中考数学二轮培优题型训练压轴题17与圆有关的阴影部分面积的计算（解析版）

压轴题17与圆有关的阴影部分面积的计算例1．（2023•长沙模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，OF⊥AC，垂足为点F，BE＝OF．（1）求证：AC＝CD；（2）若BE＝4，CD＝83，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据AAS证明△AFO≌△CEB即可判断；（2）根据S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD计算即可．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴BC=BD，CE=∴∠A＝∠DCB，∴OF⊥AC，∴∠AFO＝∠CEB，AF=12∵BE＝OF，∴△AFO≌△CEB（AAS），∴AF＝CE，∴AC＝CD；（2）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=12CD＝4设OC＝r，则OE＝r﹣4，∴r2＝（r﹣4）2+（43）2∴r＝8，连接OD，如图，在Rt△OEC中，OE＝4=12∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°，∴∠COD＝120°，∵△AFO≌△CEB，∴S△AFO＝S△BCE，∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD=120π×82=643π﹣16【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得∠COE的度数是解决本题的关键．例2．（2022•益阳）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．（1）求证：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；（3）∠A＝30°，可得BC=12AB＝2，AC=3BC＝23，即得S△ABC=12BC•AC＝23，故阴影部分的面积是12π×（AB2）2﹣2【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度数是30°；（3）解：由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC=12AB＝2，AC=3BC∴S△ABC=12BC•AC=12×2×∴阴影部分的面积是12π×（AB2）2﹣23=2π﹣答：阴影部分的面积是2π﹣23．【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．例3．（2023•武安市一模）如图、点P是△ABC内一点，PD⊥BC，垂足为点D，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到扇形DPE，过点E作EM⊥PE交AB于点M、连接PM，与DE交于点F，过点P作PN⊥PM交BC于点N．（1）求证：△PEM≌△PDN；（2）已知PD＝3，EM=3①通过计算比较线段PN和DF哪个长度更长；②计算图中阴影部分的面积（结果保留π）．【分析】（1）先求证∠PEM＝∠PDN，∠EPM＝∠DPN，利用“ASA”即可证明△EPM≌△DPN；（2）①利用勾股定理计算PN的长度，利用弧长公式计算DF的长度，比较大小，即可得出答案；②利用阴影部分的面积＝S△PEM﹣S扇形PEF，进行计算，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵EM⊥PE，PD⊥BC，∴∠PEM＝∠PDN＝90°，∵PM⊥PN，∠EPD＝90°，∴∠EPD＝∠MPN＝90°，∴∠EPD﹣∠MPD＝∠MPN﹣∠MPD，∴∠EPM＝∠DPN，在△EPM和△DPN中，∠EPM=∠DPNPE=PD∴△EPM≌△DPN（ASA）；（2）解：①∵PD＝3，EM=3，△EPM≌△DPN∴DN＝EM=3∴PN=PD2在Rt△PDN中，tan∠DPN=DN∴∠DPN＝30°，∴∠DPF＝90°﹣30°＝60°，∴DF的长=60×π×3180=∴线段PN的长度更长；②∵PD＝3，EM=3，∠DPN＝30°，△EPM≌△DPN∴PE＝PD＝3，∠EPM＝∠DPN＝30°，∴阴影部分的面积＝S△PEM﹣S扇形PEF=12×=33【点评】本题考查了扇形的面积计算，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，弧长的计算公式，扇形面积的计算公式是解决问题的关键．1．（2023•青山区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，E为弦CD的中点．​（1）求证：∠BOD＝2∠BAC；（2）若CD＝AC＝4，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接AD，首先利用垂径定理得BC=BD，知∠CAB＝∠（2）根据扇形AOC的面积减去△AOC的面积，即可求解．【解答】（1）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，E为弦CD的中点，∴BC=∴∠CAB＝∠BAD，∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝2∠BAC；（2）解：∵AB是⊙O的直径，E为弦CD的中点，∴AB⊥CD，∴AB是CD的垂直平分线，∴AC＝AD，∵CD＝AC＝4，∴CD＝AC＝AD＝4，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，S△ACD=12×4×∴∠AOC＝120°，∴S扇形AOC=120π×∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC=16π【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，扇形的面积等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．