各高校量子力学考研试题要点

习题1

填空题一、

.1.玻尔的量子化条件为

2.除布罗意关系为

3.用来解萍光电效应的爱因斯坦公式为

____________________________________I.波函数的统计解释，

_________________________________________________________RQQ，脸(8，w)da内出现的

几率为归一化波函数,粒子在方向、立体角5.dr

.厚度为.在半径为的球光内粒子出现的几为r

.率为______________________________________________________________

6.波函数的标准条件.为

人c人

d=1月/

..的本征值为为单位矩阵，则算符7.

守恒：中心力场中运动的粒/8.自由发f体系,守恒.9.力学量算符应满足

的两个性质.是

10.厄密算符的本征函数具.有

____________________________________________________________________________II2dp

C(p,f)

的物理意义为11.设为归一化的动量表象下的波函数.则

.邑，力=乙,刃=［五乱］=

.:12.:A,B1A,B］=

有共同本征函数完全系.则28—..如两力学总算符

.13.坐标和动量的测不准关系是.14.在

定态条件下，守恒的力学量是.15.碰道效应是指

.16.量子力学中,原手的轨道半径实际是指口曲=用式玲2（昆。）n,l,m

的取值范困分别为氢原子的波函数..17

为

•考虑自旋但不考虑自.对氢原子.不考电电子的白旋,能级的简并度为18

•如再考虑自旋与轨道用动量的旋与轨道角动址的耦介时,能级的简并度为

.福合.能级的简并度为_______________________________________________

\^>XF

.则力学量算.如在该状态下测量力学量.设体系的状态波函数为有确定的值19户I卯〉

.符与态矢量的关系为J针⑺觎伊）心力的#（产不戒）T（r）的条件为在态

20.力学量算符下的平均值可写为

•.：算符是格尔伯特空间的21.量子力

犷=J*+J%+c%▼

学中的态是格尔伯特空间的V2V3L歹为球谐函数,则系，21.设粒子处

A

于态为归一化波函数.二

的可能值为.数C的取值为6ft2

.•本征值为出现的几率为

22.原子跃迁的选择定则.为

23.自旋角动量与自旋磁矩的关系.为

____［承,今］=//

,24.为泡利算符,则

.寻思1=言学=

..25.为自旋算符,则

底房]=

26.乌伦贝克和哥怯斯密脱关于自旋的两个基本假设是

.27.轨道磁矩与轨道角动址的关系是_____________;自旋磁矩与

自旋角动量的关系是...费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有

27.玻色/所组成的全同粒子体系的波函数具有l%2（XJ，zJy（己归一化）.则

Cr=

在态考虑自旋后,波函数在自旋空间表示为27.151C?22J

对自旋的平均可表示为:对坐标和自旋同时下.自旋算符

乎/%（”,z]

.求平均的结果可表示为（已归一化）,则考虑自旋后,

波函数在自旋空间式示为.27^^91

「（I当『+1%『）心心由二

:的意义为.J-co

Ly&Z24的矩阵分别为和.在和的共同表象中,算符1

0、

-i

0,

A

L>4

求它们的本征值和归一化本征函数,并将矩阵和对角化.

Axe~Mx>0

材（x）=<

一维运动粒子的状态是2.0x<0Z>0

,求其中

）粒子的平均动量.校子动量的几率分布函数：（20）（利用公式方

回0a、

H=0或b

的矩阵表示为3.设在表象中.\ab

<E°<El

胃1&)=c

分）io其中.试用微扰论求能级二级修正.（2I”

分）在自旋态…（中.求KM4和含幺和含AB

8是厄密算符.试证明.5也是厄密算符的条件是.对奶.出工X

在动量表象中角动量6.的矩阵元和的矩阵元.（cosa.cos^,cos/）

.求白旋角动量在方向的投影7工=S.cosa+S>cos?+SxCosy

的本征值和所属的本征函数.IDE的空（可转子处在均匀电场.电偶极矩为8.转动惯量为

%>=弓0=~F=

分）10中,如果电场很小.用微扰论求转子基态货量的二级修正.（J4芯,利用公式

(基态波函数c°scv翻=JI((2，/++1)12X—2加/+3v)IF+

(2/-1X22+1)

.证明下列关系式t9乙,尸」=。（万/）2=$22,.1[方,£±]=。

（a后尸=3-2信用）

£±=&±4£,/

4.

