第2章 《相交线与平行》章末综合检测卷-七年级数学下册同步课堂（北师大版2024）

PAGE1第2章：《相交线与平行线》章末综合检测卷（试卷满分：120分，考试用时：120分钟）姓名___________班级考号______________选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（2024秋•姑苏区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】平行线的判定和性质，垂直等，对各选项逐一判断，可得到结果．【解答】解：A．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交两种，故该选项错误，不符合题意；B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项错误，不符合题意；C．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故该选项错误，不符合题意；D．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项正确，符合题意，故选：D．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，垂直等，熟练掌握平行线的相关性质是解题的关键．2．（2024秋•永春县期末）如图，点P是直线l外一点，A、B、C、D都在直线l上，PB⊥l于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段PB最短，依据是（）A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短【分析】由垂线段最短，即可得到答案．【解答】解：PB⊥l于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段PB最短，依据是垂线段最短．故选：D．【点评】本题考查垂线段最短，直线的性质，线段的性质，关键是掌握垂线段最短．3．（2024秋•仁寿县期末）将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（）A． B． C． D．【分析】根据余角的定义，可得答案．【解答】解：C中的α+β＝180°﹣90°＝90°，故选：C．【点评】本题考查了余角，利用余角的定义是解题关键．4．（2024秋•安宁区校级期末）如图，下列推理及所论述理由正确的是（）A．因为DE∥BC，所以∠1＝∠C．理由是：同位角相等，两直线平行 B．因为∠2＝∠3，所以DE∥BC．理由是：同位角相等，两直线平行 C．因为DE∥BC，所以∠2＝∠3．理由是：两直线平行，内错角相等 D．因为∠1＝∠C，所以DE∥BC．理由是：两直线平行，同位角相等【分析】此题考查平行线的性质及判定定理，可由同位角，内错角，同旁内角判定其平行，又有平行可得角之间的关系．【解答】解：A、DE∥BC，所以∠1＝∠C，即两直线平行，同位角相等，题中理由叙述错误，故错误；B、∠2＝∠3，可得DE∥BC，即内错角相等，两直线平行，而不是同位角，故错误；C、DE∥BC，所以∠2＝∠3，即两直线平行，内错角相等，故正确；D、∠1＝∠C，所以DE∥BC，即同位角相等，两直线平行，故错误．故选：C．【点评】熟练掌握平行线的判定及性质，不要将性质与判定混淆．5．（2024秋•建邺区校级期末）如图，已知∠A与∠B互补，DE平分∠ADC，∠1＝40°，那么∠2＝（）A．80° B．85° C．95° D．100°【分析】根据题意，由条件得到AD∥BC，从而得到∠ADE＝40°，结合角平分线得到∠ADC＝2∠ADE＝80°，即可得到∠2的度数．【解答】解：∵∠A与∠B互补，∴AD∥BC，∴∠1＝∠ADE，∵∠1＝40°，∴∠ADE＝40°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE＝80°，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠DCB＝180°，∴∠DCB＝180°﹣80°＝100°，∴∠2＝∠DCB＝180°﹣80°＝100°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．6．（2024秋•秦淮区期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．【解答】解：A、∠3＝∠4，根据内错角相等，BD∥AC，故此选项不符合题意；B、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，故此选项符合题意；C、∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项不符合题意；D、∠D+∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．7．（2024秋•南通期末）如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系为（）A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90° C．∠2+∠3﹣∠1＝90° D．