高一数学讲义（人教A版2019）55三角恒等变换（十二大题型）

5．5三角恒等变换目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 8题型一：两角和与差的正（余）弦公式 8题型二：两角和与差的正切公式 9题型三：二倍角公式的简单应用 11题型四：给角求值 13题型五：给值求值 15题型六：给值求角 18题型七：利用半角公式化简求值问题 21题型八：三角恒等式的证明 23题型九：辅助角公式的应用 27题型十：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 30题型十一：利用两角和与差的余弦进行证明 33题型十二：三角恒等变换在实际问题中的应用 36

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一：两角和的余弦函数两角和的余弦公式：知识点诠释：（1）公式中的都是任意角；（2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题．（4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反．知识点二：两角和与差的正弦函数两角和正弦函数在公式中用代替，就得到：两角差的正弦函数知识点诠释：（1）公式中的都是任意角；（2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；（3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；（4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：这也体现了数学中的整体原则．（5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同．知识点三：两角和与差的正切函数知识点诠释：（1）公式成立的条件是：，或，其中；（2）公式的变形：（3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．（4）公式对分配律不成立，即．知识点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键．（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开．2、重视角的变换三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等．知识点五：二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角的正弦、余弦、正切公式知识点诠释：（1）公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立；（2）倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的．要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键．如：；2、和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：知识点六：二倍角公式的逆用及变形1、公式的逆用；．．．2、公式的变形；降幂公式：升幂公式：知识点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题1、对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；2、掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等）；3、将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接．知识点七：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：，降幂公式：，知识点诠释：利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．知识点八：辅助角公式1、形如的三角函数式的变形：令，，则（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）2、辅助角公式在解题中的应用通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．知识点九：半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆），以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．以上两个公式称作半角正切的有理式表示．知识点十：积化和差公式知识点诠释：规律1：公式右边中括号前的系数都有．规律2：中括号中前后两项的角分别为和．规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．知识点十一：和差化积公式知识点诠释：规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2．规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘．规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”．规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘．注意1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系．2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式．3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的．4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如．5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式．【典型例题】题型一：两角和与差的正（余）弦公式【典例11】（2024·高一·全国·随堂练习）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，则，所以.故选：D【典例12】（2024·高二·新疆·学业考试）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A【方法技巧与总结】已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值．【变式11】（2024·高一·山东枣庄·阶段练习）的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，故选：C.【变式12】（2024·高一·全国·随堂练习）化简等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A【变式13】（2024·高一·江西赣州·阶段练习）计算（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故选：D．【变式14】（2024·高一·全国·课后作业）将化简，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B.题型二：两角和与差的正切公式【典例21】（2024·高一·河北保定·期中）已知角的终边经过点3,-4，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（

）A． B．7 C． D．【答案】B【解析】角的终边经过点3,-4，则将角的终边顺时针旋转后得到角，则.故选：B.【典例22】（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则（

）A．-2 B． C． D．【答案】D【解析】因为角的终边经过点，因为，所以且，解得，所以，则．故选：D．【方法技巧与总结】公式的变形应予以灵活运用．【变式21】（2024·高一·河南·期末）的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C.【变式22】（2024·高一·江苏南通·阶段练习）（

）A．3 B． C．1 D．【答案】A【解析】，，所以，所以故选：A【变式23】（2024·高一·江苏南通·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，即故选：C【变式24】（2024·高一·江苏连云港·期中）已知，则（

）A．－3 B．2 C．3 D．不存在【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.题型三：二倍角公式的简单应用【典例31】（2024·高三·重庆·阶段练习）已知，则（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【解析】.故选：D.【典例32】（2024·高一·江苏·阶段练习）已知为钝角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，即，解得或.因为为钝角，所以.故.故选：D.【方法技巧与总结】应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．【变式31】（2024·高一·上海·课堂例题）当时，化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，所以.故选：C【变式32】（2024·高一·全国·课后作业）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.【变式33】（2024·高二·北京·学业考试）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，故选：A.【变式34】（2024·高三·湖南郴州·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可知，即.故选：D题型四：给角求值【典例41】（2024·高一·湖北荆州·期中）化简：（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】故选：A【典例42】（2024·高一·江苏苏州·期中）计算：（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以原式故选：C【方法技巧与总结】在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．【变式41】（2024·广东汕头·二模）若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得.故选：A.【变式42】（2024·高一·全国·课后作业）．【答案】【解析】原式，故答案为：.【变式43】（2024·高一·全国·课后作业）求.【答案】/0.5【解析】故答案为：.【变式44】（2024·高一·四川南充·期中）______.【答案】1【解析】故答案为：1题型五：给值求值【典例51】（2024·高二·河北·学业考试）若，则（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】因为，所以，所以.故选：C【典例52】（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，则，则.故选：A【方法技巧与总结】给值求值的解题策略（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角．（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①；②；③；④．【变式51】（2024·高一·内蒙古赤峰·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题得.故选：B.【变式52】（2024·高一·江苏南通·期末）若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，则，令，则所以故选：B.【变式53】（2024·高一·江西景德镇·期末）已知，，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，所以，因为，所以，所以，又，所以，且,所以，且.因为，所以，又，所以，所以，又，所以.因为，所以，所以.所以.故选：A.【变式54】（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）若，，则（

