导数的隐零点问题必刷100题(解析版)-2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)

专题38导数的隐零点问题必刷100题

1.已知函数/(x)=axe，-(x+l)2(其中。eR,e为自然对数的底数).

(1)讨论函数/(X)的单调性；

(2)当x>0时，f(x)>\nx-x2-x-3,求。的取值范围.

【答案】

(1)答案见解析；

⑵(K)

【分析】

(1)计算/'(x)=(x+l)(ae'-2),分别讨论a4O、0<a<2e、"=2e、a>2e时，解不等式/'(x)>0和

/'(x)<0可得单调增区间和单调减区间即可求解；

(2)已知不等式可转化为axe*-lnx-x+2>0对x>0恒成立，分离。可得曲把子，令

.re

8)=\nx+x-2(x>0),利用导数求且卜)的最大值即可求解.

XQ

(1)

由/⑴=axe：(x+1)?可得

//(x)=a(x+l)er-2(x+l)=(x+l)(aer-2),

当a«0时，ae，-2<0，当时，/'(x)>0;当x>—1时，/'(x)<0,

此时/(X)的单调递增区间为(一%-1),单调递减区间为(-1,+8)

当a>0时，由/'(x)=O得，x=-1,x=In—,

}2a

2

①若=即a=2e时，/'(力之。恒成立，故/(冷在R上单调递增；

a

2

②若In—<-1,即a>2e时,

a

22

由r(x)>0可得：x<ln±或X>-1；令/'(x)<0可得：ln-<^<-l

aa

此时/(x)的单调递增区间为和(-1,+8),单调递减区间为

2

③若In—>—1,即0<a<2e时，

22

由/'(x)>0可得：x<-lhEx>ln-；由，(力<0可得：

aa

此时/(x)的单调递增区间为(-8,-1)和„+oo),单调递减区间为1-1,In：

综上所述:

当心0时，/(x)的单调递增区间为%-1),单调递减区间为(-1,+8);

当《=2e时，/(力在R上单调递增；

当a>2e时，/⑴的单调递增区间为(f,ln目和(-1,+8),

单调递减区间为

当。<a<2e时，“X)的单调递增区间为(-co,-1)和卜彳,+oo

单调递减区间为卜

(2)

由/(工)>lnx-x2_x_3可得axeX-lnx-x+2>0对x>0恒成立,

lnx+x-2

即对任意的x>0恒成立,

xe'

\nx+x-2八\

令g(x)=—73—i(#>°)

则式/河…；)"+'a,

令A(x)=37nx-x,则力'(工)=一：一1<0,则。(力在(0,+。)上单调递减,

又〃(1)=2>0,A(e)=2-e<0,故刈力=0在(0,+功上有唯一的实根,

不妨设该实根为为,

故当xw(O,Xo)时，〃(x)>0,gf(x)>o,g(x)单调递增;

当X€(Xo，+oo)时,A(x)<0,g<x)<0,g(x)单调递减,

故8(1)皿=g(%)J/[:「2

x3

又因为=0,所以111.%+工0=3,=^,xoe°=e,

所以g(x。)二丝产

故a的取值范围为+oo

2.已知函数〃》)=；加一］nx,(awZ).

(1)当。=1时，求/(X)的极值；

(2)若不等式/(X)之(1-。)'+1恒成立，求整数。的最小值.

【答案】(1)/。)极小值=p无极大值；［2)2.

【分析】

(1)将。=1代入，求出导函数/'(X),利用导数与函数单调性之间的关系判断函数的单调性，进而求出极值.

(2)不等式等价于。220n：=：十0在(0,y)上恒成立,设或制=2(〃：+：+1)/€(0,+00),利用导数求出

x+2xx2+2x

g(x)的最大值即可求解.

【详解】

解：(1)当。=1时，/”)=(-I)&〉。),

X

令ra)=o得％=1(或1=一1舍去)，

•・,当xe(0,l)时，f(x)<0,/(X)单调递减，

当xe(l,+8)时，/V)>0,/(x)单调递增，

，/(外极小值二/⑴二：，无极大值・

(2)f(x)>{\-a)x+\,即:or?-lnxN(l-a)x+l,

即+2x)221nx+2x+2,

x>0»BPx2+2x>0»

・•・原问题等价于a>2(叱丁)在(0,+网上恒成立，

x~+2x

设g(x)=2叫+：+1)/£(0产)，则只需〃之g(x)mBX.

x+2x

“、2(x+l)(x+2Inx)

由g(%)=一一(>+2x)2，令4(x)=x+21nx,

2

V〃'(K)=1+£>0,・・・h(x)在(0,+00)上单调递增,

x

•：A(l)=1>0,A1+21ni-=^-21n2=InJn4<0,

J存在唯一的％使得力(％)=%+2111%=0,

,当xe(O,x0)时，〃(x)<0,则g'a)〉O,g(x)单调递增，

当x«Xo，+oo)时，则g'(x)<O,g(x)单调递减，

・・g()a-gl。广需+2仆-x*2x。一一£+2/三’

—即可.

