答案】2【解析】根据直线的一般式方程可知直线斜率为2，所以直线倾斜角的正切值为2.故答案为：2.14.已知向量，则_________．【答案】0【解析】因为向量，所以，所以.故答案为：015.设连续掷两次骰子得到的点数分别为、，令平面向量，，则事件“”发生的概率为_________．【答案】【解析】由题意可知，、，故所有可能的情况共种．因为平面向量，，且，则，则满足条件的有、，共种，所以事件“”发生的概率为．故答案为：.16.已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，点F为椭圆C的左焦点．垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为_________．【答案】【解析】因为椭圆的离心率为，椭圆C过点，椭圆C的标准方程为，由题可知直线PF的斜率存在，设直线，则，联立直线与椭圆方程得，则，，所以，整理得，又，所以直线QM的方程为，故直线QM过定点．故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列的首项，且．（1）证明：是等比数列；（2）求数列的前n项和．解：（1）因为，，所以，，又，所以数列是等比数列，其首项为，公比为3．（2）由（1）可得，所以，所以．18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求；（2）若，求外接圆的半径．解：（1）在中，由于，可设，由余弦定理（2）设，若，则，解得.故，故的外接圆半径是：．19.已知双曲线的上、下焦点分别是，P为双曲线C上支上的动点，．（1）求双曲线C的方程；（2）若，求．解：（1），得，，所以双曲线．（2）设，则，在中，由余弦定理得，，解得或（舍），故，故．20已知数列满足.（1）求；（2）求数列的通项公式．解：（1）由可得，（2）由已知可得则，则数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列，数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，即，当n为奇数时，则当n为偶数时，则，故21.如图，在正四棱柱中，，P是该正四棱柱表面或内部一点，直线与底面所成的角分别记为，且，记动点P的轨迹与棱的交点为Q．（1）求的值；（2）求平面与平面所成角的余弦值．解：（1）如图所示，过点P作平面，垂足为O，连接则，由题意可知，所以.因为Q是棱与P轨迹的交点，所以，所以，所以，所以Q是的中点，故．（2）由题意，以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：因为在正四棱柱中，，，设平面的法向量为，则，即得，令，则，所以．设平面的法向量为，则，即得，令，则，所以，所以，故平面与平面所成角的余弦值为．22.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后反射光线或其反向延长线必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点．一束平行于x轴的光线从点射入,经过C上的点反射后，再经C上另一点反射后，沿直线射出，经过点．（1）求证：；（2）若PB平分，求点B到直线QP的距离．解：（1）抛物线，则其准线方