,21

）为泡利算符..为角动量算符.（抹中为动量算符“（x）=j[sin丘+5cos娴丁°

•求此时粒子的平均动量和平时.粒子的状态为10.设

均动能.A,BAB+BA=0IA1=B2=I.（1（.）求算符为厄密算符,为单一位算符）.n

人人人人

A.BA.B

，2£0£、

H=02E0

表象下求尊符A的本征值：（的矩阵去示.2）在02叼

，试求出（1已知体系的哈密顿量）体系能量本征值及相应的归一12.

对角化•并给出时角化的么正变换矩阵.H2）将化本征矢量.（的粒子在一堆无限深势阱中运动.

x<0,x>1

0<x<-[co

2

1r（x）=o

—<x<1,

ml3・一质量为2b为小量.用微扰法求粒予的能级（近似到一级）.

.证明下列算符的对招关系.14【五比/（初=2访/J⑶一1£±=4±辽?

[Lx,L±]=±i}iL±

）2.

（[A,[A,B]]=O,[B.[A^]]=O[A.B]A.B

与它们的对易式设算符3..对易，即：[4,自=

证明：

8s3Tpe

"（p）rn

sJ产2义=

•设有两个电子.自旋态分别152S=Q）及三重态,,证明两个

1n1n

=-（l-cos2-）,^=-（l+cos2-）

电子处Ffl旋单态（2222s=1

人人人人

分）.）的几率分别为：（20（S*=S*cosa+S>cos£+&cosy（cosa,cos4，cos/）方

向的投影16.求自旋角动量在

分）.20的本征值和所属的本征函数（/=|平><乎|P）.由任意一对已归一化的共翅右矢和左矢

构成的投影算符1.试证明（】7/*=力P

什么是塞些效应,对简单塞受效应，没有外磁场时的一条谙线在外磁场中分裂为几条？7.

8.什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？者虎精细结构后能级的简并度是多

少？什么是斯塔克效应？.9

不同式象之间的变换是一种什么变换？在不同去领中不变的量有哪些？.10

11.量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量,量子力学中的守恒量和经典力学的守恒最

定义有什么不同？什么是定态？定态有什么性质？.12

fit子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？.13

简述力学量与力学量算符的关系？.M

轨道角动量和自旋角动量右什么区别和联系？.15

简述量子力学的五个基本假设.16.

简述量产力学中的态叠加蚊理,它反映了什么？17.

什么是光电效应？光电效应有什么规律？18.

什么是光电效应？爱因斯坦是如何解释光电效应的.19.

简述波尔的原子理论.为什么说玻尔的原子理论是半经典半量广的.20.

简述波函数的统计解释.为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态.21.

?.能见的本征态的叠加汪是能量本征态吗？为什么22

原广的轨道半径在城户力学中是如何解拜的？23.

习题2

1.1924年.傥布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电予、质产等，也具有波动性，〃的自由粒

子，满足怏布洛意关系।对于具有一定动量______________________________

2.假设电子由静止被150伏电压加速.求加速后电子的的物质波波长：

CCK原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长个团簇（由计算160时.

3.60___________________________________________

???工丫）1/（*）][,以天/（即）/（.丫和分量.计算对招式为坐标的，其中为动量算符的函4.m.

数???????？？？？？?？1、淌足关系式，求证如果算符5.

Q)

????w????????3⑵

</J22??[(?]??.r]?[xrsin)?(x,求6.设波函数必心??//〃?的本证值和本征态7.求用动量能

量算符一二??d?d??ie的本征函数&试求算符一dx是非简并的E证明一维束缚定态方程的能量9.

NK?x)?UU.证明粒子的定态波函数具10.在一推势场中运动的粒子，势能对原点对称：有确定的宇

称11.一粒子在一维势场Q*??,??,?OaU(x)0?.r???ar??,?中运动.求粒子

的能级和对应的波函数时.粒子的状态为12.设t=02?Msirvk?Jlu:os(x)?4_2求

此时粒子的动量期望值和动能期电值一维运动代子的状态是13.

x?0?/xe当£??Kr?,?00当x??0?其中.求：(1)粒子

动量的几率分布函数；(2)粒子的动量期里值.a波南数果粒子的状态由中运动的粒子.势阱

的真度为.如深14.在一维无限势阱？M?x(x)?4r(.