∠1﹣∠2+∠3＝90°【分析】由∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°，得出∠3＝∠BOD，而∠BOD﹣∠2+∠1＝90°，即可得到答案．【解答】解：∵∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°，∴∠3＝∠BOD，∵∠EOD+∠1＝90°，∴∠BOD﹣∠2+∠1＝90°，∴∠3﹣∠2+∠1＝90°，故选：D．【点评】本题考查互余的概念，关键是掌握余角的性质．8．（2024秋•北林区期末）如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠DEB＝2∠ABC；其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义进行判断即可．【解答】解：∵AF∥CD，∴∠ABC＝∠ECB，∠EDB＝∠DBF，∠DEB＝∠EBA，∵BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，∴∠ECB＝∠BCA，∠EBD＝∠DBF＝∠EDB，∵BC⊥BD，∴∠EDB+∠ECB＝90°，∠DBE+∠EBC＝90°，∵∠EDB＝∠DBE，∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABC＝∠BCA，∴BC平分∠ABE，故①正确，符合题意；∵∠EBC＝∠BCA，∴AC∥BE，故②正确，符合题意；∵∠DEB＝∠EBA，∠EBA＝2∠ABC，∴∠DEB＝2∠ABC，故③正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，9．（2024•建始县一模）小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝70°，则∠1＝（）A．22° B．20° C．25° D．30°【分析】过F作FG∥AD，则FG∥BC，即可得到∠2＝∠EFG＝70°，再根据∠AFE＝90°，即可得出∠AFG＝90°﹣70°＝20°，进而得到∠1＝∠AFG＝20°．【解答】解：如图，过F作FG∥AD，则FG∥BC，∴∠2＝∠EFG＝70°，又∵∠AFE＝90°，∴∠AFG＝90°﹣70°＝20°，∴∠1＝∠AFG＝20°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记平行线的性质是解题的关键．10．（2024•汕头模拟）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝（）A．58° B．68° C．32° D．22°【分析】如图所示，过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD，则AG∥MN∥BH∥CD，由OA⊥MN得到∠OAG＝90°，则∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°，进而得到∠ABH＝∠BAG＝68°，再根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD，由此即可得到∠DCE＝∠ABH＝68°．【解答】解：如图所示，过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD，∵CD∥MN，∴AG∥MN∥BH∥CD，∵OA⊥MN，∴AG⊥OA，即∠OAG＝90°，∵∠BAO＝158°，∴∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°，∴∠ABH＝∠BAG＝68°，∵CE∥AB，BH∥CD，∴∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD，∴∠ABH+∠CBH+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCE+∠DCE，∴∠DCE＝∠ABH＝68°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（2023秋•化州市期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数等于．【分析】根据题意可得：AB∥CD，从而可得∠4＝∠2＝50°，然后利用三角形的外角性质，进行计算即可解答．【解答】解：如图：由题意得：AB∥CD，∴∠4＝∠2＝50°，∵∠4是△EFG的外角，∴∠4＝∠1+∠3，∵∠1＝30°，∴∠3＝∠4﹣∠1＝20°，故答案为：20°．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．12．（2024秋•安徽期末）一个角的余角等于这个角的补角的13，则这个角为【分析】设这个角的度数是x，这个角的补角为180﹣x，余角为90﹣x．根据“一个角的余角等于这个角的补角的13【解答】解：设这个角的度数是x°，则90﹣x=13（180﹣解得x＝45．故答案为：45°．【点评】本题主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180°．解此题的关键是能准确的从题中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．13．如图，OP∥QR∥ST，若∠2＝100°，∠3＝130°，则∠1＝度．