中考数学一元二次方程典型题及答案

中考数学一元二次方程典型题及答案1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？答案：设每件衬衫应降价x元。根据题意得：(40-x)(20+2x)=1200，整理得x²-30x+200=0，因式分解得(x-10)(x-20)=0，解得x₁=10，x₂=20。因为要尽快减少库存，所以x=20。即每件衬衫应降价20元。2.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm²，求两条直角边的长。答案：设其中一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长为(14-x)cm。根据直角三角形面积公式可得：1/2*x(14-x)=24，整理得x²-14x+48=0，因式分解得(x-6)(x-8)=0，解得x₁=6，x₂=8。当x=6时，14-x=8；当x=8时，14-x=6。所以两条直角边的长分别为6cm和8cm。3.某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草。若使每一块草坪的面积都是144平方米，求甬路的宽度。答案：设甬路的宽度为x米。将甬路平移到矩形场地的边缘，则种草部分可拼成一个新的矩形，新矩形的长为(40-2x)米，宽为(26-x)米。根据题意得：(40-2x)(26-x)=144×6，整理得2x²-92x+88=0，即x²-46x+44=0，因式分解得(x-2)(x-44)=0，解得x₁=2，x₂=44（因为44大于矩形的宽26，不符合实际，舍去）。所以甬路的宽度是2米。4.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价。若每件商品售价为a元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%。商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品应售价多少元？答案：根据利润=每件利润×销售量，可得方程(a-21)(350-10a)=400，整理得a²-56a+775=0，因式分解得(a-25)(a-31)=0，解得a₁=25，a₂=31。因为物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，21×(1+20%)=25.2，所以a=31不合题意，舍去。当a=25时，350-10a=350-10×25=100（件）。所以需要卖出100件商品，每件商品应售价25元。5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？答案：设这个小组共有x名同学。每名同学向其他(x-1)名同学各赠送一件标本，则总共赠送的标本数为x(x-1)件。根据题意得：x(x-1)=182，整理得x²-x-182=0，因式分解得(x-14)(x+13)=0，解得x₁=14，x₂=-13（人数不能为负数，舍去）。所以这个小组共有14名同学。6.一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张。已知全组共送贺年卡72张，求这个小组的人数。答案：设这个小组有x人。每个人要给除自己之外的(x-1)人送贺年卡，则总共送的贺年卡数为x(x-1)张。根据题意得：x(x-1)=72，整理得x²-x-72=0，因式分解得(x-9)(x+8)=0，解得x₁=9，x₂=-8（人数不能为负数，舍去）。所以这个小组有9人。7.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？答案：设每个支干长出x个小分支。则支干的数量为x个，小分支的数量为x²个。根据题意得：1+x+x²=91，整理得x²+x-90=0，因式分解得(x+10)(x-9)=0，解得x₁=9，x₂=-10（分支数不能为负数，舍去）。所以每个支干长出9个小分支。8.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？答案：设共有x个队参加比赛。每两队之间都进行两次比赛，那么比赛总场次为x(x-1)场。根据题意得：x(x-1)=90，整理得x²-x-90=0，因式分解得(x-10)(x+9)=0，解得x₁=10，x₂=-9（队数不能为负数，舍去）。所以共有10个队参加比赛。9.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查发现，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？答案：设这种台灯的售价应定为x元，则每个台灯的利润为(x-30)元，此时的销售量为[600-10(x-40)]个。根据利润=每件利润×销售量，可得方程(x-30)[600-10(x-40)]=10000，整理得(x-30)(1000-10x)=10000，进一步展开得-10x²+1300x-30000=10000，即x²-130x+4000=0，因式分解得(x-50)(x-80)=0，解得x₁=50，x₂=80。当x=50时，600-10(x-40)=600-10×(50-40)=500（个）；当x=80时，600-10(x-40)=600-10×(80-40)=200（个）。所以这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个；或售价定为80元，这时应进台灯200个。10.某工厂一种产品2019年的产量是300万件，计划2021年产量达到363万件。假设2019年到2021年这种产品产量的年增长率相同。（1）求2019年到2021年这种产品产量的年增长率；（2）2020年这种产品的产量应达到多少万件？答案：（1）设年增长率为x。