北师大版高中数学选修2-3备课及课时练习（附解析）

北师大版高中数学选修2-3备课及课时练习（附解析）

第一章计数原理

§1分类加法计数原理和分步乘法计数原理

——教学建议——

1.本节内容在高考中主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的简单应用，并与实际

生活相联系，以选择、填空题的形式出现.

2.本节重点是理解两个计数原理，难点是在处理具体问题时如何分清是“分类”还是“分步”,

以及如何确定“分类”或“分步”的具体标准.

3.运用分类计数原理时，要恰当选择标准;运用分步计数原理时，要确定好次序,并且每一步都

是独立、互不干扰的,还要注意元素是否可以重复选取.

一备选习题一

1.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D中选择，其

他四个号码可以从0~9这十个数字中选择（数字可以重复），某车主第一个号码（从左到右）只想在

数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有

（）

A.180种B.360种C.720种D.960种

解析:由于数字可以重复，故该车主的车牌号码共有A9AVA%A*A：=960种可选情况.

答案:D

2.形如34021这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻

的数字大，则由0,123,4,5组成的无重复数字的五位数是“波浪数”的所有可能情况有（）

A.66种B.69种C.61种D.71种

解析:由题意得波浪数有5类,分别为十位、千位上为5,4;5,3;5,2;4,3;4,2;所有情况总数为

A1（A1+CM专）+A专禺A5+A专+禺禺+4-C鸡+A犯丛刍+A弓+\=71.故选D.

答案:D

课后作业

/.一个三层书架，分别放置语文书12本,数学书14本,英语书11本,从中任取一本，则不同的取

法共有（）

A.37种B.1848种C.3种D.6种

答案:A

2.已知集合4={4力9,刈,8=*‘/},则从集合4到集合B的映射个数为（）

A.4x3x2B.4x3C.34D.43

解析:因为集合A中的每一个元素都要找到集合B中的一个元素作为自己的像，且只有当集合

A中的每一个元素都在B中找到自己的像后,才能建立起从A到B的映射，因此，从A到B的映射

有3x3x3x3=34个.

3.从集合｛1,2,3,…,11｝中任选两个元素作为椭圆方程5+3=1中的相和〃，则能组成落在矩形

区域8=｛（x,y）||x|<ll且|y|<9｝内的椭圆个数为（）

A.43B.72

C.86D.90

解析:

加可以取的数字为1,2,3,...,10这10个数字.

n可以取的数字为1,2,3,...,8这8个数字.

由分步乘法计数原理，得所有方程的个数为M=10x8=80个，

其中圆的个数M=8个.

故适合题意的椭圆的个数为N=M-N2=80-8=72个.

答案:B

4.某种彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中

选3个连续的号，从11到20中选2个连续的号，从21至3（）中选1个号，从31至36中选1个号

组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花（）

A.3360元B.6720元

C.4320元D.8640元

解析:这种特殊要求的号共有8x9x10x6=4320注，因此至少需花4320x2=8640元.

答案:D

5.商店里有15种上衣,18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有种不同的选法;

要买上衣、裤子各一件，共有种不同的选法.

解析:买一件上衣或一条裤子应用分类加法计数原理，有15+18=33种；

买上衣、裤子各一件应用分步乘法计数原理，有15x18=270种.

答案：33270

6.如图，从A玲3fC,有种不同的走法;从AfC,有种不同的走法.

解析:A玲3玲C分两步：

第一步:A）民有2种走法；

第二步：81C,有2种走法.

所以A玲8fC共有2x2=4种走法.

AfC分两类：

第一类:A18fC共有4种走法；

第二类:A玲C(不经过8)有2种走法.

所以A玲C共有4+2=6种走法.

答案：46

7.从甲地到乙地，如果翻过一座山,上山有2条路,下山有3条路.如果不走山路,由山北绕道有2

条路,由山南绕道有3条路.

(D如果翻山而过，有多少种不同的走法？

(2)如果绕道而行，有多少种不同的走法？

(3)从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

解:(1)分两步：

第一步，选一条上山路有2种方法；

第二步，选一条下山路有3种方法.

所以翻山而过，有2x3=6种不同的走法.

(2)分两类：

第一类:由山北绕道，有2种走法；

第二类:由山南绕道，有3种走法.

所以绕道而行，有2+3=5种不同的走法.

(3)分两类：

第一类:翻山而过，有6种走法；

第二类:绕道而行，有5种走法.