（2023•黄浦区二模）已知，如图，⊙O的半径为2，半径OP被弦AB垂直平分，交点为Q，点C在圆上，且BC=（1）求弦AB的长；（2）求图中阴影部分面积（结果保留π）．【分析】（1）由线段垂直平分线的性质推出△OPB是等边三角形，得到∠POB＝60°，由sin∠BOQ=BQOB，求出BQ的长，由垂径定理即可求出（2）由BC=BP得到∠BOC＝∠POB＝60°，推出△OBC是等边三角形，得到∠OBC＝60°，因此∠OBC＝∠BOP，得到BC∥OP，推出△OBC的面积＝△PBC的面积，得到阴影的面积＝扇形OBC的面积，求出扇形【解答】解：（1）∵AB垂直平分PO，∴OB＝BP，∵OP＝OB，∴△OPB是等边三角形，∴∠POB＝60°，∵sin∠BOQ=BQ∴BQ＝2×sin60°=3∵OP⊥AB，∴AB＝2BQ＝23；（2）∵BC=∴∠BOC＝∠POB＝60°，∵OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝60°，∴∠OBC＝∠BOP，∴BC∥OP，∴△OBC的面积＝△PBC的面积，∴阴影的面积＝扇形OBC的面积，∵扇形OBC的面积=60π×2∴阴影的面积=23【点评】本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，扇形面积的计算，关键是由条件推出阴影的面积＝扇形OBC的面积．3．（2023•庐阳区校级一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，点D在AB上，且AC＝AD，OC＝8，弧BC的度数是60°．（1）求线段OD的长；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．【分析】（1）过C作CE⊥AD于E，根据已知得到∠COD＝60°，根据直角三角形的性质得到CE，求得AC根据线段的和差即可得到结论；（2）根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）过C作CE⊥AD于E，∵弧BC的度数是60°，∴∠BOC＝60°，又OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∵OC＝8，∴OE＝4∴CE=8∴AC=83∵AD=AC=83，OA＝OC∴OD=AD−OA=83（2）S阴影【点评】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．4．（2022秋•青山湖区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD的延长线于点E，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交CD于点F．（1）求证：E、F、B在同一条直线上；（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．【分析】（1）如图所示，连接EF，BF，分别证明△EDF、△BCF都是等腰直角三角形，得到∠DFE＝∠BFC＝45°，则∠EFC＝135°，推出∠BFC+∠EFC＝180°，即可证明E、F、B在同一条直线上；（2）根据S阴影＝S扇形ABE﹣（S矩形ABCD﹣S扇形BCF）进行求解即可．【解答】（1）证明：如图所示，连接EF，BF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝10，BC＝AD＝6，∴∠EDF＝90°，由作图方法可知AE＝AB＝10，CF＝BC＝6，∴DF＝CD﹣CF＝4＝AE﹣AD＝DE，∴△EDF、△BCF都是等腰直角三角形，∴∠DFE＝∠BFC＝45°，∴∠EFC＝180°﹣∠DFE＝135°，∴∠BFC+∠EFC＝180°，∴E、F、B在同一条直线上；（2）解：∵S扇形ABE=90×π×102360=25π，S扇形BCF=90×π×6∴S阴影＝S扇形ABE﹣（S矩形ABCD﹣S扇形BCF）＝25π﹣（48﹣9π）＝34π﹣48．【点评】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，求不规则图形面积，灵活运用所学知识是解题的关键．5．（2022秋•上城区期末）已知AB是圆O的直径，半径OD⊥BC于点E，BD的度数为60°．（1）求证：OE＝DE；（2）若OE＝1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BD，证明△OBD是等边三角形，可得结论；（2）根据S阴＝S扇形AOC+S△COE，求解即可．【解答】（1）证明：连接BD，∵BD的度数是60°，∴∠BOD＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∵OD⊥BC，∴OE＝DE；（2）解：连接OC．∵OD⊥BC，OC＝OB，∴∠COE＝∠BOE＝60°，∴∠OCE＝30°，∴OC＝2OE＝2，∴CE=O∴S阴＝S扇形AOC+S△COE=60π⋅22【点评】本题考查了扇形面积、三角形的面积的计算，正确证明△BOD是等边三角形是关键．6．（2022秋•嘉兴期末）已知：如图，弦AB，CD相交于⊙O内一点P的直径，AD=（1）求证：AB＝CD．（2）连接OP，求证：线段OP平分∠BPD．