）A． B． C．5 D．【答案】D【解析】，化简得，即，整理得.因为，所以.整理得，又，即，所以，即，进而，于是.故选：D.题型六：给值求角【典例61】（2024·高一·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，又，，故，故，故.故选：C【典例62】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，因为，所以，，所以．由，得，即，所以，所以．又，所以．故选：D【方法技巧与总结】解决三角函数给值求角问题的方法步骤（1）给值求角问题的步骤．①求所求角的某个三角函数值．②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角．（2）选取函数的原则．①已知正切函数值，选正切函数．②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．【变式61】（2024·高三·河北廊坊·期中）设，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以．因为，所以，所以，则．故选：B.【变式62】（2024·高一·辽宁辽阳·期中）已知，，且，，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】因为所以则所以则，因为，所以，又则，所以故因为所以则.故选：A.【变式63】（2024·高一·江苏南京·期中）已知，且，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，化简得：，所以，又由，可得，所以，即，所以，所以，又，所以，所以.故选：A【变式64】（2024·高一·安徽亳州·期末）若，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，符号相同，又，，，由可得，又，，，所以，，，由，，得，，故选：A．题型七：利用半角公式化简求值问题【典例71】（2024·高一·全国·随堂练习）若，，则．【答案】【解析】由，，得，所以.故答案为：【典例72】（2024·高一·全国·课后作业）利用半角公式，求．【答案】【解析】，，则．故答案为：.【方法技巧与总结】1、化简问题中的“三变”（1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．（2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．（3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2、利用半角公式求值的思路（1）看角：看已知角与待求角的2倍关系．（2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．（3）选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算．提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．【变式71】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知，，则．【答案】/【解析】由可知，故．故答案为：.【变式72】（2024·高一·上海·阶段练习）设，化简的结果是.【答案】【解析】，因为，所以，从而.故答案为：.【变式73】（2024·高一·江苏南京·期末）已知，，则.【答案】【解析】，则，由半角公式可得.故答案为：【变式74】（2024·高一·全国·课后作业）已知，，则.【答案】【解析】因为，，所以，所以.故答案为：题型八：三角恒等式的证明【典例81】（2024·高三·全国·专题练习）已知，且，求证：．【解析】要证结论中等式成立，需证，即证，即证，即证．结合已知条件，故所证的等式成立．【典例82】（2024·高一·全国·课后作业）已知，求证：．【解析】因为，所以．即．去分母，得．又，所以，即，所以，于是，故．【方法技巧与总结】三角恒等式证明的常用方法（1）执因索果法：证明的形式一般化繁为简；（2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；（3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；（4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；（5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．【变式81】（2024·高一·上海·课后作业）已知，求证：.【解析】左边，右边，因此，.【变式82】（2024·高一·江苏泰州·期中）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有可见也可以表示成的三次多项式．(1)利用上述结论，求的值；(2)化简；并利用此结果求的值；(3)已知方程在上有三个根，记为，求证：.【解析】（1），所以，因为，因为，，即，因为，解得（舍）.（2），故；（3）证明：因为，故可令，故由可得：．由题意得：，因，故，故，或，或，即方程（*）的三个根分别为，，，又，故，于是，.【变式83】（2024·高一·全国·课后作业）已知，求证：．【解析】证明：因为，所以，于是，因为，所以，，同理可得，所以，从而，所以．【变式84】（2024·高一·江苏徐州·期中）求证下列恒等式：(1)；(2)【解析】（1）.（2）左边,原式得证.题型九：辅助角公式的应用【典例91】（2024·高一·上海徐汇·期中）函数的最大值与最小值之和为．【答案】/【解析】函数的定义域为R，，则，即，解得，于是，所以函数的最大值与最小值之和为.故答案为：【典例92】（2024·高一·上海·课后作业）若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是.【答案】【解析】由题意可知：与没有交点，因为，且，可得，可知，所以实数k的取值范围是.故答案为：.【方法技巧与总结】辅助角公式的应用策略（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．（2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性．【变式91】（2024·高一·江苏淮安·期中）函数在区间上的最大值为．【答案】6【解析】函数，当时，，则当，即时，.故答案为：6【变式92】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，则当时的最大值为．【答案】【解析】，因为，所以，所以，所以的最大值为.故答案为：【变式93】（2024·高一·山东菏泽·期末）已知，当时，取得最大值，则.【答案】/【解析】令，，其中为锐角，则，因为当时，取得最大值，则，所以，，所以，，，故.故答案为：.【变式94】（2024·高三·上海青浦·期中）已知关于的方程在实数范围内有解，则的最小值为.【答案】9【解析】由题意得，解得，故可设，，其中，则原方程化为，即，其中，（不可能同时取0），显然，，则，则，因为，，所以，此时，，，，，即，，，.所以，即它的最小值为9，故答案为：9.题型十：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合【典例101】（2024·高二·上海·阶段练习）已知．(1)求函数的最小正周期T；(2)求函数的单调增区间；(3)当时，求函数的值域．【解析】（1），则；（2）令，，得，所以函数y=fx的单调增区间为；（3）由，得，所以，所以函数y=fx的值域为．【典例102】（2024·高一·广东茂名·阶段练习）已知函数，.(1)求的单调递增区间和对称轴方程；(2)求不等式的解集.【解析】（1）