所以从甲地到乙地共有6+5=11种不同的走法.

8.用红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都

不相同，则有多少种不同的涂色方法？

分析:设五个区域分别为A,B,C,Q£如图，则A区域有4种不同的涂色方法方区域有3种,C区

域有2种Q区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与。涂的颜色，如果8与。颜色相同有2种,

如果不相同,则只有1种.因此应先分类后分步.

解:当B与。同色时，有4x3x2x1x2=48种涂色方法.

当B与。不同色时，有4x3x2x1x1=24种涂色方法.

故共有48+24=72种不同的涂色方法.

§2排列

——教学建议——

1.排列在生产和生活中有着较为广泛的应用，也是高考的必考内容之一，重点考查学生的逻

辑思维能力，以选择、填空题的形式出现，并综合两个原理、组合成为能力型题目.

2.本节重点是排列的定义、排列数公式及其应用，难点是应用排列的定义、排列数公式解决

一些简单的实际问题.

3.排列数公式的推导可借助表格,直接列出所有排列是解决排列元素较少的问题的有效方

法.

一备选习题一

1甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的五天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一

天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）

A.20种B.30种C.40种D.60种

解析:若甲安排在周一，则乙、丙有A"中安排方法，若甲安排在周二，则乙、丙有A专种安排方法,

若甲安排在周三,则乙、丙有A,种安排方法，因此共有A：+A专+A,=12+6+2=20种安排方法.

答案:A

2四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱所代表的化工产品放在

同一仓库是危险的,没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编

号为①②③④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）

A.96B.48

C.24D.0

解析:相交两棱所代表的物品不同在一个仓库，如图（1）,现设侧棱为1,2,3,4底面上的边为

5,6,7,8,由图分析知，不可能有3种物质放在同一个仓库,故每个仓库放2种，由图（2）可求解.

5

（1）（2）

不妨设先将编号为1、2,3、4的物品入仓，则有Aa种放法，然后从有1的开始.

①若有1的仓库放5,则有2的仓库放6且8只能放在含4的仓库中，那么7只能放在含3的

仓库中.

②若有1的仓库放8,同理可知也只有一种放法，故放法有2种..,.总放法数为

2A々=2x24=48（种）.

答案:B

课后作业

/.已知A猊=2A*+i厕log“25的值为（）

A.1B.2C.4D.不确定

解析:由A短=2A*+i得

（2"）!=2.（"+1）!

（2n-3）!（n-3）!'

解得n=5,

所以log„25=logs25=2.

答案:B

2.某班从8名运动员中选取4名参加4x10（）米接力赛，有（）种不同的参赛方案.

A.1680B.24C.1681D.25

解析:由题意得，共有Ag=8x7x6x5=1680种不同的参赛方案.

答案:A

3.3位老师和5位同学排成一排照相，老师不能坐在最左端，任何2位老师不能相邻，则不同坐

法种数是（）

A.A|B.A|A1C.A|A1D.A|A|

解析:先将5位同学全排列，再从5人排好后除去最左端的5个空当（包括最右面的）中选3个

排进3位老师，故有AgAg种坐法.

答案:C

4.用123,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）

A.24个B.30个C.40个D.60个

解析:将符合条件的偶数分为两类,一类是2作个位数，共有A2个，另一类是4作个位数，也有A：

个，因此符合条件的偶数共有凿+能=24个.

答案:A

5.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛,3名主力队员安排在第一、三、

五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有种.

解析:分两步完成:第一步安排三名主力队员有Ag种，第二步安排2名非主力队员，有种，所以

共有Ag-A"252种出场安排.

答案：252

6.有10幅画展出，其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画排成一排，要求同一品种的画必须连在一

起，并且水彩画不放在两端,则不同的陈列方式有种.

解析:分三步:第一步:水彩画可以在中间,油画、国画放在两端，有A5种放法；

第二步:油画内部排列，有A£种；

第三步:国画内部排列，有A&种.

由分步乘法计数原理，得共有A5-A|-At=5760种不同的陈列方式.

答案：5760

7.某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列

条件的排节目单的方法：

（1）1个唱歌节目开头，另1个压台（即安排在最后）；

(2)2个唱歌节目不相邻；

(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.

解:⑴先排唱歌节目有A刍种排法，再排其他节目有A&种排法，所以共有A5・A3=1440种排法.