X。

・・・x°€(g[}・・・2w(L2),故整数〃的最小值为2

3.已知函数/(x)=lnx-ajg(x)=〃卜+：-1)+1.

(1)当。=1时，求过点(0,0)且与曲线y=/(x)相切的直线方程；

(2)当acN时，不等式/(x)+g(、)>0在(L田)上恒成立，求〃的最大值.

【答案】⑴y=g-l卜；(2)3

【分析】

(1)求出函数的导函数，设切点坐标为(叫ln〃L〃z),利用导数的几何意义得到切线方程，再根据切线过点

(0,0),求出参数机，再代入计算可得；

(2)依题意参变分离可得〃〈业巴在(1,+8)恒成立，令〃(x)/0nx+l),则。XW(LE)，

x-\x-i

利用导数研究函数的单调性与最小值，即可求出参数。的取值范围，从而求出。的最大值.

【详解】

解：(1)当。=1时，/(x)=lnx-x,定义域为(0,+8),=设切点坐标为(见lnm-机)，则切线

的斜率2=,—1,故切线方程为y-(ln〃L〃?)=j'-l](x-m),因为切线过点(0,0),所以

0-(In〃L/n)=('-，即加一一1,所以m=e,故切线方程为歹

(2)当x>l时f(x)+g(x)>0恒成立，即lnx+a(g-l)+l>0在时恒成立，因为x>l,所以：一1<0,

所以”现史W在(],”)恒成立，令〃3=曲巴1,xe(l,+8),即a<A(x)x«l,+8),

x-1x-\

(x-l)(lnx+2)-x(lnx+l)_-lnx+x-2

所以

W(x)=g)2n(if,令g(x)=-lnx+x-2,xe(l,+oo),则g[x)=l-->0,

所以g(x)在(L+00)上单调递增，由g⑶=l-ln3<0,g(4)=2-ln4>0,所以存在与e(3,4),使得g(/)=0,

所以当时〃(x)<0,当X>Xo时〃'(x)>0,所以函数力(力在(l,x0)上单调递减，在(/,+<»)上单调递

增，所以力(x)min=〃(小)，又g(%)=0,即-lnXo+/-2=0,即所以

"(x)min=〃(％)=x°0n"*+D=：+)=%,所以。</，因为awN*,/w(3,4),所以°«3,所以。的

%-1x0-l

最大值为3；

4.已知函数/(力=/—-・

(1)求/(x)的单调区间和极值；

(2)若存在实数X,使得/(力4/+2》-3+2〃，成立，求整数)的最小值.

【答案】⑴/(%)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，当％=0时，/(X)有极小值/(0)=1,无

极大值.(2)1

【分析】

⑴求出/'(x)=e、+4x-l,得到/〃(切=产+4>0,从而可得/'(同在我上单调递增,且/'(0)=0,得出函

数的单的区间和极值.

(2)由题意即存在实数X,使得，+工2一3%+3«2"成立，i^g(x)=ex+x2-3x-3,即白⑺疝小川，求出函

数g(i)的导数，得出其单调区间，结合隐零点的代换，可得答案.

【详解】

(1)由/(x)=e*r+2x2,可得/'(x)=F+4x-l

又/"(》)=，+4>0恒成立，则广⑺在R上单调递增，且/'(0)=0

所以当x<0时，Z(x)<0,当x>0时，f(x)>Q

所以/(》)在(-8,0)上单调递减，在(0，+8)上单调递增.

所以当x=0时，/(x)有极小值/(。)=1-0+0=1,无极大值.

⑵存在实数X,使得/(力4/+2>3+2小成立

即存在实数X,使得产一工+2/«/+2%一3+2加，即e'+x2—3x+3«2/n成立

设g。)=，+/-3x+3,即gg(x)mjn<w

g[x)=e，+2x-3,g〃(x)=，+2>0

所以g'(x)=e、2x-3在R上单调递增.g[l)=e-l>0,g'[£]=G2<0

所以存在x°H，使得g'(M)=O,即泊+2%-3=0,也即e"=3-2x。

所以当X£(-oo,Xo)时，g'(Xo)<0,g(x)单调递减.

