云南省保山市、文山州2023-2024学年高二上学期1月期末质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南省保山市、文山州2023-2024学年高二上学期1月期末质量监测数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，，则()A. B.C. D.【答案】A【解析】，则

故选：A2.复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】，则.故选：D.3.已知非零向量满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，设又，所以，由于，所以与的夹角为.故选：C.4.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（mg/L）与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（）A.51.2% B.48.8% C.52% D.48%【答案】B【解析】依题意有，可得，当时，因此，前6个小时消除了污染物的48.8%.故选∶B．5.已知等比数列满足：首项，公比为q，前n项和为，则“对任意的恒成立”是“”的（）A.充分必要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若，且公比，则，所以对于任意，成立，故必要性成立；若，且，则所以由对于任意的，，推不出，故充分性不成立；则“对任意的恒成立”是“”的必要不充分条件，故选:C．6.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知抛物线的焦点为F1,0，准线方程为，设点、，因为，即，可得，解得，即点，由抛物线的焦半径公式可得.故选：A.7.已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，现往圆锥内放入一个体积最大的球，则球的表面积与圆锥的侧面积之比是（）A B. C. D.【答案】B【解析】圆锥内放入一个体积最大的球，其半径为圆锥的轴截面等边三角形的内切圆半径，故该球的半径为，故球的表面积为，圆锥的侧面积为，则球的表面积与圆锥的侧面积之比是.故选：B.8.已知函数的定义域为，为偶函数，，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为是偶函数，所以，将换为，得①(即对称轴x=-2)，又因为，所以，将换为得②(即对称中心（-1,0））.由①②得，令,则,所以,将换得③,将换为为得④.由③④得，将换为得⑤所以函数是周期为的周期函数（由对称中心和对称轴也可直接得到周期为4），当时，，则，，由③得，由④得，根据周期性⑤得：，，，，所以，又因为，故.故选：D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若等比数列的公比为，则其前项和为B.已知数列为等差数列，若（其中、、、），则C.若数列的通项公式为，其前项和为，则D.若数列的首项为，其前项和为，且，则【答案】BD【解析】对于A选项，当时，；当时，.即，A错；对于B选项，因为数列为等差数列，若（其中、、、），则，B对；对于C选项，因为，所以，，C错；对于D选项，对任意的，，当时，则有，当时，由可得，上述两个等式作差可得，则，也满足，故对任意的，，D对.故选：BD.10.关于函数有下述四个结论，其中结论正确的是（）A.是偶函数B.在区间单调递增C.在有3个零点D.的最大值为2【答案】ACD【解析】对于A：，又函数的定义域为，A正确；对于B：当时，，其在单调递减，B错误；对于C：令，即，画出函数在上的图象如下图：为实线图象，为虚线图象，观察图象可得，两个函数图象在上有3个交点，横坐标分别为，故在有3个零点，C正确；对于D：对于，明显其最大值可以取到，对于，明显其最大值也可以取到，当时，和可同时取到最大值，所以的最大值为2，D正确.故选：ACD.11.如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（）A.三棱锥的体积为B.直线与下底面所成角的正弦值为C.为线段的中点时，过三点的平面截正方体所得截面的周长为D.三棱锥的外接球体积的最大值为【答案】ABD【解析】对于A：为线段上的动点，又平面，所以，正确；对于B：连接，因为面，所以为直线与下底面所成角，所以，正确；对于C：连接，明显有，所以过三点的平面截正方体所得截面为四边形，四边形的周长为，错误；对于D：因为两两垂直，所以三棱锥的外接球半径为，故当最大时，三棱锥的外接球半径最大，此时，，此时体积为，正确.故选：ABD.12.某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆,称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题:已知椭圆的离心率为，，为C的左､右焦点且，A为C上一动点，直线.说法中正确的有（）A.椭圆C的“蒙日圆”的面积为B.对直线l上任意点P，都有C.椭圆C的标准方程为D.椭圆C的“蒙日圆”的两条弦都与椭圆C相切，则面积的最大值为6【答案】AC【解析】因为，又，所以，故椭圆的方程为，所以选项C正确；对于选项A，设蒙日圆的半径为，所以蒙日圆的方程为，如图1，过椭圆右顶点和上顶点分别作椭圆的切线，相交于点,易知点的坐标为，且点在蒙日圆上，所以，故“蒙日圆”的面积为，所以选项A正确；对于选项B，因为直线的方程为，椭圆方程，联立，消得，则，所以直线与椭圆相切，由椭圆定义知，切点到两焦点的距离和为，所以选项B错误；对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，如图2，连接，设，则，，设，所以，又(当且仅当时取等号)，所以，即，所以，故选项D错误；故选：AC.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知等差数列的前项和为，且满足，则_________．