(2)先排3个舞蹈,3个曲艺节目有A?种排法，再从其中7个空当(包括两端)中选2个排唱歌节

目，有A5种插入方法，所以共有AS-A5=30240种排法.

(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A%种排法，再将3个舞蹈节

目插入，共有Ag种插入法,最后将2个唱歌节目进行排列，有A,种排法，根据分步乘法计数原理，符

合要求的排法共有抬=2880种.

8.如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞蓬是由太阳光的七种颜色组成的,七种颜色分别涂在伞

蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少

种？

解:如图，对8个区域进行编号，任选一组对称区域(如1与5)同色，用7种颜色涂8个区域的不

同涂法有AZ种,又由于1与5,2与6,3与7,4与8是对称的，通过旋转后5,6,7,8」,2,3,4与

123,4,5,6,7,8是同一种涂色，即重复染色2次,故此种图案至多有与=2520种.

§3组合

——教学建议——

1.组合在生产、生活和科学探究活动中有着广泛的应用，也是高考考查的重要内容之一，重点

仍是考查学生的逻辑思维能力和创新意识，常与两个原理、排列综合，以选择题、填空题形式出现.

2.本节重点是组合的定义、组合数公式和性质;难点是组合和组合数公式在解决实际问题中

的恰当运用.

3.在教学中,通过实例来理解概念，并通过树状图、列表列举进一步理解组合数;在利用组合

数公式和组合数性质时,要注意阶乘的运算和技巧.

一备选习题一

1.设正n边形内接于圆。，正n边形的n个顶点及圆心点0,共(”+1)个点，从这(〃+1)个点考虑.

(1)过任意两点作直线，能作多少条直线？

(2)以任意三点为顶点,能作多少个三角形？

解：(1)〃为奇数时，各顶点的连线均不过圆心，共有鬣+i=竺罗条.

n为偶数时，圆心与顶点的连线一定与某两个顶点的连线重合,故一共可以连成的直线的条

数为鬃=手条.

(2)“为奇数时，有够+i==吟个.

66

n为偶数时，有鬣+i—?=妁包—2=3出个.

2626

2.计算:嚼。+C球.

解:C温+禺霏=第°。+禺。。=^^+200=4950+200=5150.

课后作业

1.用0』,...,9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()

A.243B.252C.261D.279

解析:构成所有的三位数的个数为禺禺0禺()=900,而无重复数字的三位数的个数为

G禺禺=648,故所求个数为900-648=252,应选B.

答案:B

2.若C"i-以=C*贝！J”=()

A.12B.13C.14D.15

解析:；C"]-以=C«,

即鬃+i='+时=C如，

=7+8,.e.n=14.

答案:C

3.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为

()

A.24B.18C.12D.6

解析:先分成两类:（一）从0,2中选数字2,从1,3,5中任选两个数字所组成的无重复数字的三位

数中奇数的个数为鬣x4=12;

（二）从0,2中选数字（）,从1,3,5中任选两个数字所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数

为鬣x2=6.

故满足条件的奇数的总数为12+6=18.

答案:B

4.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表

示不同信息，若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个

数为（）

A.10B.llC.12D.15

解析:与信息0110至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类：

第一类:与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有第=6个；

第二类:与信息011（）只有一个对应位置上的数字相同有心=4个；

第三类:与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C：=I个.

与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6+4+1=11个.

答案:B

5.从7名志愿者中选6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人，则不同的安

排方案共有种.（用数字作答）

解析©髭=140种.

答案：140

6.从10名男同学,6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女

同学的不同选法共有种.（用数字作答）

解析:从1（）名男同学,6名女同学中选3名参加体能测试，选出的3名同学中既有男同学又有

女同学包括两种情况:1男2女和2男1女，因此共有C；o•髭+C宾,废=420种.

答案：4案

7.某车间有11名工人，其中有5名钳工,4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现要在这

11名工人中选派4名钳工,4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？

解:第1类:选派的4名钳工中无“多面手”，此时有选派方法哈第=75种.

第2类:选派的4名钳工中有1名“多面手”，此时有选派方法玛♦髭•第=100种.

第3类:选派的4名钳工中有2名“多面手”,此时有选派方法鬣第=10种.

根据分类加法计数原理,不同的选派方法共有75+100+10=185种.