当方«%+8)时,g’(xo)>0,g(x)单调递增.

所以g(x)Ng(Xo)=c"+Xo2-3xo+3=3—2xo+x；—3xo+3

=XQ-5x0+6

当“。*时，2<x°2一5x0+6<?

所以;g(xo)e°,£),由题意

所以整数机的最小值为1.

5.已知函数/(x)=lnx+xsinx

(1)证明：/(X)在区间(、，上存在唯一的零点

(2)证明：对任意K€(0,+oo),都有/(x)<2xlnx+x(l+sinx)

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】

(1)求出导函数/'(X),令g(x)=/'(x),再求g'(x),确定g(“)的单调性后结合零点存在定理可证；

(2)题设不等式化为(2x—l)lnx+x>0,令〃(x)=(2x—l)lnx+x,求导函数A'(x),令m(x)=/(x),再求导

得M'(X),利用加(%)确定加(x)的单调性结合零点存在定理确定制x)在唯一零点与，也是人劝的最小值值点,

说明这个最小值大于0,即证结论成立.

【详解】

证明：设g(x)=/'(x)/i」/'(x)=g(x)=，+sinx+xcosx,g'(x)=--y+2cosx-xsinx

XX

,/xeI—,冗),一一y<0,2cosx<0,xsinx>0,即g'(x)=--y+2cosx-xsinx<0

2xx~

故g(x)在区间(三,外上单调递减

又「g(£)=2+i>0,g(万)=，一笈<°

2n冗

所以g(x)在区间住,乃)上存在唯一零点X三(0,+8)f(x)<2xlnx+x(l+sinx)

(2)要证/(x)<2xlnx+x(l+sinx),

即证(2x_l)lnx+x>0,令人(x)=(2x-l)lnA+X,贝=21nx_，+3

x

令风力=/(X),所以Mx)在(。,+00)单调递增

vw(l)=2>0,w(—)=1-2In2<0,所以存在唯一的所€(；,1),使得/〃(-％)=2111工0--+3=0

22%

当0<x</时〃'(x)<0,〃(%)在(0,%)上单调递减，当x>/时力'(X)>0,〃(x)在(与,+00)上单调递增

故〃(x)丽=以毛)=(2/-1)1。%+%=:一(2%。-；

22x0

因为％£(：」)，所以2/+£(2,1)所以/(xj>既眩23-1)山工+》>罐成立，综上所述对任意xe(0,+<»),

都有都x)<2xInx+x(l+sinx).

6.已知函数/(x)=/,g(x)=；/一—“e为自然对数的底数).

(1)iSF(x)=lnx+g(x),求函数尸⑺在区间［1,3］上的最大值与最小值;

(2)若keZ,且/(x)+g(x)-%NO对任意xwR恒成立，求人的最大值.

【答案】(l)Q(xL=T+ln2,F(x)_=-4+ln3；(2)-1.

【分析】

(1)对函数&x)求导，根据导数的方法研究其在［1,3］上的单调性，进而可得出最值；

(2)先将不等式恒成立转化为AKe'+IW-2x-l对任意xeR恒成立，令人(力=/+:/一三》一］,根据导

22722

数的方法求出最值，即可得出结果.

【详解】

(1)VF(x)=lnx+g(x)=la¥4-^x2-1^x-l,・••尸?('2),

令广(x)=0,则凡=；,马=2,

当xe(l,2)时，/")=色二蛇二&<0,则函数尸(力在区间(1,2)上单调递减；

当x«2,3)时，尸(x)=(2xT)("-2)>o则函数尸(4)在区间(2,3)上单调递增；

・"(4n=F(2)=T+ln2,

又尸⑴=一3</(3)=-4+卜3,所以尸(x)2=—4+ln3；

(2)♦・・/(x)+g(x)-〃>0对任意xwR恒成立，

*.ex-x1――x—\—kN0对任意xeR恒成立.，

22

:.k<ex4—x2—x—1对任意xGR恒成立.

22

令〃(x)=e、+；/一|,工一1,则/(x)=e、+x-

由于〃(x)=e，+l>0,所以力'(X)在R上单调递增.

又“(0)=_T〈0，//(I)=e-1>0,/(g)=/-2<0,/(1)=>_:=(),

所以存在唯一的使得“伍)=0,

且当xe(-8,Xo)时，*(力<0,xw(xo，+oo)时，//'(x)>0.

即在(F/o)单调递减，在(x0,+oo)上单调递增.

工M")min=hM=*+%；一在一1.

又〃'("o)=O，即=0,・\e"=Q—X。.

