高中数学讲义（人教B版2019必修四）第07讲第9章解三角形章末测试卷

第9章解三角形章末测试卷时间120分钟，满分150一、单选题1．在△ABC中，A=60°，a2A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】由余弦定理结合题意化简即可判断△ABC【详解】在△ABC中，因为A=60°，所以由余弦定理可得，a2所以bc=b2所以b=c，结合A=60°故选：D.2．如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=A．100m B．1006m C．1206【答案】B【分析】在△ABC中，使用正弦定理得到BC=3002【详解】在△ABC中，∠BAC=30°所以∠ACB因为AB=600m，所以由正弦定理得：AB即600sin45°=BC在Rt△BCD中，∠所以CD=故选：B3．已知△ABC的三个内角A,B,CA．等边三角形 B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形【答案】B【分析】利用正弦定理和余弦定理化角为边可得答案.【详解】因为2cosCsinB因为cosC=a2+故选：B.4．满足条件a=4,b=3A．一个 B．两个 C．不存在 D．无法判断【答案】B【分析】利用余弦定理运算求解即可判断.【详解】因为a2=b2+c2所以满足条件的△ABC故选：B．5．如图，在扇形OPQ中，半径OP=2，圆心角∠POQ=π4，A是扇形弧上的动点，B是半径OQA．22−2 B．2−1 C．3【答案】B【分析】设∠AOP=θ，利用正弦定理可表示出OB【详解】设∠AOP=θ∵AB//OP，∠POQ=π4在△OAB中，由正弦定理得：OB∴S△OAB∵θ∈0,∴当2θ+π4=π2故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查几何图形中的面积最值的求解，解题关键是能够将所求三角形面积表示为关于变量θ的函数的形式，结合三角恒等变换和三角函数值域的知识求解得到最值.6．王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远”的哲理，因此成为千古名句.我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径R=6371km，如图，设O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置（人的高度忽略不计），按每层楼高3m计算，“欲穷千里目”即弧AM的长度为500km（参考数据：5006371≈0.0785，cos0.0785≈0.9969，A．5800 B．6000 C．6600 D．70000【答案】C【分析】设∠AOM=θ.由已知可推得，θ≈0.0785，进而在Rt△OAN【详解】设∠AOM=∠AON=θ由题意可得，θ=显然，AN⊥OA，则在Rt△OAN所以ON=所以，MN=所以，需要登上楼的层数约为19.8×10故选：C.7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC绕顶点C逆时针旋转得到Rt△A．2.5 B．2+3 C．3 【答案】C【分析】由题意∠MCP=θ【详解】由题意CM=1,绕顶点C逆时针旋转得到Rt△A′B设∠MCP则PM∵θ∴P故选：C.8．在△ABC中，若AB=2,AC=3A．3 B．32 C．2 D．【答案】A【分析】根据题意，利用余弦定理得到sinB关于a【详解】依题意，不妨设BC=a，AC=b，AB=由余弦定理得b2=a2+故cosB=4−2所以sin2又因为S=故S2当a2=4，即a=2时，S2取得最大值3，此时a=2所以Smax2=3故选：A.二、多选题9．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,cA．BB．AC．若CD=6，则△ACDD．若BD=6，则△ACD【答案】ACD【分析】利用两角和差余弦公式可化简已知等式求得cosAcosC=14，利用正弦定理边化角，结合同角三角函数平方关系可构造方程求得cosB，进而知A正确；将cosB的值代入已知等式可求得A=【详解】∵cosA∴cosAcosC由b2=ac∴1∴sin2B−cosB∵B∈0,π∵cosA−C=cosB+1∴△ABC为等边三角形，∴∵A=π在△ACD中，由余弦定理得：C∴AC+AD解得：AC+AD≤43，设AD=m0<∴S则当m=3时，S△ACD故选：ACD.10．