描写，A为归一化常数.求粒子的几率分布和能量的期望值

??jr4.rJcos)sin??(x]a[0,.求15.设粒子处丁范围在的一维无限深势阱中状态用函数_______aaa粒子

能盘的可能测量值及相应的几率l〃???e)?(r,,a为第一玻尔轨道半径).求设氢原子处在的态<16.

㈤?ondr的平均值势能(2)(1)的平均值：由下式给的立方盒户中运动，粒子

所受势能17.质量为的一个粒子在边长为？？？？？？“?O,O.a;O*?M).“;j，????)HMj，,：试写出定态薛定

i?方程，并求系出：？?。访e，s??统能量本征值和归一化波函数：

212??????¥/?我工?及以？氢屋子处丁态中.问18.______川m“m”333?????,,是否为能量的本

征态？若是.写出其本征值.若不是.说明理由：)(i

?????,，)在2(中,测角动fit平方的结果有几种可能值？相应几率为多少.

P的矩阵去示19.在一维谐振f能量衣绘中写出坐标x和动址t=o时,自由粒子波函数为20.在？2??|

?sinbxb2x?—b?????O.K?2??OXII_b?：振幅应的几率的可能测得值及相子⑴给出在

该态中粒动量?p2/>21»wsin)2b)i(?(»口22?p6)4?M»»*bp：»??求出

几率壮大的动员值：⑵xl』Idp?»b»b?dp)dp(b?»?[求出发现粒子在区间中的几率：(3)]

g_b》REE反H.现在受到微扰设一体系未受微扰作用时有两个能级：的作用,微扰矩阵元21.

wo.????*,2QH为；都是实数.用扰公式求能St至二级修正值2U“HM?X?(0—维

无限深势队中的粒子受到微扰22.

xa??)??x(20?____?2a??)(Hr?ax??)?a

(?2r(l?)?2o?21?)(??作用,试求基态能级的一级修正---------2?2g的离子.在

其平衡位置附近作一维简谐振动.在光的照射F发生跃迂.设入23.具有电荷为？)/(射光的能更为.其

波长较长.求：I原来处「基态的离子,单位时间内跃迂到第一激发态的几率.②讨论跃迁①

?2?l?m?的选择定则.dr02?0??e?为常(时处F基态，时处「弱电场的谐振R在24.电荷。之中

。教).试求谐振广处于第一激发态的几率.

25.质量为m的粒子处于位势

00?x?a,0?y?a和0?z?a????yxV,,z?其他?？

??H?bxy中.假设它又经受微扰，试求第一激发态能量的一级修正.

26.用试探波函数11a?x/e??.Xx估计一维谐提子基态能量和波函数A

»HH设粒子在一维空间中运动.其哈密顿量为表象中的表示为.它在27.E?E??

???o???H.??E?E??ol??l»???uEE?E??H.A.求的

本征值和本征态：??7O?12??1??1???UE?E?E?.???o?l?2??l?????H0t=.试求出t>

o时的粒子波若?.它在R去象中的表示为时.粒子处于?？oO??cos?Et»??t?i0??e?。函数：

??t?E?isin»??28.一个电荷为的一维谐振于受到弱电场的作用.利用微扰理论求能量至二级修正假

并与共精确结果比较

?S若28.是电子的自旋算符.求

?????SSSSS=?

(1)…???？SS?(2)

»»1?〃?4（S?S）?BS?S的粒子组成的系统由等效哈密顿停符29.二个白旋_但连2sss54上为常

数.求系统的所有能级是他们的分量.是二个自旋,描述.其中6930.一体系由三个全同的玻色子组

成.玻色孑之间无相互作用.玻色子只有两个可能的单代子态.问体系可能的状态有几个？它们的波函数

怎样用单粒子波函数构成？

??????〃?〃/〃/去象中一量户体系的哈密秘算符31.在oJ）??OAOO4?????????M）O?H/2OO?