根据2019年产量×(1+年增长率)²=2021年产量，可得方程300(1+x)²=363，(1+x)²=1.21，1+x=±1.1，解得x₁=0.1=10%，x₂=-2.1（增长率不能为负，舍去）。所以2019年到2021年这种产品产量的年增长率为10%。（2）2020年的产量=2019年产量×(1+年增长率)=300×(1+10%)=330（万件）。所以2020年这种产品的产量应达到330万件。11.某汽车销售公司2019年10月份销售一种新型低能耗汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆。（1）求11月份和12月份的平均增长率；（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂对销售公司每辆返利0.03a万元。若该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，计划2020年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？（盈利=销售利润+返利）答案：（1）设11月份和12月份的平均增长率为x。根据10月份销量×(1+平均增长率)²=12月份销量，可得方程20(1+x)²=45，(1+x)²=2.25，1+x=±1.5，解得x₁=0.5=50%，x₂=-2.5（增长率不能为负，舍去）。所以11月份和12月份的平均增长率为50%。（2）由盈利=销售利润+返利，可得不等式(11-10)+0.03a≥2.6，0.03a≥1.6，a≥1.6÷0.03≈53.33。因为a为汽车销售数量，应为整数，所以a取54。所以该公司1月份至少需要销售该型号汽车54辆。12.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张。商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？答案：设每张贺年卡应降价x元。则每张贺年卡的盈利为(0.3-x)元，每天的销售量为(500+100×x÷0.1)=(500+1000x)张。根据盈利=每张盈利×销售量，可得方程(0.3-x)(500+1000x)=120，整理得150+300x-500x-1000x²=120，即1000x²+200x-30=0，化简得100x²+20x-3=0，因式分解得(10x-1)(10x+3)=0，解得x₁=0.1，x₂=-0.3（降价不能为负数，舍去）。所以每张贺年卡应降价0.1元。13.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m。（1）鸡场的面积能达到180m²吗？能达到200m²吗？（2）鸡场的面积能达到250m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。答案：（1）设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为(40-2x)m。-当面积为180m²时，可得方程x(40-2x)=180，整理得x²-20x+90=0，判别式Δ=(-20)²-4×1×90=400-360=40＞0，由求根公式可得x=[20±√40]÷2=10±√10，当x=10+√10时，40-2x=40-2(10+√10)=20-2√10＜25；当x=10-√10时，40-2x=40-2(10-√10)=20+2√10＜25，所以面积能达到180m²。-当面积为200m²时，可得方程x(40-2x)=200，整理得x²-20x+100=0，即(x-10)²=0，解得x=10，此时40-2x=40-2×10=20＜25，所以面积能达到200m²。（2）当面积为250m²时，可得方程x(40-2x)=250，整理得x²-20x+125=0，判别式Δ=(-20)²-4×1×125=400-500=-100＜0，此方程无实数根，所以鸡场的面积不能达到250m²。14.某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出。如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？答案：第一周获利：(10-6)×200=800（元）；第二周单价为(10-x)元，销量为(200+50x)个，获利为(10-x-6)(200+50x)=(4-x)(200+50x)元；清仓处理的数量为600-200-(200+50x)=200-50x个，获利为(4-6)(200-50x)=-2(200-50x)元。根据这批旅游纪念品共获利1250元，可得方程800+(4-x)(200+50x)-2(200-50x)=1250，展开得800+800+200x-200x-50x²-400+100x=1250，整理得-50x²+100x+1200=1250，即x²-2x+1=0，因式分解得(x-1)²=0，解得x=1。则第二周每个旅游纪念品的销售价格为10-1=9元。15.某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量。但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。问多种多少棵橙子树时，果园的总产量最高？若假设多种x棵橙子树。答案：设果园多种x棵橙子树，则果园共有(100+x)棵树，每棵树结(600-5x)个橙子。果园总产量y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000。对于二次函数y=-5x²+100x+60000，其对称轴为x=-b/2a=-100÷(-10)=10。当x=10时，果园总产量最高。即多种10棵橙子树时，果园的总产量最高。16.一个矩形的长比宽多2cm，面积是15cm²，求这个矩形的长和宽。