△ABC的内角A､BA．若A>BB．若△ABC为钝角三角形，则C．若A=30∘D．若三角形ABC为斜三角形，则tan【答案】ACD【分析】由正弦定理可判断A，由余弦定理可判断B，由bsin【详解】对于A，若A>B，则a>所以，sinA对于B，若△ABC为钝角三角形，假设C则cosC=a对于C，bsinA=4sin所以△ABC对于D，因为tan(B所以tan因为tan(B所以tanB所以tanA故选：ACD11．在△ABCA．A>B是B．若PA⋅PB=C．若△ABC面积为S，S=D．cos(【答案】ABC【分析】A.根据三角形的性质和正弦定理判断；B.变形数量积公式，结合几何意义，即可判断；C.根据三角形面积公式，和余弦定理求解；D.利用诱导公式和三角形的性质，即可判断.【详解】A.A>B⇔a>b，再根据正弦定理asinB.PA⋅PB=PB⋅PC⇔PB⋅C.由条件可知，S=14a2+b2−c2D.cos(B故选：ABC12．中国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即S=14c2a2−c2+a2−b22A．△ABC的最短边长是2 B．△ABCC．△ABC的外接圆半径为2213 D．△ABC【答案】BC【分析】依题意设a=2t，b=3t，c=7t（t【详解】解：由a:b:c=2:3:7，设a=2因为S△ABC=63，所以63=147因为cosC=a2+因为C=π3，所以sinC=CD=12CA+故选：BC．三、填空题13．设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，有①tanαtanβ<1；②sinα【答案】①②③【分析】根据诱导公式和辅助角公式分别对四个结论进行判断即可求解.【详解】因为对于钝角三角形的两个锐角α,β，必有对于①，tanα对于②，因为α+β<90°，所以0°<所以sinα即sinα对于③，cosα因为0°<α<90°，所以45°<α所以cosα对于④，例如α=30°,β=30°而tanα+β2=tan30°=综上：结论正确的序号为①②③，故答案为：①②③.14．已知△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c【答案】3【分析】由题目条件，根据正弦定理先推出边长关系，根据面积相等，求出角平分线长，结合余弦定理，将角平分线表示成一个量的函数进行求解即可.【详解】对sinA+sinB=2sin∠ACB用正弦定理，可得a+b=2c=2，设CD=x，∠ACD=∠DCB=θ，由于2θ为三角形内角，则θ∈0,π2，由S△ACD+S△BCD=故答案为：315．已知锐角α,β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P、Q两点，若P、Q两点的横坐标分别为31010,255，在△ABC中，a、b、c分别为三个内角A、B【答案】−15【分析】由三角函数的定义得cosα和cosβ的值，根据C=α+进而得C，由tanA=34得sinA和cosA，求出【详解】因为P，Q两点的横坐标分别为31010，255，所以又因为C=α+β∈0,π，且cosαcosC=cosα因为tanA=34>0，所以sin因为a2=λbc即352=故答案为：−116．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，a＝4，3bcosA−acosC=【答案】64281【分析】先由3bcosA−acosC=ccosA结合正弦定理求得cosA，sinA，再由余弦定理可得b2+c2【详解】因为3bcosA则3sinB因为0<B<π，所以所以cosA=1由余弦定理可得a2=b因为b2+c2≥2bc，所以连结AD，因为2BD=DC所以12b⋅DF=2×则S△故答案为：642.四、解答题17．在△ABC中，a=7(1)∠A(2)cosB和b条件①：b−a=1【答案】(1)若选择①：∠A=(2)若选择①：cosB=−17，b【分析】选择①：b−（1）在△ABC中，由a=73c，sinC=33（2）由a=73c，推出0<∠C<π2．由选择②：ccos（1）在△ABC中，因为a=73c，sinC=33（2）因为a=73c，推出0<∠C<π2．