.????????0ooooi????ji??i,其中常数

）用微扰法求体系的能级,精确到二级近似；（1

）式结果比较）求出体系能量的精确解.并与（13年研士研究生考试试■｛一■子力学南京大学

199eO.v??????av??OJDx?右半壁无限高势皇的一维阱一020分？?aH??»FE?的情形F.该系统

是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至在。少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？

??确定的转予.作受碣转动，用下述哈密帔量描述：（二）20分一个取向用角坐标和？

2????£"?2COS/£A?力£8?8d??/B是角动量平方..式中均为常数，且和1?加）的分裂.并标出

微扰后的零级近似波算符,试用一级微扰论计算系统的能级（函数.??2?p??"x?态时的粒子的动

触分布几率（三）20分求在一维无限深势阱中.处「.””试判断下列诸等式的正误.如果等式不能成

立，试写出正确的结拈（四）2。分AA»»????i????????RVrim?/zre?ee?_2??xz>y和分别是

（1）?式中方向的单位矢量.和？:》»??????p?????2Px）?pw值（）2?式中,<______

x-x^r?//>>2?p»??????/'r??VH,设）系统的哈密趣算符为是打一化的束缚态波函数.则

（3n—?2»?/p»》??？？？？〉Il）r?r?r??有：««.?22???H//?/7?z.其中中，微扰

哈密顿为（五）20分碱金属原子处在方向的外磁场

?eB\dV\?????2S//LS?/7L???.

s?N?c2Mrc2??,应取什么样的零级近似波图当外磁场很弱时,那些力学量算符是运动枳分（守恒

M）数.能使itt扰计算比较简单.为什么？????!〃?/?】/2???lla尸m?e?cosy??注：

?

ta?/!m/4?????iUia??????.IUPPJtl?x«3??.r?lxr?：…？？？?R?xl3?

理检物理、敕子物理与原子核物理南京大学1999年硕士研究生考试试选一壮F力学苗业:

2?»?J[sinAx(,求此时动量的可能测值和相应的。时.粒产的状态为一、(2。分)t=几率，并

计算动量的平均值.的圆周上运动二、粒f被约束在半径为r????0的一段眼弧上运动：(20

分)(a)设立“路障”进一步限制粒子在。咨)?(0?0?。？?()/??m?(2???。求解粒子的能量本征值

和本征函数.的基态.求突然撤去“路障”后.粒子仍然处丁珀(10分)(b)设粒子处在情形(a)?

低能量态的几率是多少向?》,如微扰哈密顿边长为a的刚性立方势箱中的电子.具有能址分(20)

三-----------bbxy?H为常数)..试求对能量的一级修正(式中।的本征函数和本位是白旋角动城

算符.求AS/对自旋为12的粒子.S和S(15分)四是实常数)征值(A和B时.一维自由粒子

波函数在坐标去象和动量未象的表示分别是已知t=o(i5分)五、2??)/x/)exp(泳(X)?

Nxcxp[?2?]h(p?p)exp[(p)?c(p?p)?；ooo?bN、、、cp时粒子坐标和动域的平均和ix)

都是已知实常数.试求t=o式中和o????X??p????/??4.表示力学量算符，的平均值)(值

or?o?/?1?5？2exdx*

aa4o凝聚本物题尤学等年硕上研究生入学考试试题一南京大学200。量产力学专业:理论物理，

??.v)e?(2：

,状态求一维谐振子处在一.

,21/?»)分势能的平均值(7(1)

)(7分(2)动能的几率分布函数)

(7分⑶动能的平均值⑵?)rw(???ear：提示t??0?x??”x)?00?x?a中运动的粒子在一维势场质量为

二.以求,

??Kr?a?o.

)(15分(1)决定束缚态能级的方程式)

(5分(2)至少存在一个束缚态的条件？？”?x?O,?X)r(?c是小的

粒子在一维势场三面址为M其中中运动.CX?〃?0?xc).(20的实常数,试用微扰论求准划分一

次方的基态能量1两个白旋的非全同粒子系的哈密顿量四._2»»???)[2)?

S(H??J[S(10?JS?H求的能量本征值和相应的简并度.(20分)

能级n=2不考虑自旋,z五.(1)设氢原子处于沿方向的均匀静磁场在弱磁场情形下求中.

