《简单线性规划》课件

简单线性规划线性规划是一种数学方法，用于在给定的约束条件下找到最佳解决方案。简介线性规划是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找最佳解决方案。线性规划问题通常涉及线性目标函数和线性约束条件。应用广泛，包括资源分配、生产计划、投资组合优化等领域。线性规划模型目标函数线性规划模型的目标函数是需要优化的目标，通常表示为需要最大化或最小化的线性函数。约束条件约束条件是模型中需要满足的一系列线性不等式或等式，表示资源、时间或其他限制。决策变量决策变量是模型中需要确定的变量，通常表示需要优化的决策。解决线性规划问题的步骤1建立模型将实际问题转化为线性规划模型2求解模型使用单纯形法等方法找到最优解3检验结果验证最优解是否满足实际问题线性规划问题的标准形式目标函数最大化或最小化目标函数，通常表示为线性组合。约束条件一组线性不等式或等式，限定可行解的范围。非负约束所有决策变量必须是非负的，即大于或等于零。约束条件和目标函数1约束条件线性规划问题中的约束条件代表着资源、时间、生产能力等方面的限制，它们以线性不等式或等式的形式表达。2目标函数目标函数表示要优化的目标，例如利润最大化、成本最小化或产量最大化，它也是一个线性函数。线性规划问题的几何解释线性规划问题可以从几何角度来理解。每个约束条件对应一个线性不等式，在二维空间中，每个线性不等式表示一个半平面。所有约束条件的解集，即可行域，是一个由若干半平面围成的多面体。目标函数也是一个线性函数，它表示一个在可行域中移动的平面。最优解就是目标函数平面在可行域上取得最大值或最小值的点。基本可行解和最优解基本可行解满足所有约束条件的解称为可行解。在可行域内，满足约束条件的顶点称为基本可行解。最优解在所有可行解中，使目标函数达到最大值或最小值的解称为最优解。最优解可能存在于可行域的顶点或边界上。单纯形法的基本思想逐步优化从可行域的某个顶点出发，沿着可行域的边，逐步移动到目标函数值更大的顶点，直到找到最优解。方向选择在每次迭代中，选择目标函数值增长的方向，即选择目标函数值最优化的方向。停止条件当目标函数值不再改善，或到达可行域边界时，停止迭代，此时找到最优解。单纯形法的基本步骤确定初始基本可行解找到一个满足约束条件的基本可行解，称为初始基本可行解。计算目标函数值计算初始基本可行解的目标函数值。寻找入基变量选择目标函数系数为负数且对应约束条件的右端常数为正数的变量作为入基变量。寻找出基变量计算每个约束条件中入基变量系数与对应右端常数的比值，选择比值最小的变量作为出基变量。更新单纯形表根据入基变量和出基变量，更新单纯形表，得到新的基本可行解。重复步骤3-5重复步骤3-5直到目标函数系数都非负数，此时得到最优解。单纯形法算法演练1初始单纯形表确定初始基本可行解2选择进基变量选择目标函数系数为负且对应检验数最大的变量3选择出基变量选择对应约束条件系数为正且比值最小的变量4更新单纯形表进行行运算，得到新的基本可行解5检验是否最优如果所有检验数非负，则达到最优解；否则返回步骤2松弛变量和人工变量松弛变量在小于等于约束中引入，表示剩余资源人工变量在等于或大于约束中引入，用于构建初始可行解大M法和两阶段法1大M法引入一个足够大的常数M，将其添加到目标函数中，用于惩罚违反约束条件的行为。2两阶段法将问题分解为两个阶段：第一阶段找到一个初始可行解，第二阶段利用该解求解原始问题的最优解。3应用场景适用于处理包含人工变量的线性规划问题，帮助找到可行解或证明问题的不可行性。单纯形法的收敛性1有限性可行域是有限的，因此最优解也一定存在于这个有限集合中。2改进性每次迭代都选择目标函数值更好的可行解，最终收敛到最优解。3循环性算法避免了重复访问同一个可行解，确保了收敛性。二阶段单纯形法1初始问题构建初始单纯形表，包含所有约束条件和目标函数。2第一阶段引入人工变量，并使用单纯形法求解人工目标函数。3第二阶段去除人工变量，使用单纯形法求解原始目标函数。4最优解找到满足约束条件并使目标函数值最优的解。对偶理论互补松弛对偶问题中，原问题和对偶问题的最优解满足互补松弛条件。对偶定理如果原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且二者的最优值相等。对偶单纯形法利用对偶理论，可以有效地解决某些线性规划问题，特别是当对偶问题更容易求解时。对偶单纯形法求解步骤对偶单纯形法从对偶问题的初始可行基开始，通过迭代过程，逐步改善目标函数值，直到找到最优解。优势当原始问题的约束条件数量较多，而变量数量较少时，对偶单纯形法更有效率。灵敏度分析目标函数系数分析目标函数系数的变化对最优解的影响。约束条件系数研究约束条件系数的波动如何改变最优解和最优值。资源限制评估资源限制的调整对最优解和最优值的影响。参数分析灵敏度分析评估目标函数和约束条件系数的变化对最优解的影响。参数规划研究目标函数或约束条件系数的连续变化对最优解的影响。线性规划问题的特例0-1整数规划决策变量只能取0或1的线性规划问题。网络流问题在网络中寻找最大流或最小费用流的问题。运输问题将货物从多个供应点运输到多个需求点的优化问题。指派问题将n个人分配到n个任务的优化问题。0-1整数规划问题变量取值决策变量只能取0或1，代表“是”或“否”应用场景资源分配、项目选择、设施选址等求解方法分支定界法、割平面法等网络流问题1节点和边网络流问题涉及一组节点，由边连接，表示流动的路径。2流量限制每条边都有容量限制，表示允许流过的最大流量。3源点和汇点网络流问题通常有一个源点，表示流量的来源，和一个汇点，表示流量的目标。运输问题供应和需求运输问题涉及将商品从多个供应点运输到多个需求点，以满足每个需求点的需求。最小化成本目标是找到一种运输计划，使总运输成本最小化，同时满足所有供应和需求约束。指派问题人员分配将人员分配到不同的任务，以最大限度地提高效率。机器分配将机器分配到不同的工作，以优化生产流程。项目分配将项目分配到不同的团队，以确保资源合理利用。平衡需求和供给1供需匹配线性规划用于优化资源分配，确保供应与需求之间达到平衡。2最小化成本通过优化生产计划，降低生产成本，同时满足市场需求。3最大化利润合理利用资源，最大化利润，并保持市场竞争力。应用案例分析线性规划在现实生活中有着广泛的应用，例如：生产计划：确定最佳生产方案，以最大限度地利用资源，满足市场需求。资源分配：将有限资源分配给不同的项目，以实现最大效益。投资组合：制定最佳投资组合，以最大化收益并最小化风险。运输问题：优化运输路线，降低运输成本。总结与展望线性规划是一项强大的工具，可用于解决各种现实世界问题。了解线性规划的原理和技术对于优化决策至关重要。未来，线性规划将与其他优化技术结合，提供更强