:、hM=2~xo+^xo_/一］=5(/2_7*o+3).

x2

又,：k£e+—x-gx-1对任意xwR十亘成立，.,•左<A(x0),

又ksZ,：・kz=T.

7.已知函数/(x)=2F-(x-a)2+3,oeR.

(I)若函数P=/(x)的图象在x=0处的切线与x轴平行，求。的值；

(II)若.CO时，/W>0,求〃的取值范围.

【答案】(I)a=-1;(II)\n3-3<a<\/5-

【分析】

(I)根据导数的几何意义，曲线y=/(二)在X=O处的切线方程的斜率就是/''(0)=0,写出方程即可求得

(II)/*(x)=2(ex-x+<7),令g(x)=2(e*-x+a)因为g<x)=2(e*-1)之0,所以g(x)=2(e*-x+4)在［0,内)

内单调递增，g(0)=2(l+«),根据2伍+1)20与25+1)<0分类讨论，当2(a+l)20时，只需/(0)=5-g匕0

即可，解得-iKaK百；当2(。+1)<0时，存在唯一所使得g(Xo)=2(e"-/一。)=0,有e"=x0-。，分析函

数在零点两侧的单调性知/(x)mm=/(/)=-(。"+1)(1-3),要/5端20,只需e"W3,解得0<%Kln3,

x

Xa=x0-e°,Wln3-3<a<-l.

【详解】

(I)f,(x)=2(ex-x+a)

•:，=f(x)的图象在x=0处的切线与X轴平行，

.J")=2(a+l尸0,解得白=_1.

(II)fr(x)=2(ex-x+a),令g(x)=2(--x+a),

则g<x)=2(e*-l)N0,

所以g(x)=2(e，-x+a)在［0,+<»)内单调递增，g(0)=2(l+a)，

(i)当2(a+l)N0时，即广(x)=2(e、—x+a)N/(0)N0,

/(x)在［0,+oo)内单调的增，要使〃x)N0,

只需要/(0)=5-a~N0,解得—K4K,

从而石

(ii)当2伍+1)<0时，即"T时，

由g(x)=2(/-x+a)仕［0,+8)内单调递增知，

r

存在唯一为使得g(x0)=2(e"-xo+a)=Of

有*=/一。，.“©［。，/'/0"。，/(幻单调递减，

Axe［x0,+oo)，r«>0,/(x)单调递增，

/(X)mn=/(X。)=2d-(/一4+3=2优。-(蜡)2+3=-仁+1)(^-3)

只需/(x)Ein20，即eJ3,解得0<"ln3

又a=Xo-淖，得ln3-3<av-l,

综上，ln3-3^a^V5.

8.已知函数/(x)=x-lnx+亍

(I)求函数/(x)的极值；

(II)若/(小«>"+云+1恒成立，求实数力的取值范围.

【答案】(I)/(4)取得极小值1+L无极大值；(II)b^2.

e

【分析】

(1)求得/'(力，利用导数分析函数单调性，即可求得函数极值；

(II)根据不等式恒成立，分离参数，构造函数g(力=x7nx+"7,利用导数研究g(x)的单调性，以

X

及最值，即可求得参数范围.

【详解】

(I)因为/(x)=x-lnx+卞，

所以函数〃力的定义域为(0,+8),/,(4=1」+工£=(1*’7)

xexxex

令。(x)=e*—x,故可得力'(x)=e*-l>0在(0,+<»)恒成立，

故。卜)在(0,+8)上单调递增，故力(工)>力(0)=1,故e、T>0.

所以当xe(0,l)时，r(x)<0,当xe。,”)时,广(力>0,

所以/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

所以当x=l时，“X)取得极小值/(l)=l+L无极大值.

C

(II)/(x)Nx(5-e')+bx+l恒成立等价于x-lnx+xe*—加一1NO恒成立.

因为x>0,所以人工匚色土土芷二1.

x

人/、x-lnx+x^，/、x2ex+Inx

令gQ)=--------------则migl(x)=­/—.

令人(人)=*2,+Mx,则+2x)+，>0,

所以A(x)在(0,+8)上单调递增，

又A(l)=e>0,}=

所以工wg，l)使得A(Xo)=O,即片e琳+lnx0=0.

所以当xw(O,x())时，g'(x)<0,当x«Xc，*°)时，g'(x)>0.

所以g(x)在(0，%)上单调递减，在(小,用)上单调递增，

所以g(£L=江屿产二•

xo

由-Inx。=0可得/e"=_yN=ln」-ex°,

X。%

而丁=、/在(0,+a)上单调递增，所以兀=1n-!-,即

X。X。

所以g(x『"n%+W…。+1=2,

X。工0

所以b«2.

x

9.函数p(x)=lnx+x-4,q(x)=axe(awR).