【分析】先利用两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠SRQ＝130°，再利用两直线平行，同旁内角互补可得∠PRQ＝80°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵QR∥ST，∴∠3＝∠SRQ＝130°，∵OP∥QR，∴∠PRQ＝180°﹣∠2＝80°，∴∠1＝∠SRQ﹣∠PRQ＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．14．（2024秋•晋江市期末）如图是一款可折叠的晾衣架及其正面示意图，已知∠PDE＝115°，若要使GH∥DE，则∠DBH＝°．【分析】由同位角相等，两直线平行，即可得到答案．【解答】解：当∠DBH＝∠PDE＝115°时，GH∥DE．故答案为：115．【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．15．（2024春•江陵县期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠2＝2∠1；②∠1+∠2＝90°；③∠1＝25°，∠2＝55°；④∠ABC＝∠2﹣∠1；⑤∠ACB＝∠1+∠3；能判断直线m∥n的有．（填序号）【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．【解答】解：∵∠2＝2∠1，∠ABC＝30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故①不符合题意；∵∠1+∠2＝90°，∠ABC＝30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故②不符合题意；∵∠1＝25°，∠2＝55°，∠ABC＝30°，∴∠ABC+∠1＝55°＝55°＝∠2，∴m∥n，故③符合题意；∵∠ABC＝∠2﹣∠1，∴∠2＝∠ABC+∠1，∴m∥n，故④符合题意；过点C作CE∥m，∴∠3＝∠4，∵∠ACB＝∠1+∠3，∠ACB＝∠4+∠5，∴∠1＝∠5，∴EC∥n，∴m∥n，故⑤符合题意；故答案为：③④⑤．【点评】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC＝45°，∠DAC＝30°．接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒15°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t＝秒时，三角板A′CD′有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．【分析】分三种情况，根据平行线的性质解答即可．【解答】解：分三种情况：①当A′C∥AB时，如图：∴∠A′CA＝∠BAC＝45°，∴15t＝45，∴t＝3．②当A'D'∥AC时，∴∠A′CA＝∠A′＝30°，∴15t＝30，∴t＝2．③当A'D'∥AB时，∴∠A′CA＝∠A+∠A′＝75°，∴15t＝75，∴t＝5．综上所述，当旋转时间t＝2或3或5秒时，三角板A′CD′有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．故答案为：2或3或5．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．三、解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（8分）（2024春•嘉祥县期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE．（1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由；（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．【分析】（1）直接利用角平分线的定义以及结合邻补角的定义得出答案；（2）结合已知得出∠AOC的度数，再利用角平分线的定义得出答案．【解答】解：（1）OF与OD的位置关系：互相垂直，理由：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠FOE，∵∠DOE＝∠BOD，∴∠AOF+∠BOD＝∠FOE+∠DOE=1∴OF与OD的位置关系：互相垂直；（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∴∠AOC=1∴∠BOD＝∠EOD＝30°，∴∠AOE＝120°，∴∠EOF=12∠【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的定义，正确得出各角之间关系是解题关键．18．（8分）（2024春•新城区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OE在∠DOB内部，且∠DOE＝2∠BOE．过点O作OF⊥OE．（1）若∠COF＝54°，求∠BOE的度数；（2）若∠COF＝∠DOE，那么OB平分∠DOF吗？为什么？