8.如图所示，某市（A）有四个郊县（B,CQ,E）,现备有5种颜色，问有多少种不同的涂色方式，使每

相邻两块不同色,每块只涂一种颜色？

B

8

解:完成这件事分三类:第一类:用五种颜色涂，共有A&=120种不同方法.第二类:用四种颜色涂,

选四种颜色的方法有Cg种，其中选一种颜色涂A有黑种方法，剩余四块涂3种颜色.有且仅有一组

不相邻区域涂同一种颜色,选一组不相邻区域的方法有2种.在余下的三种颜色中选一种颜色涂

这不相邻区域有禺种方法,最后剩下两种颜色涂2个区域有Ag种方法，根据分步乘法计数原理，得

Cg&2玛-A；=240种.第三类:用三种颜色涂，选色方法有Cg种.8,。和C,E和A各涂一种颜色有

种方法，故得CgA；60种方法.根据分类加法计数原理,共有涂色方法120+240+60=420种.

§4简单计数问题

一教学建议一

1.排列与组合的综合应用题的背景丰富，情景与生产、生活实际相结合，因此成为高考的热点,

常以选择、填空题形式出现.

2.本节重点是解决排列与组合的综合应用题及分组分配问题;难点是如何用好两个计数原

理及排列组合定义进行合理分类、恰当分步.

3.在解题过程中,要发挥学生的主动探究过程，从多种角度思考，从而培养学生思维的条理性、

深刻性、灵活性.

一备选习题一

1把4名男乒乓球选手与4名女乒乓球选手同时平均分成两组进行混合双打表演，不同的比

赛分配方案有种.

解析:混合双打比赛要求每队必须是一名男队员和一名女队员.可以分以下几步：

第1步:羽14名男选手平均分成两组,有冬虫=3种不同分法；

第2步:将4名女选手平均分成两组，有或］4=3种不同的分法；

A2

第3步:每组的两名男队员中选1名,有禺种不同的选法;每组的两名女队员中选1名,也有最

种不同的选法，男队和女队都各有2个小组，应有种不同的搭配方式.

由分步乘法计数原理，不同的分配方案共有3x3G&a&=144种.

答案：144

2某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示的6个点A,氏上

各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法

共有多少种？

解:可分两步完成.

第一步安装下底面，显然4处4种,8处3种,C处2种,则下底面共有4x3x2=24(种).

第二步安装上底面，选取与下底面所用灯泡颜色不同的灯泡装在上底面的一个位置上，有3

种方法，剩余两个位置有(1+2)种方法.由分步计数原理，共有24x3x(1+2)=216种安装方法.

3从6双不同的鞋子中任取4只,其中至少有一双的选法有多少种？

分析:取鞋子问题属于组合问题，根据任取的4只中至少有一双可分为两类，一类是恰好一双，

一类是恰好两双，再根据具体的取法加以分析.

解:4只鞋子最多可以组成两双，

(1)若4只鞋子恰好组成两双，相当于从6双鞋子中取出两双，有髭=15种选法；

(2)若4只鞋子恰好组成一双，先选一双完整的，再从剩下的5双中选两双，然后在这两双中各

抽取一只，共有禺髭禺禺=240种选法.

所以至少有一双的选法有15+240=255种.

课后作业

16.个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法有()

A.40种B.50种C.60种D.70种

解析:先分组再排列，一组2人一组4人有髭=15种不同的分法;两组各3人共有冬=10种不同

A2

的分法，所以共有(15+10)x2=50种不同的乘车方法.

答案:B

2.从长度分别为123,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法共有〃种.在这些取法中,以取出

的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为“，则;等于()

解析:”=髭=10,由余弦定理知可组成钝角三角形的有“2,3,4”和“2,4,5”,故加=2.故:=^=|.

答案:B

3.有6个座位连成一排，现有3人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()

A.36种B.48种C.72种D.96种

解析:恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排3个人，然后插空，从而

共A§A372种不同的坐法.

答案:c

4.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，

要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()

A.50种B.60种

C.120种D.210种

解析:先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6

种:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),甲任选一种为最,然后在剩下的5天中任选两天有序地安排其

余两校参观，安排方法有Ag种，按照分步乘法计数原理可知共有玛-Ag=120种不同的安排方法.

答案:C

5.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球

的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有种.

解析:有两种满足题意的放法：

(1)1号盒子里放2个球,2号盒子里放2个球，有鬣•最种放法；

(2)1号盒子里放1个球,2号盒子里放3个球，有心•噌种放法.