)

分的分裂情况.(10》》E8能级的n=2,如果沿z方向不仅有均匀静

磁场再用微扰论求,还有均匀静电场(2)

)

分分裂情况.(9|1200z210??3a提示：

窜京大学2001年硕士研究生入学考试试题------量子力学3b理论物理、、皿■物最

___________________________光学等________

?h?0h?a?????H,在的粒子处r长度为a的一维无限深势耕中t=01,有一质量为？

0,0?x?a?0”x?0;r?a?????x?描述.求：时刻.粒子的状态由波函数(20分)Ax(a?x),

0?x?a?i.归一化常数A：

2.粒子能量的平均值：

3.t=O时刻，粒子能量的几率分布：

4.人艺t>0时刻的波函数的级数表达式.

，？1??提示，•»96〃"”3处?叮?0???。修?匕为正常数.若一能量为E二、名虑势能为

的一维系统.其中的粒子从?。0X?0?x???处入射,其透射系数和反射系数各为多少？考虑分)E的所有

可能值.20(卯1??22???7?.曰“’的非的粒子,在T谐振子势场中运动.在动能三、有一质量为一

,?22.

il????????_4???»£?2???expL)cx????.相对论极限下，基态能.基态波而数为

a2?2》》????l?E至与分)P的关系的相对论修正,计算基态能级的移动考J8T20阶.(c为光

速)(一X•四、领化钠晶体中有些负离子空穴,每个空穴束缚一个电尸.可将这些电f•看成束缚在一个

尺度为品格常数的三维无果深势阱中.晶体处丁室SI,试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长

的波长.（20分）

„iA1a?fmc?197A/eV?mcMeP?0.511.»提示：电子质量.品格常数1/?S的系统,五、考

虑自旋2????/SS7?8为实常数）1.求算符的本征值和归一化本征波函数：（A、比》????S7???

若此时系统正处在2（20的某一个本征态上.求此时测fit的几率..结果为一,2??分）

南京大学2002年研士研究生入学考试试题------力学

l??：cos??sinAx?.rfcr描述.求粒子的动量平均值和一、一维自由代子的状态由波函数_220分）

动能平均值.（r的胸周上运动二、粒子被约束在半径为？？??0的一段圆子在弧上运动,即进）1设立

“路障”一步限制粒。????0,0???。?？＞.求“粒子的能量本征值和本征函数1????2??,??O2）设粒

子处在上述情形的基态.现突然撤去“路障”.何撤去“路障”后.粒子仍然处在最低能Ji态的几率是篁

少？（20分）提示1在柱坐标系下”??“??”"11??2?????”?？？?

22；???????2??????????????laa,?7Vaa?N???的本征函数,对应的本征值为是.证明：如果且

三、设尊符？7??l?N??a?也是.而波函数.那么,波函数的本征函数,对应的本征值为门?71?”??。？

.（2。也是分）的本征函数，对应的本征值为式）,0?xj?a????x，？?.xy?H个粒子在二维无限深势

用四、一中运动.设加上微扰？,e/sm,力ere2??@y?,?Qr分）20,求基态和第一激发态的T介能量

修正（.

»》？？1SS?.（20若电子处「或的本征态，试证在此态中.的几率各为取值为五、______广2_

22分）南京大学2003年硕士研究生入学考试试尊一・子力学V业：理的物题凝聚态物理

l??2i????xd?为谐振子的本征振动的粒子处尸一雄谐振子势一，一个质虽为中运动，2、

l????????????0?ar??cx,0x和.其中于该粒子频率.如果处态时，皿3???cx为特定常敕且分

别为一雄谐振子的基态和第二激发态的能量本征波函数.2T?0.

C,（5分）1）根据归一化条件.求特定常数

???/^/：求52）时刻粒子所处的状态分）（（10分）求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这

些值的几率：3）

求粒子能量的平均值：（4）5分）

1??门？????上匕?时刻处于.求粒户在5）若在时刻.粒子所处的势场突然变为_3??x/的第一激

发态的几率.分）新的势场（5〃〃.在重力作用下,质点在整直平面的无质量的绳一端固定，另

一端系质点二、一根长为内提动.

1）写出质点运动的哈密顿量：（10分）

2）在小角近似下求系统的能级；（10分）

3）10（分）求由丁小角近似的谟差而产生的基态能量的最低阶修正.

?〃7的一雄谐振干的基态为波.本征频率为函数为提示：质量j?/n1????a???C?x?Cexp?x.