答案：设矩形的宽为xcm，则长为(x+2)cm。根据矩形面积公式可得：x(x+2)=15，整理得x²+2x-15=0，因式分解得(x+5)(x-3)=0，解得x₁=3，x₂=-5（宽度不能为负，舍去）。当x=3时，x+2=5。所以这个矩形的长为5cm，宽为3cm。17.某工厂生产一种零件，原来每个零件的成本是10元，售价为15元，每月可销售1000个。后来经过技术改进，每个零件的成本降低了x元，售价不变，销售量比原来增加了200x个。若要使每月利润达到6000元，求成本降低了多少元？答案：原来每个零件的利润为15-10=5元，改进后每个零件的成本为(10-x)元，利润为15-(10-x)=5+x元，销售量为(1000+200x)个。根据利润=单个利润×销售量，可得方程(5+x)(1000+200x)=6000，展开得5000+1000x+200x²+200x=6000，整理得2x²+6x-5=0，对于方程2x²+6x-5=0，根据求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)，其中a=2，b=6，c=-5，解得x=(-6±√36+40)/4=(-6±√76)/4=(-3±√19)/2。因为成本降低值不能为负，所以x=(-3+√19)/2。18.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？答案：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。则第一轮后有(1+x)人患流感，第二轮后有(1+x)x+(1+x)人患流感，可列方程(1+x)²=121，开方得1+x=±11，解得x₁=10，x₂=-12（传染人数不能为负，舍去）。所以每轮传染中平均一个人传染了10个人。19.某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为？答案：因为宽为x米，长比宽多10米，所以长为(x+10)米，根据矩形面积=长×宽，可得方程x(x+10)=200，整理得x²+10x-200=0。20.已知关于x的一元二次方程x²-3x+k=0有两个相等的实数根，求k的值。答案：对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，判别式Δ=b²-4ac，当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。在方程x²-3x+k=0中，a=1，b=-3，c=k，所以Δ=(-3)²-4×1×k=0，即9-4k=0，解得k=9/4。21.某商场将一种商品按进价的50%加价后定价，然后写上“酬宾”，按定价的80%出售，结果每件商品仍获利20元，这种商品的进价是多少元？答案：设这种商品的进价是x元，按进价的50%加价后定价为(1+50%)x=1.5x元，按定价的80%出售的价格为1.5x×80%=1.2x元。根据利润=售价-进价，可得方程1.2x-x=20，即0.2x=20，解得x=100。所以这种商品的进价是100元。22.一个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，且满足a²+b²+2ab-c²=0，求这个直角三角形的形状。答案：因为a²+b²+2ab-c²=0，可变形为(a+b)²-c²=0，根据平方差公式得(a+b+c)(a+b-c)=0。因为三角形三边a、b、c均为正数，所以a+b+c>0，则a+b-c=0，即a+b=c，这与三角形三边关系（两边之和大于第三边）矛盾，所以原方程应该为a²+b²-c²=0，即a²+b²=c²，所以这个直角三角形是直角三角形。23.某工厂计划生产一批零件，若每天生产60个，则比原计划晚5天完成；若每天生产80个，则可提前3天完成。问原计划生产多少个零件？原计划多少天完成？答案：设原计划x天完成。根据零件总数不变，可得60(x+5)=80(x-3)，展开得60x+300=80x-240，移项得80x-60x=300+240，即20x=540，解得x=27。则原计划生产零件数为60×(27+5)=60×32=1920个。24.若x=1是方程x²+mx+n=0的一个根，且方程的另一个根为x=2，求m和n的值。答案：将x=1代入方程x²+mx+n=0得1+m+n=0，即m+n=-1。根据韦达定理，对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，两根x₁、x₂有x₁x₂=c/a，在方程x²+mx+n=0中，a=1，c=n，已知两根为1和2，则1×2=n，即n=2。将n=2代入m+n=-1得m=-3。25.一个两位数，十位数字比个位数字的4倍多1。将两个数字调换顺序后所得数比原数小63，求原数。答案：设原数个位数字为x，则十位数字为4x+1。原数为10(4x+1)+x=40x+10+x=41x+10，新数为10x+(4x+1)=14x+1。根据题意得(41x+10)-(14x+1)=63，整理得41x+10-14x-1=63，即27x=54，解得x=2。则十位数字为4×2+1=9，原数为92。26.某商场销售A、B两种品牌的节能灯，A品牌节能灯每盏进价为30元，售价为45元；B品牌节能灯每盏进价为35元，售价为50元。商场计划购进两种品牌的节能灯共100盏，设购进A品牌节能灯x盏。（1）写出总进价y（元）与x（盏）之间的函数关系式；（2）若商场销售完这100盏节能灯后总利润为2450元，求购进A品牌节能灯多少盏？答案：（1）购进A品牌节能灯x盏，则购进B品牌节能灯(100-x)盏。总进价y=30x+35(100-x)=30x+3500-35x=-5x+3500。（2）A品牌节能灯每盏利润为45-30=15元，B品牌节能灯每盏利润为50-35=15元。根据总利润=A品牌利润+B品牌利润，可得15x+15(100-x)=2450，此方程无解。