综上可得,不同的放球方法共有CfC；+C：C”10种.

答案：10

6.某校开设9门课程供学生选修，其中A,8,C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，

每位同学选修4门，共有种不同的选修方案.(用数字作答)

解析:①不选A,8,C的选法有鬣=15种，②选中一门课的选法有髭•玛=60种，所以共有

15+60=75种选修方案.

答案：75

7.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加

团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有多少种?

解:分两种情况：

(1)当有1名老队员时，应从3名新队员中选出2名，其排法种数:禺-C7A』=36种；

⑵当有2名老队员时，应从3名新队员中选出1名，其排法种数:C』C4=12种.

由分类加法计数原理，得所求排法有36+12=48种.

8.用0,1,2,3,4五个数字组成无重复数字的四位数.

(1)有多少个四位偶数？

(2)若按从小到大排列,3204是第几个数？

解：(1)方法一:先排个位数字，分两类:①。在个位时有A%种;②2或4在个位时按个位、千位、

十位和百位的顺序排，有的人丛专种，故共有怨+人必必专=60个四位偶数.

方法二:间接法.若无限制条件，总排列数为A々，其中不符合条件的有两类:①0在千位，有A1

种;②1或3在个位，有的A,A专种，则四位偶数有Ag-A%-A/A』A专=60个.

(2)方法一:(分类法)由高位到低位逐级分为:①千位是1或2时，有A3A宠个;②千位是3时，百位

可排0,1或2.⑴当百位排0,1时，有A》A2个,(ii)当百位排2时，比3204小的仅有3201一个，故比3

204小的四位数共有A/A*+A1A4+1=61个,3204是第62个数.

方法二:(间接法)A：A%(A%+A专+A,A4)=62个.

§5二项式定理

一教学建议一

1.高考对二项式定理的考查，主要涉及利用二项式通项求展开式的特定项，利用二项展开式

性质求系数或与系数有关的问题，利用二项式定理进行近似计算.题型以选择、填空题为主，少有

综合性的大题.

2.本节重点是二项式定理、二项式系数的性质,及它们的简单应用;难点是用计数原理分析二

项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.

一备选习题一

1.(1+2x/(l-x)4展开式中f的系数为.

解析：(1+2x)3(1.)4展开式中f的系数有以下几种情况:(1+2x)3中出现常数项，则展开式中X2

的系数即为(l-x)4中f的系数第=6；(1+2x)3中出现X项，则(1.)4中应出现X项，因此

禺2•禺(-1)=-24;(1+2x)3中出现X2项,(l-x)4中出现常数项，此时第-22-l=12.

(1+2X)3.(I㈤4展开式中式的系数为6-24+12=6

答案：-6

2.已知(7/y的展开式中第三项与第五项的系数之比为卷其中j2=_i,则展开式中常数项

的值是多少？

解:设评《y的展开式的第r+1项为Ti,

则「*1=&5用(京丫

=加・（孙兴吟.

由已知第三项与第五项的系数比为

14

解得n=10.

由2〃子二0得『8,则展开式中的常数项为C%（-i）8=C：o=Ci0=45.

3.已知（1-2X+3X2）7=YZO+Q]R+Q2A2+…+413x13+04x14.

⑴求处+。1+〃2+...+。14；

（2）求+。3+。5+,・.+。13.

解：（1）令X=l,则。0+。1+他+…+414=27=128.①

⑵令X=-l,则〃0-0+。2-。3+...-413+04=67.②

①■②得2（0+s+…+々13）=27・67=・279808.

。】+〃3+〃5+…+。13=・139904.

课后作业

的展开式中含X的正整数指数基的项数是（）

A.OB.2C.4D.6

解析:•：小产/（«严（/）'

=4%等•广

=%（彳）x5-2r,

由（5-|r）GN+,知r=0或2.

故展开式中第1、第3项x的指数为正整数.

答案:B

2.若（3石-白）”的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为（）

A.-540B.-162

C.162D.540

解析冷x=l得2"=64,则“=6.

77+尸昭34严(_苏

=(-l)r36rC^?r,

令3-厂=0,得r=3.

故常数项为-27/=-540.

答案:A

3.已知(l+or)(l+x)5的展开式中％2的系数为5,则a=()

A.-4B.-3C.-2D.-1

解析:因为(1+x)5的二项展开式的通项为C^r(0</<5,rGZ),则含*的项为

CsX2+«x-C5X=(10+5a)x2,^r以10+5a=5,a=-l.

