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文档简介
广东省深圳市格睿特高级中学2022-2023学年高三下学期第三周测试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,则()A. B. C. D.2.已知点在双曲线上,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.3.若、满足约束条件,则的最大值为()A. B. C. D.4.如图,在直三棱柱中,,,点分别是线段的中点,,分别记二面角,,的平面角为,则下列结论正确的是()A. B. C. D.5.命题“”的否定是()A. B.C. D.6.已知满足,,,则在上的投影为()A. B. C. D.27.函数的部分图象如图所示,已知,函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到,则函数的解析式为()A. B.C. D.8.已知函数,其中,记函数满足条件:为事件,则事件发生的概率为A. B.C. D.9.若集合M={1,3},N={1,3,5},则满足M∪X=N的集合X的个数为()A.1 B.2C.3 D.410.由曲线围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.11.设双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.B.C.D.12.正的边长为2,将它沿边上的高翻折,使点与点间的距离为,此时四面体的外接球表面积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.将底面直径为4,高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱,则该圆柱的侧面积的最大值为__________.14.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=kx有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.15.近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%,充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电,那么他的车能够充电2500次的概率为______.16.设是公差不为0的等差数列的前n项和,且,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线,的交点分别为、(、异于原点),当斜率时,求的最小值.18.(12分)等差数列的前项和为,已知,.(1)求数列的通项公式;(2)设数列{}的前项和为,求使成立的的最小值.19.(12分)已知圆外有一点,过点作直线.(1)当直线与圆相切时,求直线的方程;(2)当直线的倾斜角为时,求直线被圆所截得的弦长.20.(12分)已知函数.(1)当时,解不等式;(2)设不等式的解集为,若,求实数的取值范围.21.(12分)某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路,以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,以所在的直线分别为轴,轴,建立平面直角坐标系,如图所示,山区边界曲线为,设公路与曲线相切于点,的横坐标为.(1)当为何值时,公路的长度最短?求出最短长度;(2)当公路的长度最短时,设公路交轴,轴分别为,两点,并测得四边形中,,,千米,千米,求应开凿的隧道的长度.22.(10分)已知,,函数的最小值为.(1)求证:;(2)若恒成立,求实数的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
计算,再计算交集得到答案【详解】,表示偶数,故.故选:.【点睛】本题考查了集合的交集,意在考查学生的计算能力.2.C【解析】
将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长,进而求得离心率.【详解】将,代入方程得,而双曲线的半实轴,所以,得离心率,故选C.【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念,属于基础题.3.C【解析】
作出不等式组所表示的可行域,平移直线,找出直线在轴上的截距最大时对应的最优解,代入目标函数计算即可.【详解】作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.由,得,平移直线,当直线经过点时,该直线在轴上的截距最大,此时取最大值,即.故选:C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值,一般利用平移直线的方法找到最优解,考查数形结合思想的应用,属于基础题.4.D【解析】
过点作,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求解二面角的余弦值得答案.【详解】解:因为,,所以,即过点作,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则,0,,,,,,0,,,1,,,,,,,设平面的法向量,则,取,得,同理可求平面的法向量,平面的法向量,平面的法向量.,,..故选:D.【点睛】本题考查二面角的大小的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.5.D【解析】
根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可.【详解】全称命题的否定是特称命题,所以命题“,”的否定是:,.故选D.【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.6.A【解析】
根据向量投影的定义,即可求解.【详解】在上的投影为.故选:A【点睛】本题考查向量的投影,属于基础题.7.A【解析】
由图根据三角函数图像的对称性可得,利用周期公式可得,再根据图像过,即可求出,再利用三角函数的平移变换即可求解.【详解】由图像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因为函数的图象由图象向右平移个单位长度而得到,所以.故选:A【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换,需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则,属于基础题.8.D【解析】
由得,分别以为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系,由图可知,.9.D【解析】可以是共4个,选D.10.A【解析】
先计算出两个图像的交点分别为,再利用定积分算两个图形围成的面积.【详解】封闭图形的面积为.选A.【点睛】本题考察定积分的应用,属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.11.A【解析】
由题意,根据双曲线的对称性知在轴上,设,则由得:,因为到直线的距离小于,所以,即,所以双曲线渐近线斜率,故选A.12.D【解析】
