15 圆压轴综合考察证明、长度与面积、动点问题等

专题之圆压轴综合（考察证明、长度与面积、动点问题等）（一）1．如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（I）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2＝CE•CP；（3）当AB＝4且＝时，求弦BC与其所对的劣弧所组成的弓形面积．2．如图，在⊙O中，直线CD垂直直径AB于E，直线GF为⊙O的切线，切点为H，GF与直线CD相交于点F，与AB延长线交于点G，AH交CD于M，其中MH2＝MD•MF．（1）连接OH，求证：△FMH为等腰三角形；（2）求证：AC∥FG；（3）若cosF＝，AM＝2，求线段GH的长．3．问题探究：如图，在矩形ABCD中，AB＝10，cos∠ABD＝，P为BD上一点，B'是点B以P为对称中心的对称点，点B'也在BD上（可以是端点），E为PD的中点，以点E为圆，EB'为半径在BD下方作半圆．（1）BP＝时，AP⊥BD时，此时半径是；（2）当半圆与矩形的边相切时，求BP的长；拓展延伸：（3）如图，AB＝6，AC＝，以BC为底边在BC上方作等腰△BCD，其中∠CDB＝120°，直接写出AD的最大值．4．如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F，AD＝FC．（1）求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FC＝CE；（3）若弦AD＝cm，AC＝2cm，求⊙O的半径．5．【问题探究】（1）如图1，AB是⊙O的弦，直线l与O相交于点M、N两点，M1，M2是直线l上异于点M，N的两个点，则∠AMB∠AM1B（用＞，＜或＝连接）．（2）如图2，AB是⊙O的弦，直线l与⊙O相切于点M，点M1是直线l上异于点M的任意一点，请在图2中画出图形，试判断∠AMB，∠AM1B的大小关系，并证明．【解决问题】（3）某游乐园的平面图如图3所示，场所保卫人员想在线段OD上的点M处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果达到最佳，必须要求∠AMB最大．已知∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200米，问在线段OD上是否存在一点M，使得∠AMB最大，若存在，请求出此时OM的长和∠AMB的度数，如果不存在，请说明理由．6．问题提出（1）如图①，△ABC内接于半径是2的⊙O，MN是△ABC的中位线，则MN的最大值是．问题探究（2）如图②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BC边上的中线AD＝2+，求等腰△ABC外接圆的半径；问题解决（3）如图③，工人师傅现要在一张足够大的板材上剪裁出一个形状为△ABC的部件，已知△ABC的部件要满足∠BAC＝60°，BC边上的中线AD＝30cm，且边AB与边AC之和要最大，是否能剪裁出满足要求的三角形部件，若能，请求出AB+AC的最大值；若不能，请说明理由．7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，DB长为半径作作⊙D．（1）求证：AC是⊙D的切线．（2）设AC与⊙D切于点E，DB＝1，连接DE，BF，EF．①当∠BAD＝时，四边形BDEF为菱形；②当AB＝时，△CDE为等腰三角形．8．【问题背景】（1）如图1，⊙O与∠P的两边分别切与A，B两点．求证：PA＝PB．【深入探究】（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，连接PO，以PO为一条边向上作等边三角形POQ，连接AO，AQ．求证：AO＝AQ．（3）若在（1）的条件下，以OP为斜边向上作等腰直角三角形POQ，取OP中点M，连接MB，MQ，BQ，求证：∠MQB＝∠MBQ．【拓展延伸】在（3）的条件下，连接AO，AQ，探索AO，AQ，AP之间的数量关系．9．如图，AB、CE是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线交于点P，AD⊥PC于D，连接AC、OD、PE．（1）求证：AC是∠DAP的角平分线；（2）求证：PC2＝PA•PB；（3）若AD＝3，PE＝2DO，求⊙O的半径．10．如图，AB是直径，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）试探究AE，AD，AB三者之间的等量关系．（3）若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长．参考答案1．