2019年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测3-7正弦定理和余弦定理的应用

[课时跟踪检测][基础达标]1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处．则这只船的航行速度为()A.eq\f(17\r(6),2)海里/时 B．34eq\r(6)海里/时C.eq\f(17\r(2),2)海里/时 D．34eq\r(2)海里/时解析：如图，在△PMN中eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(68·\r(3),\r(2))＝34eq\r(6)，∴v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17\r(6),2)(海里/时)．答案：A2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为()A．8km/h B．6eq\r(2)km/hC．2eq\r(34)km/h D．10km/h解析：设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知sinθ＝eq\f(0.6,1)＝eq\f(3,5)，从而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))2＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2).答案：B3．(2017届广东中山上学期期末)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D．eq\f(25\r(2),2)m解析：由题意，得B＝30°.由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．故选A.答案：A4．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15米 B．5米C．10米 D．1米解析：如图所示，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝eq\r(3)h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(eq\r(3)h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)．答案：C5．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1千米 B．2sin10°千米C．2cos10°千米 D．cos20°千米解析：由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.答案：C6．(2017届湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝()A．5eq\r(6) B．15eq\r(3)C．5eq\r(2) D．15eq\r(6)解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，所以BC＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).故选D.答案：D7．在200m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()A.eq\f(400,3)m B．eq\f(400\r(3),3)mC.eq\f(200\r(3),3)m D．eq\f(200,3)m解析：如图所示，在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AB＝200，∴BC＝eq\f(AB,cos30°)＝eq\f(400,3)eq\r(3).∵∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°.在△BDC中，eq\f(DC,sin30°)＝eq\f(BC,sin120°).∴DC＝eq\f(BC·sin30°,sin120°)＝eq\f(\f(400,3)\r(3)×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝eq\f(400,3)(m)．答案：A8．(2017届潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10eq\r(6)m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗．解析：依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.由正弦定理可知eq\f(CE,sin∠EAC)＝eq\f(AC,sin∠CEA)，∴AC＝eq\f(CE,sin∠EAC)·sin∠CEA＝20eq\r(3)m.∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝30m.∵国歌时长为50s，∴升旗速度为eq\f(30,50)＝0.6m/s.答案：0.69．如图，在△ABC中，sineq\f(∠ABC,2)＝eq\f(\r(3),3)，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝eq\f(4\r(3),3)，则cos∠C＝________.解析：由条件得cos∠ABC＝eq\f(1,3)，sin∠ABC＝eq\f(2\r(2),3).在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，则由余弦定理得9b2＝a2＋4－eq\f(4,3)a.①因为∠ADB与∠CDB互补，所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，所以eq\f(4b2＋\f(16,3)－4,\f(16\r(3),3)b)＝－eq\f(b2＋\f(16,3)－a2,\f(8\r(3),3)b)，所以3b2－a2＝－6，②联立①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3.在△ABC中，cos∠C＝eq\f(BC2＋AC2－AB2,2BC·AC)＝eq\f(32＋32－22,2×3×3)＝eq\f(7,9).答案：eq\f(7,9)10．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin21.8°≈\f(3\r(3),14)))解：如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为th，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×eq\f(1,2)，即360t2－90t－100＝0，解得t＝eq\f(2,3)或t＝－eq\f(5,12)(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为eq\f(2,3)h．此时AB＝14，BC＝6.在△ABC中，根据正弦定理，得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB＝eq\f(6×\f(\r(3),2),14)＝eq\f(3\r(3),14)，即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)，即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需eq\f(2,3)h才能靠近渔轮．[能力提升]1．(2018届广东深圳第二次调研)如图，在凸四边形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(3)，AC⊥CD，AC＝CD.当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为________．解析：设AC＝CD＝x，在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，所以x2＝1＋3－2eq\r(3)cos∠ABC.①由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，即sin∠ACB＝eq\f(sin∠ABC,x).②在△BCD中，由余弦定理知，BD＝eq\r(3＋x2－2\r(3)xcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋∠ACB)))＝eq\r(3＋x2＋2\r(3)xsin∠ACB)，将①②式代入化简得，BD＝eq\r(7＋2\r(6)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠ABC－\f(π,4)))).因为∠ABC∈(0，π)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠ABC－\f(π,4)))可以取到最大值1，所以|BD|max＝eq\r(7＋2\r(6))＝eq\r(6)＋1.答案：eq\r(6)＋12．(2017届盐城一模)如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解：设∠AMN＝θ，在△AMN中，eq\f(MN,sin60°)＝eq\f(AM,sin120°－θ).因为MN＝2，所以AM＝eq\f(4\r(3),3)sin(120°－θ)．在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝eq\f(16,3)sin2(120°－θ)＋4－2×2×eq\f(4\r(3),3)sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝eq\f(16,3)sin2(θ＋60°)－eq\f(16\r(3),3)sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4＝eq\