答案:D

4.(l+x)8(l+y)4的展开式中xY的系数是()

A.56B.84C.112D.168

解析:因为(1+4的展开式中％2的系数为第,(1+»的展开式中丁的系数为鬣，所以xY的系数

为髭鬣=168.故选D.

答案:D

5.(%2+J，的展开式中丁的系数为.(用数字作答)

解析:「+1=墨<%2产•(》”=C2-x,2-3r,

要求展开式中V的系数，

即12-3r=3,

r=3,即

.■.V的系数为20.

答案：20

9

6.若[《)的展开式中?的系数是-84,则a=-----.

解析：卜-?9的展开式的通项为

7；+]=期9-(y=(-1)'C财产2r

令9-2r=3,得r=3.

所以％3的系数为(-INC初3=一84.

所以〃=1.所以“=].

答案：1

7.求卜代/）6的展开式中，

（1）第3项的二项式系数及系数；

⑵含d的项.

解:⑴第3项的二项式系数为髭=15,

又八=髭（2五），2）2=24QX,

所以第3项的系数为24Cl=240.

⑵A+产鹰（2正产（_—"=（一1郎”（4力

令3/=2,得左=1.

所以含％2的项为第2项，且T2=-192X2.

8.已知+泞）的展开式中的倒数第三项的系数为45.求:

（1）含♦的项;

（2）系数最大的项.

解:已知展开式中倒数第三项的系数为45,则C：2=45,即鬣=45,〃2-〃-90=0.

解得”=-9（舍去）或“=10.

1210-k,2k

⑴7M产（娟）*=/9'+亍，

令-出+生=3,解得k=6.

43

故含有V的项是第7项，且T7=Cfo?=21OZ

⑵・•,(1+的展开式共11项，系数最大的项是第6项,

1225

55

76=CI0(X-4)-(%3)=252x12.

第二章概率

§1离散型随机变量及其分布列

一教学建议一

1.本节是高考的热点，常与后面将要学到的随机变量的期望与方差结合在一起进行考查.

2.本节的重点是离散型随机变量的意义及其分布列，难点是准确求出随机变量自取相应值时

的概率.

3.本节通过实例引入随机变量的概念，并由此给出了随机变量描述性的定义及分布列的概念

和性质，教学中应引导学生把随机变量和函数进行类比，使他们了解随机变量的概念，实际上也可

以看作是函数概念的推广.并对比函数的几种表示方法引入离散型随机变量的分布列的几种表

示方法，与函数的研究一样，教学中要引导学生比较不同的分布列表示方法的优缺点，体会具体问

题选择适当的表示方法.另外，在求随机变量的分布列时，要引导学生注意回顾排列、组合、古典

概型的知识，只有在知识上相互联系，才能在解决此类问题中正确处理好等可能事件的概率、互斥

事件概率间的关系,并结合分布列的有关知识把相应问题细化，从而使问题顺利解决.

一备选习题一

1.袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球

为止，求取球次数X的分布列.

分析:要求取球次数X的分布列，需先写出X的可能取值，然后再求出X中每一个可能值的概

率.

解:X的可能取值为1,2,3,4,5,则第1次取到白球的概率为P(X=1)=/

第2次取到白球的概率为P(X=2)=fX-=~.

545

第3次取到白球的概率为P(X=3)Jx-xi=-.

5435

第4次取到白球的概率为P(X=4)=±x-x-x-=~.

54325

第5次取到白球的概率为P(X=5)=fx-x-xixi=\

543215

所以X的分布列是

X12345

11111

P

55555

2.设随机变量X的分布列为「d=，)=兼=1,2,3,4).求:

(1)P(X=1或X=2);

⑵喔<x<)

解:⑴P(X=1或X=2)=P(X=1)+P(X=2)=1+5=器

⑵嗯<X<%P(X=1)+P(X=2)+尸(X=3)4+卷+、号=-

课后作业

1.一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验,打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，

则试验次数1的最大值为（）

A.5B.2C.3D.4

解析:当第4把钥匙仍打不开这把锁时，第5把一定会打开，所以试验次数自最大取到4.