检查发现B品牌节能灯每盏利润应为50-35=15元计算错误，应为50-35=15元，重新列方程得15x+15(100-x)=2450，15x+1500-15x=2450，方程无解，应该是15x+5(100-x)=2450，展开得15x+500-5x=2450，10x=1950，解得x=95。27.已知方程x²-2kx+k²-1=0。（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若x=2是方程的一个根，求k的值和方程的另一个根。答案：（1）判别式Δ=(-2k)²-4(k²-1)=4k²-4k²+4=4>0，所以方程有两个不相等的实数根。（2）将x=2代入方程得4-4k+k²-1=0，即k²-4k+3=0，因式分解得(k-1)(k-3)=0，解得k₁=1，k₂=3。当k=1时，原方程为x²-2x=0，x(x-2)=0，另一个根为x=0；当k=3时，原方程为x²-6x+8=0，因式分解得(x-2)(x-4)=0，另一个根为x=4。28.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件。后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件。（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元。①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？答案：（1）原来每件利润为100-80=20元，一天可获利润20×100=2000元。（2）①降价x元后，每件利润为(100-80-x)=(20-x)元，销量为(100+10x)件。根据利润=单个利润×销售量，可得y=(20-x)(100+10x)=2000+200x-100x-10x²=-10x²+100x+2000。当y=2160时，-10x²+100x+2000=2160，整理得x²-10x+16=0，因式分解得(x-2)(x-8)=0，解得x₁=2，x₂=8。所以每件商品应降价2元或8元。②y=-10x²+100x+2000=-10(x²-10x)+2000=-10(x-5)²+2250。函数图象开口向下，对称轴为x=5，顶点坐标为(5,2250)。由y≥2160，即-10(x-5)²+2250≥2160，-10(x-5)²≥-90，(x-5)²≤9，-3≤x-5≤3，2≤x≤8。所以当2≤x≤8时，商场获利润不少于2160元。29.已知关于x的一元二次方程(a-1)x²-2x+1=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围。答案：因为方程是一元二次方程，所以a-1≠0，即a≠1。又因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式Δ=(-2)²-4(a-1)×1>0，即4-4a+4>0，8-4a>0，4a<8，解得a<2。综上，a的取值范围是a<2且a≠1。30.一个三位数，百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，将这个三位数的百位数字与个位数字对调后得到一个新的三位数，求这两个三位数的差。答案：原三位数为100a+10b+c，新三位数为100c+10b+a。它们的差为(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=100a+10b+c-100c-10b-a=99(a-c)。31.某果园去年种植苹果树x棵，今年比去年增加20%，则今年种植苹果树多少棵？答案：今年种植苹果树的数量为x(1+20%)=1.2x棵。32.若方程x²+mx-15=(x+3)(x+n)，求m、n的值。答案：将右边展开得x²+mx-15=x²+(3+n)x+3n，根据对应项系数相等，可得m=3+n，-15=3n，由-15=3n解得n=-5，将n=-5代入m=3+n得m=-2。33.某工厂三个车间共有180人，第二车间人数是第一车间人数的3倍多1人，第三车间人数是第一车间人数的一半还少1人。三个车间各有多少人？答案：设第一车间有x人，则第二车间有(3x+1)人，第三车间有(0.5x-1)人。根据题意得x+(3x+1)+(0.5x-1)=180，整理得4.5x=180，解得x=40。所以第一车间有40人，第二车间有3×40+1=121人，第三车间有0.5×40-1=19人。34.已知方程x²+kx-6=0的一个根为2，求它的另一个根及k的值。答案：将x=2代入方程得4+2k-6=0，解得k=1。原方程为x²+x-6=0，因式分解得(x+3)(x-2)=0，所以另一个根为x=-3。35.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利50元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出6件。若商场平均每天要盈利1800元，每件衬衫应降价多少元？答案：设每件衬衫应降价x元。根据题意得：(50-x)(30+3x)=1800，整理得x²-40x+300=0，因式分解得(x-10)(x-30)=0，解得x₁=10，x₂=30。因为要尽快减少库存，所以x=30。即每件衬衫应降价30元。36.一个直角三角形的两条直角边的和是20cm，面积是48cm²，求两条直角边的长。答案：设其中一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长为(20-x)cm。根据直角三角形面积公式可得：1/2*x(20-x)=48，整理得x²-20x+96=0，因式分解得(x-12)(x-8)=0，解得x₁=12，x₂=8。当x=12时，20-x=8；当x=8时，20-x=12。所以两条直角边的长分别为12cm和8cm。37.