证明：（1）∵PF是切线，∴OC⊥PF，∵AF⊥PF，∴AF∥OC．∴∠FAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO，∴∠FAC＝∠CAB，即AC平分∠FAB；（2）∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP＝∠CEB＝90°，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∠BCE+∠OBC＝90°，∴∠BCE＝∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD＝∠CBP＝90°，∴△CBE∽△CPB，∴，∴BC2＝CE•CP；（3）作BM⊥PF于M．则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a，∵∠MCB+∠P＝90°，∠P+∠PBM＝90°，∴∠MCB＝∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB＝∠BMP＝90°，∴△BMC∽△PMB，∴，∴BM2＝CM•PM＝3a2，∴BM＝a，∴tan∠BCM＝＝，∴∠BCM＝30°，∴∠OCB＝∠OBC＝∠BOC＝60°，∵AB＝4，∴OC＝OB＝2，∴弦BC与其所对的劣弧所组成的弓形面积＝﹣×12＝2π﹣3．2．（1）证明：∵直线GF为⊙O的切线，∴OH⊥GF，∴∠OHA+∠MHF＝90°，又∵OA＝OB，∴∠OHA＝∠OAH，∵CD⊥AB，∴∠AEM＝90°，∴∠OAH+∠AME＝90°，∴∠MHF＝∠AME，又∠AME＝∠HMF，∴∠MHF＝∠HMF，∴HF＝MF，∴△FNH为等腰三角形；（2）证明：∵MH2＝MD•MF．∴，又∵∠HMD＝∠FMH，∴△HMF∽△DMH，∴∠HDM＝∠MHF，∵∠HDM＝∠CAH，∴∠MHF＝∠CAH，∴AC∥GF；（3）解：∵AC∥GF，∴∠C＝∠F，∴cosC＝cosF＝，∵∠FHM＝∠HMF，∠CAM＝∠MHF，∠HMF＝∠CMA，∴∠CMA＝∠CAM，∴AC＝CM，设CE＝3x，AC＝4x，∴AE＝x，EM＝x，∴AM＝＝2，解得x＝，∴CE＝3，AE＝，连接OC，在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，设OC＝OA＝a，∴，解得a＝，∵AC∥GF，∴∠G＝∠CAE，又∵∠OHG＝∠CEA＝90°，∴△CEA∽△OHG，∴，∴，∴GH＝．3．解：（1）cos∠ABD＝＝，则sin∠ABD＝，解得：BD＝26；当AP⊥BD时，BP＝AB•cos∠ABD＝10×＝＝PB′，∴DE＝PD＝＝＝PE，则半径＝B′E＝PE﹣PB′＝；故答案为，；（2）①当点B′在点E的左侧时，如图1，当点G是切点时，而PB＝PB′＝a，ED＝PD＝（26﹣a）＝PE，故B′E＝BE﹣BB′＝13﹣，则cos∠BEG＝cos∠ABD＝＝，解得：a＝；如图2，当点H时切点时，同理可得：a＝；②当点B′在点E的右侧时，此时半圆与CD相切，同理可得：BP＝；综上，BP的长为或或；（3）连接AD，构建△ABE使△ABE∽△CBD，则，则∠EAB＝∠DCB＝（180°﹣120°）＝30°＝∠DBC＝∠EBA，在等腰三角形ABE中，AE＝BE＝＝＝2，∵∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC，∠EBD＝∠CBD﹣∠EBC，而∠EBA＝∠CBD，∴∠ABC＝∠EBD，∵，∴△EBD∽△ABC，故，即，∴DE＝AC＝1，∵AD≤AE+DE＝2+1，故AD的最大值为2+1．4．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，在△AGD和△CGF中，，∴△AGD≌△CGF（AAS），∴AG＝GC，∵OD经过圆心，AG＝GC，∴DF⊥AC，∴DF垂直平分AC；（2）证明：∵△AGD≌△CGF，∴DG＝GF，∵DE是⊙O的切线，∴DF⊥DE，∵DF⊥AC，∴AC∥DE，∵AC∥DE，DG＝GF，∴FC＝CE；（3）解：连接OC，设⊙O的半径为r，由题意得，AG＝GC＝AC＝，在Rt△AGD中，DG＝＝，∴OG＝r﹣，在Rt△OGC中，OC2＝OG2+GC2，即r2＝（r﹣）2+（）2，解得，r＝，答：⊙O的半径为．5．解：（1）如图1，延长AM1交⊙O于E，连接BE，∵∠AM1B是△BEM1的外角，∴∠AM1B＞∠AEB，∵∠AEB＝∠AMB，∴∠AM1B＞∠AMB，故答案为：＜；（2）如图2，画出图形如图2所示，∠AMB＞∠AM1B，证明：连接BF，∵∠AFB是△ABM1的外角，∴∠AFB＞∠AM1B，∵∠AMB＝∠AFB，∴∠AMB＞∠AM1B；（3）如图3中，当经过A，B的⊙T与OD相切于M时，∠AMB的值最大，作TH⊥OC于H，交OD于Q，连接TA，TB，OT．