如图所示,设的中点为,的外接圆的圆心为,四面体的外接球的球心为,连接,利用正弦定理可得,利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形,最后利用勾股定理可求外接球的半径,从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示,设的中点为,外接圆的圆心为,四面体的外接球的球心为,连接,则平面,.因为,故,因为,故.由正弦定理可得,故,又因为,故.因为,故平面,所以,因为平面,平面,故,故,所以四边形为平行四边形,所以,所以,故外接球的半径为,外接球的表面积为.故选:D.【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算,还考查正弦定理和余弦定理,折叠问题注意翻折前后的变量与不变量,外接球问题注意先确定外接球的球心的位置,然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算,本题有一定的难度.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由题意欲使圆柱侧面积最大,需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h,底面半径为r,则,将侧面积表示成关于的函数,再利用一元二次函数的性质求最值.【详解】欲使圆柱侧面积最大,需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h,底面半径为r,则,所以.∴,当时,的最大值为.故答案为:.【点睛】本题考查圆柱的侧面积的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想、,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意将问题转化为函数的最值问题.14.【解析】由图可知,当直线y=kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时,y=kx与y=f(x)的图像有两个不同交点,即方程有两个不相同的实根.15.【解析】
记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A,“他的车能够充电2500次”为事件B,即求条件概率:,由条件概率公式即得解.【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A,“他的车能够充电2500次”为事件B,即求条件概率:故答案为:【点睛】本题考查了条件概率的应用,考查了学生概念理解,数学应用,数学运算的能力,属于基础题.16.18【解析】
将已知已知转化为的形式,化简后求得,利用等差数列前公式化简,由此求得表达式的值.【详解】因为,所以.故填:.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查等差数列的性质以及求和,考查运算求解能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)的极坐标方程为;曲线的直角坐标方程.(2)【解析】
(1)消去参数,可得曲线的直角坐标方程,再利用极坐标与直角坐标的互化,即可求解.(2)解法1:设直线的倾斜角为,把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程,求得,再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程,得,得出,利用基本不等式,即可求解;解法2:设直线的极坐标方程为,分别代入曲线,的极坐标方程,得,,得出,即可基本不等式,即可求解.【详解】(1)由题曲线的参数方程为(为参数),消去参数,可得曲线的直角坐标方程为,即,则曲线的极坐标方程为,即,又因为曲线的极坐标方程为,即,根据,代入即可求解曲线的直角坐标方程.(2)解法1:设直线的倾斜角为,则直线的参数方程为(为参数,),把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:,解得,,,把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:,解得,,,,,即,,,,当且仅当,即时取等号,故的最小值为.解法2:设直线的极坐标方程为),代入曲线的极坐标方程,得,,把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得:,,即,,曲线的参,即,,,,当且仅当,即时取等号,故的最小值为.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程,以及极坐标方程与直角坐标方程点互化,以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用,其中解答中熟记互化公式,合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.18.(1);(2)的最小值为19.【解析】
(1)根据条件列方程组求出首项、公差,即可写出等差数列的通项公式;(2)根据等差数列前n项和化简,利用裂项相消法求和,解不等式即可求解.【详解】(1)等差数列的公差设为,,,可得,,解得,,则;(2),,前n项和为,即,可得,即,则的最小值为19.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,等差数列的前n项和,裂项相消法求和,属于中档题19.(1)或(2).【解析】
(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;(2)先求出直线方程,然后求得圆心与直线的距离,由弦长公式即可得出答案.【详解】解:(1)由题意可得,直线与圆相切当斜率不存在时,直线的方程为,满足题意当斜率存在时,设直线的方程为,即∴,解得∴直线的方程为∴直线的方程为或(2)当直线的倾斜角为时,直线的方程为圆心到直线的距离为∴弦长为【点睛】本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式,培养了学生分析问题与解决问题的能力.20.(1)或;(2)【解析】
(1)使用零点分段法,讨论分段的取值范围,然后取它们的并集,可得结果.(2)利用等价转化的思想,可得不等式在恒成立,然后解出解集,根据集合间的包含关系,可得结果.【详解】(1)当时,原不等式可化为.①当时,则,所以;②当时,则,所以;⑧当时,则,所以.综上所述:当时,不等式的解集为或.(2)由,则,由题可知:在恒成立,所以,即,即,所以故所求实数的取值范围是.【点睛】本题考查零点分段求解含绝对值不等式,熟练使用分类讨论的方法,以及知识的交叉应用,同时掌握等价转化的思想,属中档题.21.(1)当时,公路的长度最短为千米;(2)(千米).【解析】
(1)设切点的坐标为,利用导数的几何意义求出切线的方程为,根据两点间距离得出,构造函数,利用导数求出单调性,从而得出极值和最值,即可得出结果;(2)在中,由余弦定理得出,利用正弦定理,求出,最后根据勾股定理即可求出的长度.【详解】(1)由题可知,设点的坐标为,又,则直线的方程为,由此得直线与坐标轴交点为:,则,故,设,则.令,解得=10.当时,是减函数;当时,是增函数.所以当时,函数有极小值,也是最小值,所以,此时.故当时,公路的长度最短,最短长度为千米.(2)在中,,,所以,所以,根据正弦定理,,,,又,所以.在中,,,由勾股定理可得,即,解得,(千米).【点睛】本题考查利用导数解决实际的最值问题,涉及构造函数法以及利用导数研究函数单调性和
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