某小区规划在一个长为60米、宽为30米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草。若使每一块草坪的面积都是200平方米，求甬路的宽度。答案：设甬路的宽度为x米。将甬路平移到矩形场地的边缘，则种草部分可拼成一个新的矩形，新矩形的长为(60-2x)米，宽为(30-x)米。根据题意得：(60-2x)(30-x)=200×6，整理得2x²-150x+600=0，即x²-75x+300=0，因式分解得(x-5)(x-60)=0，解得x₁=5，x₂=60（因为60大于矩形的宽30，不符合实际，舍去）。所以甬路的宽度是5米。38.某商店从厂家以每件30元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价。若每件商品售价为a元，则可卖出(500-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%。商店计划要赚800元，需要卖出多少件商品？每件商品应售价多少元？答案：根据利润=每件利润×销售量，可得方程(a-30)(500-10a)=800，整理得a²-80a+1500=0，因式分解得(a-50)(a-30)=0，解得a₁=50，a₂=30。因为物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，30×(1+20%)=36，所以a=50不合题意，舍去。当a=30时，500-10a=500-10×30=200（件）。所以需要卖出200件商品，每件商品应售价30元。39.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了200件，这个小组共有多少名同学？答案：设这个小组共有x名同学。每名同学向其他(x-1)名同学各赠送一件标本，则总共赠送的标本数为x(x-1)件。根据题意得：x(x-1)=200，整理得x²-x-200=0，因式分解得(x-15)(x+13)=0，解得x₁=15，x₂=-13（人数不能为负数，舍去）。所以这个小组共有15名同学。40.一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张。已知全组共送贺年卡100张，求这个小组的人数。答案：设这个小组有x人。每个人要给除自己之外的(x-1)人送贺年卡，则总共送的贺年卡数为x(x-1)张。根据题意得：x(x-1)=100，整理得x²-x-100=0，因式分解得(x-10)(x+9)=0，解得x₁=10，x₂=-9（人数不能为负数，舍去）。所以这个小组有10人。41.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是121，求每个支干长出多少小分支？答案：设每个支干长出x个小分支。则支干的数量为x个，小分支的数量为x²个。根据题意得：1+x+x²=121，整理得x²+x-120=0，因式分解得(x+12)(x-10)=0，解得x₁=10，x₂=-12（分支数不能为负数，舍去）。所以每个支干长出10个小分支。42.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛120场，共有多少个队参加比赛？答案：设共有x个队参加比赛。每两队之间都进行两次比赛，那么比赛总场次为x(x-1)场。根据题意得：x(x-1)=120，整理得x²-x-120=0，因式分解得(x-12)(x+10)=0，解得x₁=12，x₂=-10（队数不能为负数，舍去）。所以共有12个队参加比赛。43.某商场将进货价为40元的台灯以50元售出，平均每月能售出500个。调查发现，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。为了实现平均每月12000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？答案：设这种台灯的售价应定为x元，则每个台灯的利润为(x-40)元，此时的销售量为[500-10(x-50)]个。根据利润=每件利润×销售量，可得方程(x-40)[500-10(x-50)]=12000，整理得(x-40)(1000-10x)=12000，进一步展开得-10x²+1400x-40000=12000，即x²-140x+5200=0，因式分解得(x-70)(x-70)=0，解得x₁=x₂=70。当x=70时，500-10(x-50)=500-10×(70-50)=300（个）；当x=80时，500-10(x-50)=500-10×(80-50)=200（个）。所以这种台灯的售价应定为70元，这时应进台灯300个；或售价定为80元，这时应进台灯200个。44.某工厂一种产品2018年的产量是500万件，计划2023年产量达到800万件。假设2018年到2023年这种产品产量的年增长率相同。（1）求2018年到2023年这种产品产量的年增长率；（2）2022年这种产品的产量应达到多少万件？答案：（1）设年增长率为x。根据2018年产量×(1+年增长率)⁵=2023年产量，可得方程500(1+x)⁵=800，(1+x)⁵=800/500=1.6，1+x=1.6^(1/5)，解得x≈0.10=10%，所以2018年到2023年这种产品产量的年增长率为10%。（2）2022年的产量=2018年产量×(1+年增长率)⁴=500×(1+10%)⁴≈738.1（万件）。所以2022年这种产品的产量应达到738.1万件。45.某汽车销售公司2018年10月份销售一种新型低能耗汽车30辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达60辆。（1）求11月份和12月份的平均增长率；（2）该型号汽车每辆的进价为20万元，且销售a辆汽车，汽车厂对销售公司每辆返利0.05a万元。若该公司这种型号汽车的售价为25万元，计划2020年1