（3）若CP：DP＝1：3，OP=7，AP=【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系定理即可证得结论；（2）根据垂径定理得到OE＝OF，再根据角平分线的判定即可得到结论；（3）根据相交弦定理求得CP=3，进而利用勾股定理求得OE，进一步求得半径，解直角三角形求得∠DOE＝60°，从而求得∠DOC＝120°，然后根据∴S阴影＝S扇形﹣S△COD【解答】（1）证明：∵AD=∴AD+AC=∴AB＝CD．（2）证明：作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，∵AB＝CD，∴OE＝OF，∴点O在∠BPD的平分线上，∴线段OP平分∠BPD；（3）解：连接OC、OD，∵CP：DP＝1：3，∴设CP＝m，DP＝3m．则AB＝CD＝4m，∵AP=3∴PB＝4m−3∵AP•PB＝CP•DP，∴3（4m−3）＝m•3m解得m=3∴CP=3，CD＝43∴DE＝CE=12CD＝2∴PE=3∵OP2＝PE2+OE2OP=7∴OE=7−3∴OD=O∴sin∠DOE=DE∴∠DOE＝60°，∴∠DOC＝120°，∴S阴影＝S扇形﹣S△COD=120π×42【点评】本题考查了扇形的面积，角平分线的性质，垂径定理，相交弦定理，勾股定理，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．7．（2023•武汉模拟）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，∠AOB+∠COD＝180°．（1）在图（1）中，∠AOB＝120°，CD＝6，直接写出图中阴影部分的面积；（2）在图（2）中，E是AB的中点，判断OE与CD的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）作OM⊥AB于M，利用垂径定理得到AM＝BM，在Rt△OAC中计算出OM=12OA＝3，AM=3OM＝33，则AB＝2AM＝63，然后根据扇形面积公式，利用S弓形AB＝S扇形AOB﹣S（2）作直径AF，连接BF，进而得出BF＝DC，再利用三角形中位线的性质得出答案．【解答】解：（1）∵∠AOB+∠COD＝180°，∠AOB＝120°，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∵CD＝6，∴OA＝OC＝CD＝6，作OM⊥AB于M，如图（1），则AM＝BM，在Rt△OAM中，∠A＝30°，∴OM=12OA＝3，AM=3OM∴AB＝2AM＝63，∴S弓形AB＝S扇形AOB﹣S△AOB=120π×62360＝12π﹣93；（2）OE=12证明：作直径AF，连接BF，如图（2），∵∠AOB+∠COD＝180°，而∠AOB+∠BOF＝180°，∴∠BOF＝∠COD，∴BF＝CD，∵E是AB的中点，O是AF的中点，∴OE为△ABF的中位线，∴OE=12∴OE=12【点评】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．8．（2022•临沭县二模）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是AC的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．（1）EM与BE的数量关系是BE=2EM（2）求证：EB=（3）若AM=23，MB【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；（2）根据点E是AC的中点，得出∠AOE＝90°，由∠EMB＝90°，证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到AE=BN，根据题意得到EC=（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE＝22，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．【解答】（1）解：结论：BE=2EM理由：∵AC为⊙O的直径，点E是AC的中点，∴∠ABE＝45°，∵AB⊥EN，∴△BME是等腰直角三角形，∴BE=2EM故答案为：BE=2EM（2）证明：连接EO，∵AC是⊙O的直径，E是AC的中点，∴∠AOE＝90°，∴∠ABE=12∠AOE＝45∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠EMB＝90°∴∠ABE＝∠BEN＝45°，∴AE=∵点E是AC的中点，∴AE=∴EC=∴EC−∴EB=（3）解：连接AE，OB，ON，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠AME＝∠EMB＝90°，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，∴EM＝BM＝2，又∵BE=2EM∴BE＝22，∵在Rt△AEM中，EM＝2，AM＝23，∴tan∠EAB=3∴∠EAB＝30°，∵∠EAB=12∠∴∠EOB＝60°，又∵OE＝OB，∴△EOB是等边三角形，∴OE＝BE＝22，又∵EB=∴BE＝CN，∴△OEB≌△OCN（SSS），∴CN＝BE＝22又∵S扇形OCN=60π×(22)2360=43π，S△OCN=12•CN∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN=43π﹣2解法二：得出∠EAB＝30°之后，可连接AN，可利用（2）中结论推出∠NAC＝30°从而得出∠NOC＝60°，进而直接算出阴影部分的面积．【点评】本题考查了扇形的面积，全等三角形的判定化为性质，圆周角定理，解直角三角形以及等边三角形的判定和性质，作出辅助线构建等腰三角形是解题的关键．9．（2022•海陵区二模）如图，已知AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点，OE⊥AB、BC⊥AD，垂足分别为E、F．