(I)若"=e,设/(X)=P(X)-9(K),试证明/(x)存在唯一零点/e(0」)，并求八幻的最大值；

e

(II)若关于X的不等式|p(x)|>4(x)的解集中有且只有两个整数，求实数。的取值范围.

【答案】(1)见解析(2)苧?"。〈与£

3/2e~

【分析】

(1)先求函数导数，得函数单调递减，则零点至多一个：再根据零点存在定理说明至少一个零点，两者结

合得结论，最后根据函数单调性求最值；

(2)先变量分离得「<孙:一支再利用导数研究函数万(力=则詈1单词性，结合图像可得有且只有

两个整数的条件，即为实数〃的取值范围.

【详解】

(I)证明：由题知/(x)=lnr+x-4—oxe",

于是+l—e(x+l)e'=(x+)(二)

令〃(x)=l-exe",则〃'(x)=-e(x+l)e*<0(x>0),

，〃(x)在(0,+s)上单调递减.

又〃(0)=1>0,心)=1一/<0,

所以存在与€(0+｝使得〃(%)=0,

综上/'(%)存在唯一零点X。efo/1

当xw(O,x0),w(x)>0,于是/'(x)>0,/(力在(O.o)单调递增;

当X£(Xo，+00),M(X)<0,于是/'(X)<O,/(%)在(%,”)单调递减.

故/(工)a=/(%)=双+%-4—用洲,

又〃(%)=1一%0%=0,ex=,x()=ln—=-l-lnx,

0e"气0

故/Oax=叫+(T-岫)-4-3-=-6.

"o

nx

(II)|p(x)|>^(x),|lnx+x-4|>axex=a<1十:——

令人3=向］：一4,则“(%)=(x+l)(lnx+x-5)

令pG)=lnx+x-5,则p(x)在(0,+«?)上单调递增.

又/⑶=ln3-2<0,^?(4)=ln4-l>0,

工存在“(3,4),使得/)=0.

・••当xe(O/),研x)<0,即l(x)<0,*(x)在(0」)单调递减；

当#«£,+<»),e(x)>0,即〃(x)>0,〃(%)在(f,+oo)单调递增.

VA(l)=-1<0,A(2)=-!^<0,〃(3)=用>0,

且当。>3时,A(x)>0,

又叫邛⑵号叫3)=券，网4)卜普

故要使不等式式|p(x)|>q(x)解集中有且只有两个整数，

。的取值范围应为：4

10.已知函数/(%)=2加工+(上+3卜(左€尺)，g(x)=x2e3v-l.

(1)若函数/(力在x=2处取得极值，求实数才的值;

(2)若/(x)-g(x)<0对任意的xw(0,«o)成立，求实数A的取值范围.

【答案】(1)k=-4；(2)(-¥,0).

【分析】

(1)由/'(2)=1+〃+3=0即得上=-4,验证知，攵=-4符合题设，即得解：

/一、f由用,x2e3x-3x-2Inx-1八,人,/、Ye”_3x-21nx-l_卜山

(2)由题得-----------------(zx>0),令人(幻=-----------------，求出

XX

力(X)mn=Mx0)=至上四二型&二1，再分析得到〃(可)=0,即得实数”的取值范围.

X。

【详解】

解：⑴因为/(x)=2/〃x+(4+3)x,

2

所以/(x)=—+%+3

x

又因为函数/(X)在X=2处取得极值，

所以八2)=1+%+3=0,

解得％=-4.

验证知，％=-4符合题设，

故无=-4.

(2)据题意得2/内+(左+3)x</e3x_](x>0),

匚匚I、1，x~c^x—3x—2Inx—1.c、

所以丘<-----------------(x>0)

X

人,，、x2e3x-3x-2\nx-\制〃、?(l+3x)e3v+21nx-l

令〃。)=-----------------，则〃a)=q-----J---------.

XX1

令m(x)=x2(i+3x)e"+20x-l,则m(x)在区间(0,+co)上单调递增，

且当x->0时,m(x)->-oo,/w(l)=4e3-l(4e3-l>0),

所以存在/w(O,l),使得用(%)=0,

所以当xw(O,%o)时，A'(x)<0,当xw(Xc，+<»)时，/i,(x)>0,

即函数"(x)在区间(0,%)上单调递减，在区间伍,+oo)上单调递增,

3

所以当xe(O,他0时，h(x)min=A(x0)=^-^o-2bixo-l

因为m(与)=XQ(1+3/)e*+2lnxQ-1=0,

1-2Inx

所以¥/与(i

1+3%

令4=1,得2/nx0+3x0=0.