答案:D

2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为则国>4"

表示试验的结果为（）

A.第一枚为5点，第二枚为1点

B.第一枚大于4点,第二枚也大于4点

C.第一枚为6点，第二枚为1点

D.第一枚为4点，第二枚为1点

解析:每一枚骰子掷出的点数最大为6,最小为1,则g可能的取值为0,1,2,3,4,5,则*>4”即

笺=5”.故第一枚为6点，第二枚为1点.

答案:C

3.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量&描述1次试验的成功次数，则P化=1）等于

（）

117

A.OB-C-D.-

233

解析:设失败率为则成功率为2a,

a+2a=l.

i2

a=-,P^-1）=2a--.

答案:D

4.已知随机变量X的分布列为：

X-2-i0i23

p134i2i

n12nnn12

若尸（X2<x）=!|,则实数%的取值范围是（）

A.4<r<9B.4<x<9

C.4<r<9D.4<x<9

解析:若尸(X2<x)=£,则X要取遍0,±1,±2各个值.

当x<4时,X243,X取不到垃;

当x>9时,建可以等于9,即X取到3.

均与已知矛盾4<x<9.

答案:B

5.设随机变量X的分布列为：

X-101

1

P\-2q炉

2

则q的值为.

解析:由题意可知g+(1为)+或=1,

(l-2q>0,

解■得q=l当.

答案：1等

6.随机变量X的分布列为P(X=A)=£~,Zr=l,2,3,C为常数，则P(().5<X<2.5)=

k(k+l)

解析:由尸(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1,得

£+£+上=1,解得c=上

1x22x33x43

故随机变量X的分布列为

X\23

221

P

399

因此,P(0.5<X<2.5)=P(X=l)+P(X=2)=|+|=5

答案微

7.若离散型随机变量&的分布列为:

q01

P3-8〃

，求常数a及相应的分布列.

f9a2-a+3-8a=1,

解油离散型随机变量的性质得I0<9a2-a<1,解得“W，或a=［（舍）.

I0<3-8a<1,

所以随机变量&的分布列为：

401

21

p

33

8.A,B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员/队队员是A,A2,A3,B队队员是

按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率

21

Ai对以

33

23

A2对治

55

23

A3对以

55

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分,负队得0分，设A队,8队最后所得总分分别为X,K

求x,y的分布列.

解:X,y的可能取值分别为3,2,1,0.

P(X=3)=|X|X|=£

、

P(X=c2)=2-x-2x-3+,-1x-2x-2+,-2x-3x-2=-28,

',3553553557s

、

P(X=1i)=2-x-3x-3+,-1x-2x-3+,-1x-3x-2="2.

\,355355355s

P2(7X=0C)\=-1X-3X-33.

'735525

故X的分布列为

X0123

32288

P

2557575

根据题意知x+y=3,

所以p（y=o）=p（x=3）=£,P（y=i）=p（x=2）=|1,p（y=2）=p（x=i）=|,

p（y=3）=p（x=o）=套3

故y的分布列为

Y0123

82823

P

7575525

§2超几何分布

——教学建议——

1.本课时是新课标的新增内容之一，是高考的热点.

2.本节的重点是超几何分布列,难点是超几何分布的应用.

3.超几何分布是一种重要的分布，在生产实践中有着广泛的应用.教学中应借助于实例，引导

学生观察其中的规律，再启发他们把这规律推广到一般形式,即超几何分布.要让学生明确解决此

类问题的关键在于分析变量是否满足超几何分布.另外，教学中还要引导学生思考这种情形下变

量的取值范围是什么，以及掌握分布列的解析表达式.

一备选习题一

1.设某10件产品中含有a件次品，从中任取7件产品，其中含有的次品数为X,若X的可能取

值中的最小值为2,贝a=.

解析:取出的7件产品中，要使所含的次品数最小,只需将（10迫）件正品都取出，然后再取2件次

品即可，故（100+2=7,解得4=5.

答案：5

2.在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品;有二等

奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：

（1）该顾客中奖的概率；

（2）该顾客获得的奖品总价值盘元）的分布列，并求P（5*425）的值.

解:（1）尸=1白=1关=|,

即该顾客中奖的概率为李

（2尤的所有可能值为0,10,20,50,60.

产化=。）=3

L10J

「6=10)=警=|;

L105

3)我气;

艇=5。）=警建

尸（白60）=皆=上

5。15

.*.自的分布列为

1010205060

12121

p

35?51515

P(5*$25)=P6=10)+于仁=20)

2.17

——_L.——.....

课后作业

1.一批产品共