四川省名校联盟2025届高三12月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省名校联盟2025届高三12月联考数学试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.2.已知单位向量满足，则（）A.8 B.3 C. D.【答案】D【解析】由题意得，即，则，化简得，则，故选：D.3.已知命题，命题，则（）A.命题与均为真命题B.命题与均为真命题C.命题与均为真命题D.命题与均为真命题【答案】B【解析】，则，当且仅当时取等号，为真命题；当时，，当且仅当时取等号，为假命题，为真命题，所以命题与均为真命题，B正确.故选：B4.已知平行四边形的顶点，边所在直线方程是，对角线的交点为，边所在直线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知，可设且，又对角线的交点为，关于对称，则，由点在直线上，故，所以.故选：A5.设为两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法一定成立的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若与所成角相等，则【答案】C【解析】对于A，若，但直线在平面内，则条件满足，但显然没有，故A错误；对于B，若是一个长方体的某一个顶点引出的三个侧面，则它们两两垂直，此时并没有，故B错误；对于C，由于，且，故，而，所以一定有，故C正确；对于D，若是内的两条相交直线，则和所成角均为，但相交，从而不平行，故D错误.故选：C.6.点P在边长为1的正三角形的外接圆上，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设外接圆圆心为，则，.①一方面，我们有.故一定有.②另一方面，当时，有，故在的外接圆上，此时.综合①②两个方面，可知的最大值是.故选：A.7.已知实数满足，则函数的零点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】由题设，∴当或时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，令，则，即是的零点，∵在上单调递增，∴在上单调递增，∵，，，∴在上有唯一零点，则．∵，∴，∴结合的单调性可知，共有3个零点，分别在上各有1个零点．故选：D．8.已知函数，设，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，令，则，由，故为偶函数，当时，在上递增，，，因为，且，所以，所以，所以,所以即.故选：C.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.为了研究某校高三年级学生的性别和身高是否低于的关联性，研究小组从该校高三学生中获取容量为500的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列联表：单位：人性别身高合计低于不低于女14060200男120180300合计260240500附：，其中．α小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的后再进行独立性检验，则下列说法正确的是（）A.依据的独立性检验，小组成员甲可以认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联B.依据的独立性检验，小组成员甲不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联C.小组成员甲、乙计算出的值相同，依据的独立性检验，他们得出的结论也相同D.小组成员甲、乙计算出的值不同，依据的独立性检验，他们得出的结论也不同【答案】AD【解析】由题设，零假设该中学高三年级学生的性别与身高没有关联，对于成员甲有，对于成员乙有，依据的独立性检验，小组成员甲可认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联；依据的独立性检验，小组成员乙不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联；小组成员甲、乙计算出的值不同，他们得出的结论也不同.故选：AD10.已知数列为无穷等差数列，公差为d，前n项和为，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若且互不相等，则C.若，则D.若，则【答案】ABD【解析】选项A,若，得，所以，故选项A正确；选项B，若且互不相等，易知，故选项B正确；选项C，若，则，此时，故选项C错误；选项D，若，易知，所以所以，故选项D正确.故选：ABD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，则B.当时，函数与的图像恰有5个交点C.当时，函数的图象关于直线成轴对称图形D.当时，记函数的最小值为，则【答案】ACD【解析】选项A，由题可知，得，，故选项A正确；选项B，解方程，，化简因为，所以，，由正切函数性质可知此时，有四个解，故选项B错误；选项C，当，得即函数的图象关于直线成轴对称图形，故选项C正确；选项D，当时，因为函数的最小值肯定小于等于某一个具体的值,显然所以，故选项D正确.故选：ACD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上）12.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且经过点，则椭圆C的标准方程为______．【答案】【解析】由题意，设椭圆为且，根据所过点易知，所以椭圆标准方程为.故答案为：13.已知棱长为1的正四面体，分别为的中点，若以的中点为球心的球与该正四面体的棱有公共点，则球半径的最大值为______．【答案】【解析】由于正四面体总可以由一个正方体的两两不相邻的四个顶点构成，故我们可以设有一个正方体.该正方体每个面的对角线长都是，所以棱长为.此时，注意到是该正方体的一对对面的中心，所以的中点一定是正方体的中心.这就说明，从而是的外接球球心.从而在球与的棱有公共点的情况下，球最大的情况显然就是成为外接球的情况，所以半径的最大值就是.故答案为：.14.整数的商（其中）称为有理数，任一有限小数或无限循环小数可以化为整数的商（其中）的形式，则______（写成的形式，与为互质的具体正整数）；若构成数列，令，为数列的前n项和，则的取值范围为______.【答案】①.②.【解析】则循环可以写成；观察数列规律，可得，，，，，所以，，则，所以，显然单调递增，当时，，当无限增大时，越来越接近，所以接近，所以的取值范围为.故答案为：；.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知的内角的对边分别为a,b,c，向量，，且．（1）求角；（2）如图，的平分线交于，，求的取值范围．解：（1）由可知，故，且显然有.故，从而，解得，而，所以.（2）设，，则，且，故有，但由于AD平分，故有，这里.所以，得，故，从而，.故，.而，故，即.此时.又因，故，所以.从而，，b，c相等时取等号，最后，对任意满足的实数，令，，.则此时a,b,c构成一个满足条件的综上，的取值范围是.16.已知圆，圆经过点，且与圆C相切于点.（1）求圆的标准方程；（2）已知直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线l的方程.解：（1）圆与圆相切于，且过点，圆与圆外切，且圆心在直线上.设圆心，半径为，则，解得.圆的标准方程为.（2）方法一：由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为：，即设圆心到直线的距离为，则，解得，或，直线的方程为，或方法二：设圆心到直线的距离为，则，①直线的斜率不存在时，的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意②直线的斜率存在时，设为，则直线的方程可表示为，，解得，直线的方程为综上①②，直线的方程为，或.17.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若，证明：.（1）解：，令得时，，当时，，故单调递增区间为，单调递减区间为.（2）证明：，要证明，则只需证明，令，，，，当且仅当时，上式等号成立，当时，在区间上单调递减，，即，当时，得证.【方法二】证明：令，，，，当且仅当时，上式等号成立，，又当时，在区间上单调递减，，当时，得证.18.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，且，侧面是正三角形，侧面底面，E为中点，作交于F．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）在平面内是否存在点Q．使得，若存在，求动点Q的轨迹长度；若不存在，请说明理由．（1）证明：由侧面底面，侧面底面，面，又底面是直角梯形，，故，所以面，面，则，由侧面是正三角形，E为中点，则，而且都面内，则面，面，所以面面，而，面面，面，所以平面.（2）解：依题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，，所以，，令是面的一个法向量，则，令，则，令是面的一个法向量，则，令，则，所以平面与平面的夹角的余弦值.（3）解：，即，故点在以为直径的球体与平面的交线上，又，其中点坐标为，则，由（1）（2）知，是面的一个法向量，所以到面的距离，所以以为直径的球体与平面不相交，故不存在使.19.定义：如果在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离；为两点间的欧几里得距离.（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值；（3）已知，点在函数图像上，点在函数图像上，且，点有的最小值为4，求实数a的取值.解：（1）设，由得：，点的轨迹是由直线围成的边长为的菱形，且对角线在坐标轴上.点到直线的距离即为的最小值，.（2）设，由得：，