由【详解】（1）选择①：b−在△ABC中，因为a=7所以由正弦定理得sinA因为b−所以a<所以0<∠A所以∠A选择②：ccos在△ABC中，因为a=7所以由正弦定理得sinA在△ABC中，c所以π2所以∠A（2）选择①：b−因为a=所以a>所以0<∠C因为sinC所以cosC所以cosB所以sinB由正弦定理得b437因为b−所以b=8选择②：ccos因为a=所以a>所以0<∠C因为sinC所以cosC所以cosB所以sinB因为ccos所以c=由正弦定理得b5所以b=518．勒洛三角形是由19世纪德国工程师勒洛在研究机械分类时发现的．如图1，以等边三角形ABC的每个顶点为圆心、边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形ABC．受此启发，某数学兴趣小组绘制了勒洛五边形．如图2，分别以正五边形ABCDE的顶点为圆心、对角线长为半径，在距离该顶点较远的另外两个顶点间画一段圆弧，五段圆弧围成的曲边五边形就是勒洛五边形ABCDE．设正五边形ABCDE的边长为1．(1)求勒洛五边形ABCDE的周长l1(2)设正五边形ABCDE外接圆周长为l2，试比较l1与l2【答案】(1)5(2)l1【分析】（1）先运用正多边形内角和公式求出∠DAC=π5，再利用三角形内角和公式求出∠ADC（2）根据正多边形性质与外接圆的性质求出∠AOB=2π【详解】（1）依题意，因为五边形ABCDE为正五边形且边长为1，所以∠EAB=5−2所以∠EAB=3∠DAC在△DAC中，DC=1，由正弦定理得：DCsin∠所以AC===2cos=2×5所以劣弧DC=所以勒洛五边形ABCDE的周长：l1（2）l1如图所示：作出正五边形ABCDE外接圆，由（1）知，易得∠AEB所以由圆心角与圆周角的关系得：∠AOB在△AOB中，AB=1，OA=由余弦定理得：AB即1=2×O因为cosπ所以cos2π所以1=2×O所以OA=所以正五边形ABCDE外接圆周长为：l2因为5+1所以l12−19．已知函数f((1)求f((2)设ΔABC的三个角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若f【答案】(1)π(2)(2,4]【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式以及周期公式即可求解；（2）根据函数求解角度A，再由正弦定理和诱导公式以及两角和与差的正弦公式即可求解.【详解】（1）函数f==sin(2函数fx的最小正周期为π（2）f(所以sin(A因为A∈(0,π)所以A=由正弦定理得b=asin所以b====4sin(B因为A=所以B∈(0,所以B+所以sin(B+π所以b+c的取值范围为20．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD=AC，求【答案】(1)c=4(2)63【分析】(1)由sinA+3cosA(2)过A作AE⊥BC于E，在△ABCsinB=2114，AE=【详解】（1）解：因为sinA+3又因为A∈(0,π)，所以A由余弦定理可得a2即有28=4+c整理得c2解得c=4或c所以c=4（2）解：因为a=27，b=2，c又因为AD=在△ABC中，由余弦定理可得：所以sinB过A作AE⊥BC于则有：AE=所以DE=所以BD=所以S△21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2(1)求证：tanA(2)若c2−3【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）根据正弦定理，正弦倍角公式，两角和的正弦公式即可求解；（2）根据余弦定理，同角的三角函数基本关系式，两角和的余弦公式即可进一步求解.【详解】（1）∵sin2Aa=∴2bc由正弦定理，得2sinB∵△ABC中，sin∴2sinB∴sinA∴tanA（2）由c2∴b2由余弦定理，得cosA而△ABC中，sin∴sinA∴tanA由（1）知sinB∵cosBcosB∴cosB22．随着六安市经济发展的需要，工业园区越来越受到重视，成为推动地方经济发展的重要工具，工业园区可以有效创造和聚集力量，共享资源，克服外部负面影响，带动相关产业发展，从而有效促进产业集群的形成．已知工业园区