又当2及为+3%=0时，1言

1I

所以=1=],2lnx0=-3x0,

1+JX0

所以力(x0)=片点"-3%-21nx0T=l-3xc+3x0-l=。

%x0

所以A<0,即所求实数左的取值范围是（-8,0）.

11.已知函数/（外=小叱，meRfx>\.

X

（1）讨论/（x）的单调区间；

⑵若〃I,丘”，且唳<小）恒成立,求k的最大值.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）6

【分析】

（1）求导，通过讨论用的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）利用参数分离法，将问题转化为A<a["4+lnx）,x>[,令秋x）=a+l）（4+m-）,利用导数求可力

XX

的最小值，从而确定k的最大值即可.

【详解】

m+\nx1-zn-Inx

>1)，得/(x)

（1）由/（x）=-P-x>1,

当1-加工0时，即mN/时，l-〃LlnxW0在[1,+8）上恒成立,

所以/（力的单调递减区间是（I,+8）,无单调递增区间；

当1一用>0时，即m<1时，由;（外>0,得X£（l,ei）,

由尸(x)<0,得x«e5,y),

所以/(')的单调递减区间是卜,m，+8),单调递增区间是

综上，当7MN/时，/(x)的单调递减区间是(1,«0),无单调递增区间；

当机<1时，/(X)的单调递减区间是(C—+8),单调递增区间是

(2)f(x)=4+m+,,x>l,

X

,kr,、出，(x+1)(4+Inx)

rh--</«,得上——-------

x+\X

人M\(x+l)(4+lnx)

令h(x)=-------------------,x>\,

x

、x-3-Inx,

则/?(其)=----；----,x>\,

X

令*(x)=x-3-Inx,x>l,WO(p(x)=\-->O(x>1),

x

所以，风x)在(1,400)递增,^(4)=l-ln4<0,^(5)=2-ln5>0,

「•存在为£(4,5),使*(/)=0,

且“€(1,%)，(p{x)<0,h\x)<0,/?(4)单调递减，

xe(x»+8),(p(x)>0,h\x)>0,A(x)单调递增,

…〃(%)=鱼辿2，

X。

^(x0)=x0-3-lnx0=0,所以Xo+l=4+lnxo,

2

口-2〃\(x0+l)1r，2536)

%与k45；

,_.s+VzTz、V2T-1.5+711、八

令x+-+29—7,..=x=----------,)=------------In---------->0»

xx02v722

(,5+历］u、J-(25"

・••/£4---,A(x0)=x0+—+2e—,7,

I2Jx0\4)

又keZ,k<6,

综上，女的最大值为6.

12.设函数/(*)="一2-Inx(OGR).

(1)求/(x)的单调区间；

(2)当口=1时，若对Dxw(l,+oo),都有(软—l—lnx)x+/(x)—l<0(CwZ)成立,求2的最大值.

【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)0

【分析】

（I）/V）=（x>0）.对。分类讨论，可得其单调区间.

X

（2）当。=1时，对V-）,都有（4"1-同）x+/（x）-l<0（比wZ）恒成立,

<=>（4/:-l-lav）x+x-2-lnx-l<0<=>k<31nx+入—J,令厂（x）=lnx+3+啊（

>1)»只需

左<；F（x）min/eZ）,利用导数研究其单调性即可得出.

【详解】

解：⑴••,/（x）=t7x-2-lnx（x>0）,.•.尸（x）=a一!=竺匚.

当心。时，尸（x）<0在（0,+e）恒成立，，/0）在（0,+e）是单减函数.

当心0时，令尸（力=0,解之得x=L

从而，当》变化时，/'（X）,/（》）随x的变化情况如下表:

1

X

-0+

/3单调递减单调递增

由上表中可知，/（X）在是单减函数，在+:|是单增函数.

综上,当a«o时，/（X）的单减区间为（0,物）;

当〃>0时・，/（X）的单减区间为（0,£），单增区间为（5,+8）

（2）当”1,七为整数，且当x>l时，（4女一1-位”+/（力-1<0恒成立

o（4A-l-lar）x+x-2-lnx-l<0<=>k<4nx+也）.