（1）求证：2OE＝CD；（2）若∠BAD+∠EOF＝150°，AD＝4，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据垂径定理得BF＝CF，BD=CD，则BD＝CD，再根据垂径定理得OE⊥AB，AE＝BE，则OE是△ABD的中位线，根据三角形的中位线定理可得BD＝2（2）连接BO，CO，BD，根据三角形外角的性质以及∠BAD+∠EOF＝150°得∠BAD＝30°，由三角形的内角和定理得∠AOB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABO＝120°，则∠BOD＝180°﹣∠AOB＝60°，可得△BOD是等边三角形，可得AO＝BO＝CO＝DO=12AD＝2，OE=12OA＝1，OF＝DF=12OD＝1，利用勾股定理求出BF=OB2−OF2=22−【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，BC⊥AD，∴BF＝CF，BD=∴BD＝CD，∵OE⊥AB，AB是⊙O的弦，∴AE＝BE，∵AO＝DO，∴OE是△ABD的中位线，∴BD＝2OE，∴2OE＝CD；（2）解：如图，连接BO，CO，BD，∵OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，∵∠EOF＝∠BAD+∠AEO，∠BAD+∠EOF＝150°，∴∠BAD＝30°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAD＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABO＝120°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形，∵BC⊥AD，∴OF＝DF=12OD，∠BFO＝90∵BD=∴∠COD＝∠BOD＝60°，∵AD＝4，∴AO＝BO＝CO＝DO=12∴OE=12OA＝1，OF＝DF=∴BF=OB2−OF2=∴CF＝BF=3∴S阴影=12S⊙O+S△CDF﹣S△ABF=12π×22+12×1∴阴影部分的面积为2π−3【点评】本题考查了垂径定理，等边三角形的性质，扇形的面积计算、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解此题的关键．10．（2022•荆门）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与AB只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．【分析】（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积；（2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，通过解三角形就可以求出半径，再利用圆的面积进行计算．【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，半径R＝3，∴S=60π×∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形，∴S△OAB=9∴阴影部分的面积S阴=3π（2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，∵相切两圆的连心线必过切点，∴O、O1、C三点共线，∴∠EOO1=12∠AOB＝30°，∠OEO1＝90在Rt△OO1E中，∵∠EOO1＝30°，∴OO1＝2O1E，∴O1E＝1，∴⊙O1的半径O1E＝1．∴S1＝πr2＝π．【点评】本题考查了相切两圆的性质．构造直角三角形是常用的方法，本题的关键是求得圆的半径．11．（2022•息烽县二模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．（1）填空：∠CAB＝30度；（2）求OE的长；（3）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF，AC和弧FC围成的图形（阴影部分）的面积S．【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝60°，即可求得∠CAB＝30°；（2）由∠CAB＝30°求出BC，判断出OE是△ABC的中位线，就可得出OE的长；（3）连接OC，将阴影部分的面积转化为扇形FOC的面积．【解答】解：（1）AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠D＝60°，∴∠B＝60°（圆周角定理），∴∠CAB＝30°，故答案为：30；（2）∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AB＝6，∴BC=12∵OE⊥AC，∴OE∥BC，又∵点O是AB中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=12BC（3）连接OC，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∵∠AEO＝90°，∠CAB＝30°，∴OE=12OA=12∵∠OEC＝∠FEA，∴△COE≌△AFE（SAS），故阴影部分的面积＝扇形FOC的面积，S扇形FOC=60π×3即可得阴影部分的面积为32π【点评】本题考查了扇形的面积计算、含30°角的直角三角形的计算及圆周角定理及垂径定理的知识，综合考查的知识点比较多，难点在第二问，注意将不规则图形转化为规则图形．12．（2022•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，垂足为E，弦CF交直径AB于点G，连接DF，∠CDF＝75°，CD＝23．