设TM＝TA＝TB＝r，∵TA＝TB，TH⊥AB，∴AH＝HB＝100（m），∵∠OHQ＝90°，∠COD＝60°，OH＝OA+AH＝（400+100）（m），∴QH＝OH＝（400+300）（m），∠OQH＝30°，∴TQ＝2MT＝2r，∵TH＝＝，∴2r+＝400+300，整理得：3r2﹣（1600+1200）r+60000+240000＝0，∴（r﹣200）（r﹣1000﹣1200）＝0，∴r＝200或1000+1200（舍弃），∴AT＝200m，∴AT＝2AH，∴∠ATH＝30°，∠ATB＝2∠ATH＝60°，∴∠AMB＝∠ATB＝30°，∴OM＝OQ﹣MQ＝800+200﹣600＝（200+200）（m）．6．解：（1）如图①中，∵AM＝BM，AN＝NC，∴MN＝BC，∵BC是⊙O的弦，直径为4，∴BC≤4，∴BC是最大值为4，∴MN的最大值为2．故答案为2．（2）如图②中，∵AB＝AC，AD是中线，∴AD垂直平分线段BC，∴△ABC的外接圆的圆心在线段AD上，设圆心为O，连接OB，OC．∵∠BOC＝2∠BAC＝90°，设OA＝OB＝OC＝r，则BC＝r，OD＝BD＝CD＝r，∵AD＝2+，∴r+r＝2+，解得r＝2，∴等腰△ABC外接圆的半径为2．（3）如图③中，延长AD到E，使得DE＝AD，连接EC，延长AC到F，使得CF＝CE，连接EF．∵BD＝DC，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴AB＝CD，∠B＝∠DCE，∴AB∥EC，∴∠ECF＝∠BAC＝60°，∵CE＝CF，∴△ECF是等边三角形，∴∠F＝60°，∵AD＝DE＝30cm，∴AE＝60（cm），∴点F的运动轨迹是图中优弧AE，∵AB+AC＝AC+CE＝AC+CF＝AF，∴当AF是直径时，AB+AC的值最大，最大值AF＝＝＝40（cm）．7．证明：（1）如图1，作DM⊥AC于M，∵∠B＝90°，AD平分∠BAC，DM⊥AC，∴DM＝DB，∵DB是⊙D的半径，∴AC是⊙D的切线；（2）①如图2，∵四边形BDEF是菱形，∴BD＝DE＝EF＝BF，∵BD＝DF＝DE，∴BD＝DF＝DE＝EF＝BF，∴△BDF，△DEF是等边三角形，∴∠ADB＝∠ADE＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝30°，∴当∠BAD＝30°时，四边形BDEF是菱形，故答案为：30°；②∵AC与⊙D切于点E，∴DE⊥AC，∵△DEC是等腰三角形，且DE⊥AC，∴DE＝EC，∠C＝∠EDC＝45°，∴DC＝DE，∵∠ABC＝90°，∠C＝45°，∴∠BAC＝∠C＝45°，∴AB＝BC，∵BD＝DE＝EC＝1，∴DC＝x，∴AB＝BC＝+1，∴当AB＝+1时，△CDE为等腰三角形，故答案为：+1．8．解：【问题背景】（1）连接OA，OB，OP，∵PA、PB是切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，在Rt△PAO和Rt△PBO中，，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），∴PA＝PB；【深入探究】（2）∵Rt△PAO≌Rt△PBO，∴∠APO＝∠BPO，∵∠APB＝60°，∴∠APO＝∠BPO＝30°，∵△POQ是等边三角形，∴∠OPQ＝60°，PO＝PQ，∴∠APQ＝∠APO＝30°，且PO＝PQ，∴PA垂直平分OQ，∴AO＝AQ；（3）如图3，连接OB，∵PB是⊙O是切线，∴PB⊥OB，且点M是OP的中点，∴BM＝PO，∵△OPQ是等腰直角三角形，且点M是OP的中点，∴QM＝OP，∴QM＝BM，∴∠MQB＝∠MBQ；拓展延伸】AO+AQ＝AP，理由如下：过点Q作QH⊥AQ交AP于点H，∴∠AQH＝∠PQO＝90°，∴∠AQO＝∠PQH，∵∠QPO+∠QOP＝90°，∠AOP+∠APO＝90°，∴∠APQ+∠APO＝∠APO+∠AOQ，∴∠APQ＝∠AOQ，且∠AQO＝∠PQH，QP＝OQ，∴△AOQ≌△HPQ（ASA）∴QH＝AQ，AO＝PH，∴AH＝AQ，∵AP＝PH+AH，∴AO+AQ＝AP．9．证明：（1）∵PC是圆的切线，AD⊥PD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∵AO＝CO，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO，∴AC是∠DAP的平分线；（2）如右图，连接BC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AB为