令户3=欣+：+?只需4〈（尸（x）min（*€Z）;

又尸(力4_三+/=口!E=

XXXXX

由(1)得/(X)在(1,内)单调递增，且/(3)=1—ln3<0,/(4)=2—ln4=2(l—ln2)>0,

所以存在唯一一的x°w(3,4),使得〃/)=0,

当xW(l,Xo)J(x)<0,即k(x)<0,F(x)单调递减,

当X€(X°,+8)J(x)>0,即尸(X)<0,尸(X)单调递增,

所以*=所时，产(x)取得极小值，也是最小值，当Xo-2-lnXo=O时，F(x)mjr=F(x0)=lnr0+—+

XQ

=x0-2+—+xQ+—l,x0e0,4)

%X。%

而7=%+:-1在(3,4)为增函数，7B

即刎必w■而修制31)，

・•・^F(x)m.n(0,1卜.・％eZ,•.左40,即所求々的最大值为0.

13.己知函数/(工)=依2，-5-1.

(1)若/(x)是单调递增函数，求实数。的取值范围；

(2)若/(x"lnx恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)^<-4：(2)(-oo,2]

【分析】

(1)求出函数的导数，问题转化为根据函数的单调性求出。的范围即可;

(2)令Mx)=/(x)-lnx(x>0),问题等价于〃(丫%/。.求导数，判断力(工)的单调性，求最值即可.

【详解】

2x

(1)定义域xeR,f(x)=(2x+\)Q-af

因为/(》)是单调递增函数，故/'(x)20对xeR恒成立,

即aK(2x+l)e2*对xwR恒成立.

iSg(j)=(2x+l)e2\则。"⑺…

由g'(x)=4(x+l)e2x,令g'(x)=O得x=-l,

当xc(-o),—1)时，gr(x)<0,当xw(T,+«)时，gr(x)>0,

故g(l)在(-8，-1)单调递减，在(T+8)单调递增，

所以g(x)min=g(T)=—*，

从而a<--v.

e-

(2)令〃(x)=/(x)-lnx=xe2'-lnx-ax-l(x>0),问题等价于力(“心之

由〃'(x)=(2x+l)e2x-，-a,//*(x)=(4x+4)e2x4--^->0,

:.函数〃(力在(0,+8)上是增函数，

容易证明x>0时，2x+l>1,e2*>l,

则/(x)=(2x+l)e2x_‘_Q>(2x+l)_」_Q,

由(2彳+1)-工-〃=0得，,L"]+J(”1)一+8(舍负)

x4

从而取b＞竺!拉亘El，〃3）＞0：

4

1c

—+a>2

另外，容易证明（2x+l）e2x〈e2'.e2',取正数工满足，x

(2x+l)e2x<e2x-e2x<2

1.

->2-a

C-I-+J<2-2=0.

从而取c满足，m2'有力'(c)=(2c+l)e2,

0<c<——

4

(注：这里也可以这样处理：当xfO时，(2%+1卜2，-1,-^+00,

X

故/(力=(2]+*」_“->-00；

当XT+OO时，(2x+l)e2xt+8,-0,//*(x)=(2x+l)e2x---«^+oo)

.IX

所以存在唯一的%>o,使得l(%)=0,当xe(o,/)时，//(x)<o；

当x«X0,+oo)时，h,(x)>0；

从而a(x)在区间(0,%)上递减，在(x0,+oo)上递增，

2

MJn=M%)=xoex0-\nx0-axQ-\t

2

由力'(拓)=0,得：(2x0+l)ex0--■-。=0,

*0

A2

：.ax0=(2^+x0)ex0-l,

XQ2XXQ2X

:./?(A0)=-lnx0-2C0>0,即Inx0+2C0<0.

2

设8(％)=In/+2xJex0,则夕(.％)为增函数,

伊⑴=2e*>0,“(；)=1^■―In4<0,贝!j。(工0)有唯一"零点，设为

则e(E)=lnf+2/e”=0,M-ln/=2r2e2,»即:1日=2得'，

令〃(x)=xe，，则〃(x)单调递增，且〃(Z)=〃(ln：),

贝iJ2/=ln1,BPe2/=i,

tt

Vfl=(2x0+l)e\--在(0月为增函数，

X。

则当a=f时,a有最大值,叫=(2+1)/—=(大+1)；_；=2,

Aa<2,即a的取值范围是(f,2].

14.已知函数/(x)=41nx+g,其中。工0,g(x)=(x-2)ex-x--.

xx

(1)求/a)的单调区间；

(2)设当。=1时，若对任意工e(OJ,不等式/(x)+g(x)<机恒成立，求整数用的最小值.

【答案】(1)答案见解析；(2)-3.

【分析】

(1)首先求函数的导数，分。>0和。<0两种情况讨论函数的单调性；(2)不等式转化为机>lnx-x+(x-2)e，,

设函数人(x)=(x-2)e'+lnx-x,xe(0.1],利用导数求函数”x)的最大值，即可求得机的取值范围.