.

令，.

解得，.

所以函数的单调递增区间为，；由，得，，所以，函数的对称轴方程，.（2）由，得.

所以，.

解得，.

所以不等式的解集为：.【方法技巧与总结】应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤：（1）运用和、差、倍角公式化简；（2）统一化成的形式；（3）利用辅助角公式化为的形式，研究其性质．【变式101】（2024·高一·山东·阶段练习）已知函数.(1)求函数的对称轴和对称中心；(2)求函数在上的单调递增区间.【解析】（1），由，得，由，得，所以的对称轴为，对称中心为；（2），由，得，又，当时，，当时，，所以在上单调递增区间为和.【变式102】（2024·高一·湖南邵阳·开学考试）已知函数，其中.(1)若函数在区间内有且仅有3个零点，求的取值范围；(2)当时，若对任意实数，存在实数，使成立，求实数的取值范围.【解析】（1）由题意有：，在内有且仅有3个零点，方程在内恰有三个不相等的实数根，即与直线在内恰有三个交点，令，则，则与直线在内恰有三个交点，，解得，故的取值范围为；（2）当时，，当时，，，，由题意，存在，使得，即成立，，，故实数的取值范围为.【变式103】（2024·高一·陕西宝鸡·期中）已知函数(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若，求的值．【解析】（1）由题知：所以函数的最小正周期为．

因为在上，，为增函数，同理在上，为减函数,又，所以函数在区间上的最大值为，最小值为.（2）由（1）可知，又因为，所以，由，得，从而．

所以题型十一：利用两角和与差的余弦进行证明【典例111】（2024·高一·广东东莞·期末）如图，在直角坐标系中，设单位圆O与x轴的非负半轴相交于点，以x轴的非负半轴为始边分别作任意角，，它们的终边分别与单位圆相交于点，．(1)请在图中作出以x轴的非负半轴为始边时角的终边（与单位圆交于点P），并说明AP与的长度关系；(2)根据第（1）问的发现，证明两角差的余弦公式；(3)由两角差的余弦公式推导两角差的正弦公式．【解析】（1）作出以x轴的非负半轴为始边时角的终边如图所示：作图原理如下：首先作平分，然后作关于对称的射线，最终作关于轴的射线即可得解.由题意在同一个单位圆中，所以.（2）由题意，而即，所以由勾股定理可得，即，所以.（3）由题意.【典例112】如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点以轴的非负半轴为始边作角它们的终边分别与单位圆相交于点连接若把扇形绕着点旋转角，则点分别与点重合.

……(未完待续)(提示一：任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性)(提示二：平面上任意两点间的距离公式)（1）完善上述探究过程；（2）利用（1）中的结论解决问题：已知是第三象限角，求的值.【解析】（1），，整理得：；（2）是第三象限角，，，.【方法技巧与总结】利用定义证明．【变式111】（2024·高一·山西太原·期末）如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，当时，以x轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于点，．（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：．（附：平面上任意两点，间的距离公式【解析】（1）两角差的余弦公式为：.证明：作角的终边与单位圆相交于点连接，若把扇形绕着点旋转角，则点分别与点重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以.根据两点间的距离公式，得化简得.当时，容易证明上式仍然成立.（2）证明：由诱导公式可知，.而，故.即证结论.题型十二：三角恒等变换在实际问题中的应用【典例121】（2024·高一·四川眉山·期中）如图，已知直线是之间的一定点，并且点到的距离分别是2，3，是直线上的动点，作，且使与直线交于点．则的面积的最小值是．

【答案】6【解析】设，则，故，所以，所以，当，即时，面积的最小值为.故答案为：6.【典例122】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）如图，已知直线，A是，之间的一定点并且点A到，的距离分别为，，其中，，B是直线上一动点，