（1）求⊙O的半径；（2）求线段GB，GF与BF围成的阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得到DE＝CE=12CD=3，由OE=12OA=12OD得到∠（2）连结OF，过点F作FM⊥AB于点M，则OD＝OF＝2，∠OMF＝90°，由∠CDF＝75°，∠ODE＝30°，得到∠ODF＝∠OFD＝45°．即可求得∠DOF＝90°，从而求得∠C＝45°，∠DOE+∠FOM＝90°，进而求得∠CGE＝∠C＝45°＝∠MGF，得到MG＝MF．易证得△DOE≌△OFM．即可求得FM＝OE＝1＝MG，OM＝DE=3，进一步得到OG＝OM﹣GM=3−1，然后根据S阴影＝S扇形BOF﹣S【解答】解：（1）连接OD，∵直径AB⊥CD∴DE＝CE=12CD∵CD平分AO，∴OE=12OA=∴∠ODE＝30°．在Rt△CDE中，OD=DE∴⊙O的半径为2．（2）连结OF，过点F作FM⊥AB于点M，则OD＝OF＝2，∵∠CDF＝75°，∠ODE＝30°，∴∠ODF＝45°．∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD＝45°．∴∠DOF＝90°．∴∠C＝45°，∠DOE+∠FOM＝90°．∵∠CEG＝90°，∴∠CGE＝∠C＝45°＝∠MGF．∵∠OMF＝90°，∴∠MFG＝∠MGF＝45°．∴MG＝MF．∵∠ODE+∠DOE＝90°，∴∠FOM＝∠ODE＝30°，在△DOE和△OFM中，∠FOM=∠ODE∠OMF=∠OED∴△DOE≌△OFM（AAS）．∴FM＝OE＝1＝MG，OM＝DE=3∴OG＝OM﹣GM=3∴S阴影＝S扇形BOF﹣S△OGF=30×4π360−12×（【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定，三角形全等的判定和性质，扇形的面积，熟练掌握性质定理是解题的关键．13．（2022•石家庄模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，且BC＞AC，以边AC为直径的⊙O交斜边AB于D，AD＝2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，CD．（1）求∠AED的度数．（2）求DB的长．（3）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据圆周角定理和直角三角函数即可求得∠AED＝30°；（2）解直角三角形求得AB＝8，进而即可求得DB＝6；（3）利用S阴影＝S扇形OCD﹣S△OCD求得即可．【解答】解：（1）∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∵AD＝2，AC＝4，∴sin∠ACD=AD∴∠ACD＝30°，∴∠AED＝∠ACD＝30°；（2）∵∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAB＝60°，在Rt△ABC中，cos∠CAB=ACAB，即cos60∴AB＝8，∴DB＝AB﹣AD＝8﹣2＝6；（3）连接OD，∵OC＝OD，∠ACD＝30°，∴∠ODC＝∠ACD＝30°，∴∠COD＝120°，∵AD＝2，AC＝4，∴CD=AC2∴S△OCD=12S△ACD∴S阴影＝S扇形OCD﹣S△OCD=120π×22【点评】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（2022•高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．（1）求图中阴影部分的面积；（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．【分析】（1）解直角三角形求出AH，OH，根据S阴＝S△AOH﹣S扇形OMH，求解即可．（2）作点M关于BD的对称点M′，连接HM′交BD于P，连接PM，连接PM，此时PH+PM的值最小，解直角三角形求出OP，OD即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，∵OH⊥AB，∴∠AHO＝90°，∵∠OAH＝30°，∴∠AOH＝60°，OH=12OA＝2，AH=3OH∴S阴＝S△AOH﹣S扇形OMH=12×2×23−（2）作点M关于BD的对称点M′，连接HM′交BD于P，连接PM，此时PH+PM的值最小．∵OH＝OM′，∴∠OHM′＝∠OM′H，∵∠AOH＝∠OHM′+∠OM′H＝60°，设OP＝m，则PM＝2m，∵PM2＝OM2+OP2，∴4m2＝m2+22，∴m=2∴PD＝OD+OP=433【点评】本题考查扇形的面积公式，菱形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．15．（2021•高港区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．（1）若∠B＝24°，求AD的度数；（2）若D是AB的中点，AB＝3，求阴影部分的面积；（3）若AD•AB＝12，求AC的值．【分析】（1）连接CD，利用三角形内角和定理求出∠ACD即可；（2）证明△ACD是等边三角形，再利用分割法求出阴影部分的面积即可；（3）作CH⊥AB于点H．证明△ACH∽△ABC，推出AC2＝AH•AB，可得结论．【解答】解：（1）连接CD．∵∠ACB＝90°，∠B＝24°，∴∠A＝90°﹣24°＝66°，∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA＝66°，∴∠ACD＝180°﹣2×66°＝48°，∴AD的度数为48°；（2）∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝DB=12AB∵AC＝CD，∴AC＝CD＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴S阴＝S扇形CAD﹣S△ACD=60π×(32)2360（3）作CH⊥AB于点H．