一化常.其中：数是归??一立?？

方

/L”??「

2????exprdr.的一维势皇的粒子从左向右作一维运办穿越了一个宽度为.箭：度为三、质量

为o0忖?。/2???田"八.试求发生共振透射（即透射系数为.设粒子的能量?。/

|x|?a/2?ol）的条件.（30分）

??SS?BS?/S?S〃描述.其中的粒子组成的系统由哈密顿量1/2四、两个自旋为⑵

SSAB-是实和分别是两个

粒f的自旋.而和则分别是这两个粒子自旋的分量,和

—.

分）30（常数.求读哈

密铁址的所有能级..

a?g阱限深缚在宽度为势的一推五、一个质St为无.带电荷为粒的子，束2?a/0|r|????xP中

运动.如果在入射光的照射下,该粒子能在不同能级间发生?2a/?|x|??30分）偶极辐射跃迁,求

跃迁的选择规则.（"?，?的长方体盒子中运动,粒子间的相互作用势能为六、两个粒子被束缚在一个

边长为？？？？?."?4?，4xxt为实常和A分别为两个粒广的坐标，可以作为微扰，其中M2⑵的一次方.

数.分别就以下两种情形求体系的或低能量态的能量,要求准至A）两个粒子为自旋为零的全网玻色

子：15分）（1>

15（即总自旋为D.的全同费米子,且这两个粒子的自旋平行2）两个粒子为自旋为1/2（分）南京

大学2001年硕士研究生入学考试试遗一圣子力学?.回答以下问题：.电子电量为一、己

知电子质量为（-。）。5的一维无限深势阱中运动,请写出该体系的能级公式：1）一个电户被限制在宽度为

（分）。的一维无限深势耕中运动,不考电电F和电子之间的库仑2）五个电子被限制在宽度为分）相

互作用,请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式.（101u???x是3）中运动,其中x一个电子处

于一维谐振子势场是谐振广的本征园频率._2（5分）电子的坐标，请写出该体系的能级公式.如果

电子在上懑中的一维谐振子势场中运动.并且假定电子恰好处在某个能段本征态4）

上.求电子的坐标和动量的平均值,这些平均值随时间变化么？（10分）10请写出气帽子体系的能级

公式和电子的基态波函数.这里假定原子核是不动的।C5）分）ze?l0是电子的径向坐标.6）假定氢原

子处「基态.求电子势能（的平均值,箕中r—r分）？,?？?？?））g,（r?,cos）?（e（sinr.其中二、僚定

电子的波函数在球坐标体系下写为；?由喇）求角动量平方（的可能测量值和相应的几率：10分）r仅

是径向坐标的函数.1?乜<）求角动量的的可能测量值和平均值.210分量分）：?？？？？），

sincoscossin,（sin〃?S为从原点指向单位球面上三、代去电/的自旋算符.？???）,（是纬度，是经度.

方向上的单位向量.其中5S）,（SSS?”?S的本征值和相应的木征波函方向上的投影1）在表象下求自旋

在♦数.（10分）

SS会得到哪咚数值.相应的几率是多少,假定电干处于2）的某个本征态,那么测量a

S测量分）的平均值又是多少？的粒子在一维无限深势阱，敏矩为，无电荷但自旋为四、一

个质址为ml/2»?Lr?0;I???（x）KM是粒子的自旋和是正常数.x是粒子的坐标，

中运动.其中?」Lf???；??0x?x?0的半空.而在方向的均匀磁场.其大小为B的半空间中有一

沿z算符.现在考虑在方向的均匀磁场.在弱磁场极限F用微扰论找出体系基态的能级和波函间有一同样

大小但沿x（微扰只须计算到被低阶，自选空间的波函数在B能作为弱做场处理的具体条件.数.并指出

30分）Pauli表象下写出.>（?））??Ca（/?Kr作用.其五.一个腹址为■的无自旋的粒子在三维情形下

与一个球对称势。的值总小可中C.C为正常数，r是径向坐标，为了保证该体系至少有一个束缚态存在.