【分析】（1）根据直角的性质，可得∠EOF＝90°，根据补角的定义得∠DOE＝180﹣∠EOF﹣∠COF，再由∠DOE＝2∠BOE，即可求解；（2）根据∠COF＝∠DOE，∠COF+∠DOE＝90°，可得∠COF＝∠DOE＝45°，再由∠DOE＝2∠BOE，可得∠BOE＝22.5°，从而得到∠DOB＝67.5°，∠BOF＝90°﹣22.5°＝67.5°，即可求解．【解答】解：（1）∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∵∠COF＝54°，∴∠DOE＝180°﹣∠EOF﹣∠COF＝180°﹣90°﹣54°＝36°，∵∠DOE＝2∠BOE，∴∠BOE=1∴∠BOE的度数为18°；（2）平分，理由如下：∵∠COF＝∠DOE，∠COF+∠DOE＝90°，∴∠COF＝∠DOE＝45°，∵∠DOE＝2∠BOE，∴∠BOE＝22.5°，∴∠DOB＝∠DOE+∠BOE＝67.5°，∵∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠DOB＝∠BOF，∴OB平分∠DOF．【点评】本题主要考查了垂线，角平分线的有关计算，熟练掌握垂直的性质，根据题意得到角与角之间的数量关系是解题的关键．19．（8分）（2024春•武侯区校级期中）如图，EF⊥AC于点F，DB⊥AC于点M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，请问AB与MN平行吗？说明理由．完成下列推理过程：解：AB∥MN，理由如下：因为EF⊥AC，DB⊥AC，（已知）∴∠CFE＝∠CMD＝90°，（）∴EF∥DM，（）∴∠2＝∠CDM．（）∵∠1＝∠2，（已知）∴∠1＝∠，（）∴MN∥CD，（）∵∠3＝∠C，（已知）∴AB∥CD，（）∴AB∥MN．（）【分析】由于EF⊥AC，DB⊥AC得到EF∥DM，根据平行线的性质得∠2＝∠CDM，而∠1＝∠2，则∠1＝∠CDM，根据平行线的判定得到MN∥CD，又∠3＝∠C，则AB∥CD，然后根据平行公理的推论即可得到AB∥MN．【解答】解：AB∥MN，理由如下：因为EF⊥AC，DB⊥AC，∴∠CFE＝∠CMD＝90°，（垂直的定义）∴EF∥DM，（同位角相等，两直线平行）∴∠2＝∠CDM，（两直线平行，同位角相等）∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠CDM，（等量代换）∴MN∥CD，（内错角相等，两直线平行）∵∠3＝∠C，∴AB∥CD，（内错角相等，两直线平行）∴AB∥MN．（平行于同一直线的两条直线平行）故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；CDM；等量代换；内错角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；平行于同一直线的两条直线平行．20．（8分）（2024秋•苍梧县期中）如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD，G是射线OB上一点，连接DG，满足∠ODG+∠DOG＝90°．（1）求证：∠AOE＝∠ODG；（2）若∠ODG＝∠C，求证：CD∥OE．【分析】（1）由垂线的定义得出∠DOE＝90°，结合平角的定义得出∠AOE+∠DOG＝90°，结合∠ODG+∠DOG＝90°即可得证；（2）由角平分线的定义得出∠DOG＝∠COD，由垂线的定义得出∠DOE＝90°即∠COE+∠COD＝90°，结合∠ODG+∠DOG＝90°得出∠ODG＝∠COE，从而得出∠C＝∠COE，即可得证．【解答】证明：（1）∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，∵∠DOE+∠AOE+∠DOG＝180°，∴∠AOE+∠DOG＝90°，∵DG⊥AB，∴∠ODG+∠DOG＝90°，∴∠AOE＝∠ODG；（2）∵OD平分∠BOC，∴∠DOG＝∠COD=12∠∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，∴∠COE+∠COD＝90°，由（1）知，∠ODG+∠DOG＝90°，∴∠ODG＝∠COE，∵∠ODG＝∠C，∴∠C＝∠COE，∴CD∥OE．【点评】本题考查了垂线的定义、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．21．（9分）（2024秋•双流区期末）已知：AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点P是线段EF上一点，M，N分别在射线EB，FD上，连接PM，PN．（1）如图1，求证：∠MPN＝∠EMP+∠FNP；（2）如图2，当MP⊥NP时，MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP，求∠MQN的度数．【分析】（1）过点P作PH∥AB，证明AB∥PH∥CD得∠MPH＝∠EMP，∠NPH＝∠FNP，∠MPH+∠NPH＝∠EMP+∠FNP，由此即可得出结论；（2）根据角平分线的定义设设∠EMQ＝∠PMQ＝α，∠DNQ＝∠PNQ＝β，则∠EMP＝2α，∠DNP＝2β，进而得∠FNP＝180°﹣2β，∠FNQ＝180°﹣β，然后根据（1）的结论得∠MPN＝∠EMP+∠FNP，∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ，由∠MPN＝∠EMP+∠FNP，得β﹣α＝45°，由∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ即可得出答案．