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文档简介

定理7.4设函数且其导数为具有连续偏导数,此时,

称为全导数.

多元复合函数的求导法则7.4.1多元复合函数的求导法则例1

设

求这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便.yuvx解可用对数求导法计算.上述定理可推广到中间变量多于两个的情况.如则解例2

设

而求全导数则复合函数偏导数存在,且有下列求导公式具有连续偏导数,的情形：定理可推广到

函数复合图uv解例3

设

而求

类似地再推广,中间变量多于两个的情形复合函数在对应点的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:即两者的区别区别类似把复合函数中的y看作不变而对x的偏导数把中的u及y看作不变而对x的偏导数解

zuxyxy函数复合图求

例4

设

而解令记同理有例5设其中f

具有二阶连续偏导数,求于是例6设

其中f具有二阶连续偏导数,解求即于是当、时,有设函数具有连续偏导数,则全微分

称为一阶全微分的形式不变性

无论z是自变量u,v的函数或中间变量u,v的函数,它的全微分形式是一样的.

通过全微分求所有一阶偏导数,比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便.一阶全微分形式不变性的实质：于是,得所以存在的一个邻域,在这个邻域内得恒等式两边关于x求导,由全导数公式,得将方程所确定的函数代入其中,7.4.2

多元隐函数的求导法则解则于是令例7

设是由方程确定的隐函数，求

定理7.5(隐函数存在定理)设函数F(x,y,

z)满足(1)F(x,y,z)在某邻域内可偏导，且连续，则(1)存在

的某个邻域,在此邻域内存在唯一且.确定的二元函数z=f(x,y)满足F(x,y,f(x,y))=0,(2)z=f(x,y)具有连续偏导数，且解故先求例8设z=f(x,y)由方程求确定令则再求两边分别对y求偏导,得对代入得将则偏导数，

求例9设有隐函数，其中F具有连续的解令

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