【详解】

(1)由题意，可得/'。)=巴一二=坐3(%>0).

xx~X

因为。工0,所以当。>0时，

当46(1,+8)时，f\x)>0,函数/(X)在(1,+8)上为单调递增函数；

当xw(0,1)时，f\x)<0.函数/(X)在(0,1)上为单调递减函数.

当”0时，

当XW(l,+8)时，r(X)<0,函数“X)在(1,+8)上为单调递喊函数；

当X€(O,1)时，/'(x)>0.函数/(力在(0/)上为单调递增函数.

(2)由题意可得m>lnx-x+(x-2)eX,

设h(x)=(x-2)e*+Inx-x,xw(0.1].则〃(x)=(x-l)(e*-g),

当0<xMl时，x-1^0.

设〃(x)=e，-L,则〃'3=/+4>0,所以«r)在(0,1)上单调递增.

xx2

XMQ1=VC-2<0,zz(l)=e-l>0

所以&使得〃(马)=0.即e*=J,In/=f.

当工<0,无)时，u(x)<0,h'(x)>0；

当xw(xo，l)时〃(x)>0,h^x)<0.

所以函数力(x)在(0,/)上单调递增，住(和1)上单调递减,

1(22|

所以的)max=〃(%)=(/-2)俨+111%-仆=(/-2)----2/=1----+2x0,

X。\-y0)

因为函数y=i-1£+2xoj在

上单调递增，所以〃(%)e(-4,-3).

因为用〉林X)对任意的X€(OJ垣成立，且机eZ.

所以用的最小值是-3.

15.已知函数/(x)=(x-2)2+〃lnx,其中。为常数.

(1)若曲线y=/(x)在工=1处的切线在)’轴上的截距为2,求〃值;

(2)若J")存在极大值点小，求。的取值范围，并比较/(.%)与天的大小.

【答案】(1)。=1；(2)。的取值范围是(0,2),f(x.)>xQ.

【分析】

(1)求导得/(x),求解出/'⑴和/⑴，根据导数的几何意义写出切线方程，再利用切线在V轴上的截距

为2,得a=1；

(2)求导，设g(x)=2/-4x+a=2(x-l>+a-2(x>0),由题意可判断得/是函数g(x)在区间(0,1)内的一

个变号零点，列不等式组求解。的取值范围，表示出以刈，设函数田x)=21nx+2_i(o<x<i),求导判断

x°x

单调性，从而得"上>1,即可判断得了(x°)>/.

X。

【详解】

解：(1)/Xx)=2x-4+-(x>0),所以/。)=。一2.

x

又/(1)=1，所以切线方程为y_l=(〃_2)(x_l),^y=(a-2)x+3-a.

由已知，3-4=2,解得a=l.

(2)f(x)=2x~~4x+a(x>0)，设函数g(x)=2x2-4x+a=2(x-l)2+a-2(x>0),

x

所以函数g(x)的减区间为(0,1),增区间为(L”)，

因为马是极大值点，所以在与的左右两侧，/(X)的值先正后负，

即g(x)的值也是先正后负，故x°e(0,l),所以％是函数g(x)在区间(0』)内的一个变号零点.

卜(0)="0

^[gm=a-2<0-

解得0<a<2,故所求。的取值范围是(0,2).

因为X)是/(x)的极大值点，所以g(x0)=o,于是。=2%(270),其中0〈Xo<l.

所以空1二①二)+0=(。'-+2(2-x0)lnx0=(2-x0)(21nx0+—1V

X

X。Xox0x0V0J

设函数Mx)=21nx+2_1(O<%<1),则俏x)=2_/=2(x1)<0

XXXX

所以A(x)在区间(0,1)内单调递减，故h(x)>A(l)=l(0<x<l).

又所以力(当)>1,且于是2^=(270)力(与)>1,

xo

故/(%)>与.

16.已知函数/*)=/,g(x)=x，直线”。(。>。)分别与函数y=/(x),y=g(x)的图象交于A,B两点,

。为坐标原点.

(1)求|力切长度的最小值；

(2)求最大整数左，使得AYa•丽对。6(0，内)恒成立.

【答案】(1)1;(2)-1.

【分析】

(1)利用函数把48的长度表示出来，借助函数导数求得最小值.

(2)把向量点积转化为函数问题，借助导数解决隐零点问题，求得最小值的函数表达式，再求得最小值函

数的最小值即可.

【详解】

直线>=。(。>0)分别与函数y=/(x),y=g(x)交于A,B两点,

则力(lnq,a),B(a,