∵∠A＝∠A，∠AHC＝∠ACB＝90°，∴△ACH∽△ABC，∴ACAB∴AC2＝AH•AB，∵CH⊥AD，∴AH＝DH，∵AD•AB＝12，∴2AH•AB＝12，∴AH•AB＝6，∴AC2＝6，∵AC＞0，∴AC=6【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．16．（2021•开平区一模）如图，∠AOB内有一点P，PC⊥OA，垂足为C，以P为圆心PC为半径画14⊙P，与OB交于点E（1）过点D作PD的垂线与OB交于点M，连接PM，过圆心P作PN⊥PM交OA于点N，求证△PMN是等腰直角三角形．（2）若PC＝2，∠DPE＝15°，计算扇形PEC的面积（结果保留π）．【分析】（1）连接MN．证明△DPM≌△CPN（ASA），推出PM＝PN，可得结论．（2）利用扇形面积公式求解即可．【解答】（1）证明：连接MN．∵PM⊥PN，∴∠MPN＝90°，∵∠CPD＝90°，∴∠CPD＝∠MPN，∴∠DPM＝∠CPN，∵DM⊥PD，PC⊥OA，∴∠PDM＝∠PCN＝90°，在△PDM和△PCN中，∠PDM=∠PCNPD=PC∴△DPM≌△CPN（ASA），∴PM＝PN，∵∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形．（2）解：∵∠DPE＝15°，∴∠CPE＝90°﹣15°＝75°，∴S扇形PEC=75×π×【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是在为全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．17．（2022•柯城区二模）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是AC的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．（1）EM与BE的数量关系是BE=2EM（2）求证：EB=（3）若AM=3，MB【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；（2）根据点E是AC的中点，得出∠AOE＝90°，由∠EMB＝90°，证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到AE=BN，根据题意得到EC=（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE=2，然后证得△OEB≌△OCN【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是AC的中点，∴∠ABE＝45°，∵AB⊥EN，∴△BME是等腰直角三角形，∴BE=2EM故答案为BE=2EM（2）连接EO，∵AC是⊙O的直径，E是AC的中点，∴∠AOE＝90°，∴∠ABE=12∠AOE＝45∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠EMB＝90°∴∠ABE＝∠BEN＝45°，∴AE=∵点E是AC的中点，∴AE=∴EC=∴EC−∴EB=（3）连接AE，OB，ON，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠AME＝∠EMB＝90°，∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，∴EM＝BM＝1，又∵BE=2EM∴BE=2∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM=3∴tan∠EAB=1∴∠EAB＝30°，∵∠EAB=12∠∴∠EOB＝60°，又∵OE＝OB，∴△EOB是等边三角形，∴OE＝BE=2又∵EB=∴BE＝CN，∴△OEB≌△OCN（SSS），∴CN＝BE=又∵S扇形OCN=60π×(2)2360=13π，∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN=1【点评】本题考查了扇形的面积，全等三角形的判定化为性质，圆周角定理，解直角三角形以及等边三角形的判定和性质，作出辅助线构建等腰三角形是解题的关键．18．（2022•龙岗区模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝23，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF＝BA，即可证明CD与圆B相切；（2）先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD＝30°，求出AD，再利用S△ABD﹣S扇形ABE求出阴影部分面积．【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB．在△ABD和△FBD中，∠ADB=∠FDB∠BAD=∠BFD∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF＝BA，则点F在圆B上，∴CD与⊙B相切；（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝60°∵BF⊥CD，∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，∴∠ABF＝60°，∵AB＝BF=23∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE=1=23【点评】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确作出辅助线．19．（2021•南昌模拟）如图，在Rt△ABC中，