【答案】【解析】设等差数列的公差为，由已知，得，所以，所以.故答案为：.14.一组数据按从小到大排列为、、、、、、，若该组数据的第百分位数是众数的倍，则这组数据的平均数是_________．【答案】【解析】数据、、、、、、共个数，该组数据众数为，因为，所以，该组数据的第百分位数为，因为该组数据的第百分位数是众数的倍，则.所以，这组数据的平均数为.故答案为：.15.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来位置，请写出一条与l垂直的直线方程________．【答案】（答案不唯一）【解析】设直线方程为：，变换后：，即，故.一条与l垂直的直线方程为：，即.故答案为：.16.已知点在圆上，点、，则点到直线的距离的最大值为____________；当最大时，____________.【答案】;【解析】由题意可得AB的直线方程为，即，圆的圆心坐标为(5,5)，半径为4，圆心(5,5)到直线AB的距离为，所以点P到直线AB的距离的最大值为，如图：当最大或最小时，直线PB与圆相切，上图的P点位置满足最大的情况，，，所以，故答案为：；.四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在中,角、、所对的边分别为、、,且满足.（1）求角；（2）若，求面积的最大值．解：（1）因为，由正弦定理可得，因为、，则，可得，所以，，故.（2）由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，故，因此，面积的最大值为.18.现有形状、大小完全相同的20个标记了数字1的红球、40个标记了数字2的红球、10个标记了数字1的白球、20个标记了数字2的白球，运用分层抽样方法从中抽取9个球后，放入一个不透明的布袋中.（1）求不透明的布袋中4种球的个数；（2）从布袋中不放回地随机取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到是红球，事件第一次取到了标记数字1的球，事件第一次取到了标记数字2的球，事件第二次取到了标记数字1的球，①求证：；②判断：与是否相互独立？请说明理由.解：（1）由题意得，共有个球，因为分层抽样方法从中抽取9个球后，放入一个不透明的布袋中，其中标记数字1的红球有个，标记数字2的红球有个，标记数字1的白球有个，标记数字2的白球有个，所以标记数字1的红球有个，标记数字2的红球有个，标记数字1的白球有个，标记数字2的白球有个.（2）从布袋中不放回地随机取2个小球，每次取1个，事件第一次取到是红球，事件第一次取到了标记数字1的球，事件第一次取到了标记数字2的球，事件第二次取到了标记数字1的球，①由相互独立事件的概率乘法公式，可得，，所以；②由相互独立事件的概率乘法公式，可得，事件可分为两种情况：第一次取到标记数字2的球，第二取到了标记数字1的球和第一次取到标记数字1的球，第二取到了标记数字1的球，且两种取法为互斥事件，所以，事件可分为：第一次取到了标记数字1的红球，第二次取到了标记数字1的球和第一次取到了标记数字2的红球，第二次取到标记数字的球，且两种取法为互斥事件，所以，因为，事件与事件相互独立.19.如图，在长方体中，，，、、分别是、、的中点．（1）证明：平面；（2）设为边上的一点，当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值．解：（1）连接、，如图，因为、分别是、的中点，所以且，在长方体中，且，则四边形为平行四边形，所以，且，又因为是的中点，所以，则且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）连接，由平面可得即为直线与平面所成角，又，因为平面，平面，则，所以，，所以，以点为坐标原点，分别以、、所在直线作为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，则、、，所以，，设平面的一个法向量为，则，令，则，易得平面的一个法向量，所以，由图可知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.20.我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详析九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为，其他各数均为它肩上两数之和．（1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：，，，，，…，写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；（2）设，证明：.解：（1）由“杨辉三角”的定义可知：，时，所以有，故,该式对a1=1也成立.所以（）（2）由题得，所以，设，所以，（1）所以，（2）（1）（2）得，所以，所以所以所以故.21.已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．（1）求双曲线的方程；（2）若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．解：（1）因为双曲线的离心率为，可得，则，则，可得，则，，因此，双曲线的方程为.（2）若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意，设直线的方程为，设点Mx1,联立可得，则，可得，由韦达定理可得，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得，解得.因此，点在定直线上.22.函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质．（1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由；①；②；（2）已知为二次函数，若存在正实数k，使得函数具有性质