试问分）以取多少？CMhl»a?）?P（r是六、一个质量为M的无自旋的粒子受到中心势的散射,其中

i2)macosh(r/a^dy^0y?ky??)xik?e(tanhy».在低能极隈F.求常数.已

知方程有解-rcoshtZv分）分波的散射枝面及其角分布.（30粒子能量为E时,s2005

年硕士研究生入学考试试题一量子力学南京大学一、问答迤（5分）1.试述量F态的

松抑原理.5分）讨论自由粒子的波函数是否一定是平面波？问什么？（？）戊,（2分）、为什么波函数必

定是复数？（5?）（x5分）一维定态薛定涔方程的解是否也必定是我数？（3、以下的波函数是否代表同

一个量子态,并说明为什么…?？?）«ex,）（xj是实常数：、,其中（5分）和⑴-Z?（xe,f）??（M）,

（X是实函数.（和5分））（2.其中、

?4、为什么力学独尊符410分）应是线性厄米算符？（5,为什么全同粒子的波函数对于粒子

的交换应是对称或反对称的？（10分）II

?a?0&??知）？的粒子在一维无力深势阱中运动，二、质量为？II；X?。??。分）20（是

正实数，求解定态薛定律方程.其中

1?”??0;x?x?_n（x）V2的粒子在一维势场中运动，势能为：三、质址为.??

?0?;x?）«x（20区分）为谐振子势能.求解基态的能城和酎一化的波函数.其中x>0均匀

分布在球壳表面上.对于以原子，以电子所受R的薄球壳,其电荷。四、设质子是芈径为）"E（积势能偏

离质子为点粒子模型时的值为点扰，求氢原子第一激发态能量的一级修正2分公式列出后不必计算）.（20

分）/e??g?A/?S五、中子有内嗯磁矩：方向向上极M为中子质量.当自旋在z,其中g=L9.

McB.其xM区域存在恒定磁场化的中子束.沿x轴作一维运动时.在x<0区没有磁场而在e8»g?£

求解中子的一维散射运动.（20分）方向沿z方向.若陡量2McO?x?aO;?a?x）«为

正常数）（六、求两个关在一维无穷深势阱？?；x?0,x?a???xr）（d??l）U（xn?d）（相互作

用的全同中子系统的零级近似中,并以接触势工小归一化波函数（考虑自旋态），并以接触势为微扰.求

准到一次方的基态能延.（20分）

南京大学1998年硕士研先生考试试愿~~H力学

?x?0????0?xr??0ar分有半壁无果高势2的一维阱）《一2O??xF?a?o?E/的情形下,读系统是否

总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至在。少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？

??确定的转子.作受碍转动.用下述哈密核量描述：一个取向用角坐标和（二）20分？

2???2LQ2cosH7ALB»?BA??AB咫角动呈平方,和.式中均为常数,且/?»〉的分裂.并标出

微扰后的年级近似波算符.试用一级微扰论计算系统的能级（函数.

??z?p??lLr?分求在一推无限深势阱中,处于态时的粒子的动量分布几率.（H）20™试判断下

列诸等式的正误，如果等式不能成立.试写出正确的结果：（四）20分》

初g/??mxe?ee?_2??*切方向的单位矢用.和分别是和（口?式中

7»》?？？？？?p?????px）pp?3x）?式中<2________x_xxoZ?X/

»2?p»??????r?rWV?）系统的哈密顿算符为是归一化的束缚态波函数.则（3.设“一

?2»?J〃》»??????））II/T???r有：?^?22???//?//H?2.其中B方向的外磁场中.

微扰哈密顿为（五〉20分破全属原子处在夕3»»»:»》??。51M尸?？？？〃£?2sS?£?〃?？

..s?£?c2d，vc2??.应取什么样的零级近似波函当外磁场很弱时，那

些力学量算符是运动枳分（守恒量）数,能使微扰计算比较简单,为什么？????!m/?17?2??ll

R?e?cosY??注—?,!？4加/????皿？？？？？？“/。，11?,3??1?皿太

::2"??？？/\tl3x??2府京大学1999年硕士研究生考试试建一•子力学4业：理论物理、粒子物

理与原于铁4ra

2?/][sin）?4（x.求此时动融的可能测值和相应的。时，粒子的状态为（20分）一.t=几率，并计

算动量的平均值.

二、粒子被约束在半径为r的圆周上运动

???0?的一段圆张上运动：（20分）（a）设立“路掰”进一步限制粒子在o?3??（OO?ok）«??为

（???2?。求解N子的能趾本征值和本征函数.