【解答】（1）证明：过点P作PH∥AB，如图所示：∵AB∥CD，∴AB∥PH∥CD，∴∠MPH＝∠EMP，∠NPH＝∠FNP，∴∠MPH+∠NPH＝∠EMP+∠FNP，即∠MPN＝∠EMP+∠FNP；（2）∵MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP，∴设∠EMQ＝∠PMQ＝α，∠DNQ＝∠PNQ＝β，∴∠EMP＝2α，∠DNP＝2β，∴∠FNP＝180°﹣∠DNP＝180°﹣2β，∴∠FNQ＝∠FNP+∠PNQ＝180°﹣2β+β＝180°﹣β，∵MP⊥NP，∴∠MPN＝90°，由（1）的结论得：∠MPN＝∠EMP+∠FNP，∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ，由∠MPN＝∠EMP+∠FNP，得：90°＝2α+180°﹣2β，∴β﹣α＝45°，∴∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ＝α+180°﹣β＝180°﹣（β﹣α）＝135°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，理解垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．22．（9分）（2023秋•船营区校级期末）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．【计算与观察】（1）若∠DCE＝35°，则∠BCA＝；若∠ACB＝150°，则∠DCE＝；【猜想与证明】（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．【拓展与运用】（3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠DCE的度数．【分析】（1）根据角的和差定义计算即可．（2）利用角的和差定义计算即可．（3）利用（2）的结论计算即可．【解答】解：（1）①∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACE＝90°﹣∠DCE＝55°，∴∠BCA＝∠ACE+∠BCE＝145°，∴∠BCA＝145°；②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝∠ECB＝90°，∴∠ACE＝∠DCB＝150°﹣90°＝60°，∴∠DCE＝90°﹣60°＝30°．故答案为：145°，30°；（2）猜想得：∠ACB+∠DCE＝180°（或∠ACB与∠DCE互补）．理由：∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB，∴∠ACB+∠DCE＝180°．（3）∵∠ACB+∠DCE＝180°，∠DCE：∠ACB＝2：7，∴72∠DCE+∠DCE解得∠DCE＝40°．【点评】本题考查余角和补角，角的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（10分）（2024秋•朝阳区校级期末）已知，如图AB∥CD．①由图（1）易得∠B、∠BED、∠D的关系（直接写结论）；②由图（2）试猜想∠B、∠BED、∠D的关系并说明理由；[延伸拓展]利用上面（1）（2）得出的结论完成下题：③已知，AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，∠EDF＝2∠CDF．若∠E＝105°，则∠BFD＝°．【分析】①过点E作EF∥AB，证明AB∥EF∥CD得∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D，则∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D，由此可得∠B、∠BED、∠D的关系；②过点E作EH∥AB，证明AB∥EH∥CD得∠B+∠BEH＝180°，∠DEH+∠D＝180°，则∠B+∠BEH+∠DEH+∠D＝360°，由此可得∠B、∠BED、∠D的关系；③设∠ABF＝α，∠CDF＝β，则∠EBF＝2α，∠EDF＝2β，∠ABE＝3α，∠CDE＝3β，根据①②的结论得∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠E+∠ABE+∠CDE＝360°，则∠BFD＝α+β，105+3α+3β＝360°，由105+3α+3β＝360°，得α+β＝85°，进而可得∠BFD的度数．【解答】解：①∠B、∠BED、∠D的关系是：∠BED＝∠B+∠D，理由如下：过点E作EF∥AB，如图（1）所示：∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D，∴∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D，∴∠BED＝∠B+∠D，故答案为：∠BED＝∠B+∠D；②∠B、∠BED、∠D的关系是：∠B+∠BED+∠D＝360°，理由如下：过点E作EH∥AB，如图（2）所示：∵AB∥CD，∴AB∥EH∥CD，∴∠B+∠BEH＝180°，∠DEH+∠D＝180°，∴∠B+∠BEH+∠DEH+∠D＝360°，∴∠B+∠BED+∠D＝36