（10分）（b）设粒子处在情形（a）的基态，求突然撤去“路障”后.粒子仍然处丁嫌低能属态的几率是多

少？

里3?»（20分）三、边长为a的刚性立方势箱中的电子，具有能量,如微扰哈密短

zmuhbxyH?为宾啦.（式中.试求对能量的一级修正“15分）四、对自旋为1/2的粒子.S和S

是自旋角动量算符.求AS+BS的本征函数和本.征值（A和B是实常数）.

（15分）五.已知t=0时,一推自由N子波函数在坐标表象和动所表望的衣示分别是

2??)exp(勿x/?)NYexp(?〃x)(X2?])〃?p()「)p?a?pexp[?b(

：Ooo?、e、N、6p时粒孑坐标和动量的平均t>0和式中和t=o都是已知实常数.试求6

???p??X?????/??/表示力学量算符(.的平均值){ft..o?i?0alz*?xedx*

a4a0光学等，凝聚纠瓯南京大学200。年硕士研究生入学考试试题一届子力学专业:理论物理？

i/n?a??x???e?(x)2：

一维谐振子处在状态.五.

,求2V?»)(1)势能的平均值(7分)(2)动能的几率

分布函数(7分)(3)动能的平均值

(7分如?也叮??？小。提示："?0r???0?(x)而？0?x.

六.质量为.中运动的粒子在一维势场求・?？匕zx??。)决定束缚态能级的方程式

(15分⑴

)

至少存在一个束缚态的条件(5分(2)

??ax?x?0?X)«?c是小的粒子在一维势场其中七质量为M中运动,CX?a?0?xc).(20的实

常数.试用itt扰论求准到分一次方的基态能量1两个自旋的等全同粒子系的哈密顿蚊A.2»»???)]

2?S(1??J[S()//O?Js?H求.(20分)的能量本征值和相应的简

井度，》8能级,在弱磁场倩影下求方向的均匀静磁场n=2中,不考虑自旋z五.(1)设区原子处「沿)

.(10分的分襄情况能级的，再用微扰论求z(2)如果沿方向

不仅有均匀野磁场n=2,还有均匀峥电场)

分分裂情况.(9200z210??31I：

提示、南京大学2001年硕士研究生入学考试试题-----・于力学»业，理论物至、、款聚态物理、

______________________________光学等_________

?j?OK?a?????以.在的一维无跟深势阱中一、有一质量为的粒f处F长度为at=O?a?x?O,O?

Ou?Oh?a?????x?描述.求：（20分）时刻，粒子的状态由波函数Av（o?x）,0?x?a?5.

归一化常数A;

6.粒子能量的平均值：

7.t=O时刻,粒子能量的几率分布：

8.人艺t>0时刻的波函数的级数表达式.

4?1??提示：496〃7?S??I;MRX?0???。/?依为正常数.若一能量为E二、考虑势能为

的一维系统.其中的粒子从?。o.r?o?x???处入射,其透射系数和反射系数各为多少？考虑分）E的所有

可能值.（20wl??=???r?x?xl的非三、有一质量为中运动.在动能的粒子，在一维谐振广势场一

_?22t!????????_4???»£?2???xrcxp????.相对论极限下，基态能.基态波函数为_o

02?2»»????1?E至与P的关系的相对论修正,计算基态能级的移动考虑Tc阶.（为光

速）（20分）H四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子.可将这些电子看成束缚

在一个尺度为品格常数的三雄无国深势阱中.晶体处丁室狙.试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波

的坡长的波长.（20分）

<aA1a?Jm?197Me^mc0?.511Mer,c?»提示：电子质量.品格常数1»5?的系统，五、考

电白旋_2????/S?B75.B为实常数）的本征值和归一化本征波函数：求算符3.（A,»????Sr???若

此时系统正处在结果为4的某一个本征态上.求此时测量（20的几率.._,2??分）

南京大学2002年硕士研究生入学考试蜀I——■子力学

1??2COS?匕?sin?xh描述.求粒子的动量平均值和六、维自由N子的状态由波函数一一2动能平

均值.（20分）

七*粒子被约束在半径为r的网周上运动

????0即.动在