中考数学二轮培优题型训练压轴题15切线的有关计算与证明问题（解析版）

压轴题15切线的有关计算与证明问题例1．（2023•白塔区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，∠BDC＝∠A，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：CD与⊙O相切：（2）若CE＝6，DE＝3，求AD的长．【分析】（1）连接OD，由圆周角定理得出∠ODB+∠ADO＝90°，由等腰三角形的性质得出∠ADO＝∠A，由∠BDC＝∠A，得出∠ADO＝∠BDC，进而得出∠ODC＝90°，即可证明CD是⊙O切线；（2）先证明△AEC∽△CED，得出CEDE=AECE，把CE＝6，【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB+∠ADO＝90°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∵∠BDC＝∠A，∴∠ADO＝∠BDC，∴∠ODB+∠BDC＝90°，即∠ODC＝90°，∵OD是半径，∴CD是⊙O切线；（2）解：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵CE⊥AE，∴∠E＝∠ADB＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE，∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴CEDE∴EC2＝DE•AE，∵CE＝6，DE＝3，∴36＝3（3+AD），∴AD＝9．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，掌握圆周角定理，切线的判定方法，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．例2．（2023•文山市一模）如图，AB＝BC，以BC为直径的⊙O，与AC交于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若GF＝3，GB＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质以及OE＝OC，可得∠A＝∠OEC，从而得到OE∥AB，进而得到OE⊥EG，即可；（2）根据勾股定理求出BF的长，再由△BGF∽△OGE，即可求解．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C，∴∠A＝∠OEC，∴OE∥AB．∵BA⊥GE，∴OE⊥EG，∵OE为半径，∴EG是⊙O的切线．（2）解：∵BF⊥GE，∴∠BFG＝90°，∵GF＝3，GB＝5，∴BF=B∵BF∥OE，∴△BGF∽△OGE，∴BFOE=BG∴OE＝20，即⊙O的半径为20．【点评】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．例3．（2023•武侯区模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，连接AC，BC，AD，CD，线段CD与AB相交于点E，过点D作∠ADF＝∠ACD，DF交CA的延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DF∥AB，CE=4105，DE=10【分析】（1）连接BD，OD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠ABD＝∠ACD，而∠ACD＝∠ADF，则∠ADF＝∠ACD，所以∠ADF+∠ODA＝90°，则OD⊥DF，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）根据平行线分线段成比例定理，由DF∥AB得到ACAF=45，设AC＝4x，AF＝5x，再证明△FAD∽△FDC，根据相似三角形的性质得到FD9x=5xFD=AD9105，先表示出FD＝35【解答】（1）证明：连接BD，OD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ABD+∠ODA＝90°，∵∠ABD＝∠ACD，∠ACD＝∠ADF，∴∠ADF＝∠ACD，∴∠ADF+∠ODA＝90°，即∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，∴OD为⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；（2）解：∵DF∥AB，∴ACAF∴设AC＝4x，AF＝5x，∵∠AFD＝∠DFC，∠FDA＝∠FCD，∴△FAD∽△FDC，∴FDFC即FD9x解得FD＝35x，∴AD9解得AD＝32，∵DF∥AB，OD⊥DF，∴OD⊥AB，∴△OAD为等腰直角三角形，∴OA=22AD=2即⊙O的半径为3．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．例4．（2023•文山州一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为点P，点E是线段AB上的动点．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EP是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接OD，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质得到OD∥AP，利用垂直的定义和平行线的性质得到OD⊥PD，利用圆的切线的判定定理解答即可；（2）过点C作CF⊥AB并延长交⊙O于点G，连接PG，交AB于点E，利用垂径定理和将军饮马模型可得点E为所求的点；利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理求得AC，AD，AP；连接BD，过点G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，利用直角三角形的边角关系定理求得线段AH，GH，PH，再利用勾股定理解答即可得出结论．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵弦AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC．∵DP⊥AC，∴OD⊥DP，∵OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；（2）解：在点E运动过程中，EC+EP存在最小值，这个最小值213．理由：过点C作CF⊥AB并延长交⊙O于点G，连接PG，交AB于点E，如图，∵AB为⊙O的直径，CG⊥AB，∴CF＝FG，即点C与点G关于AB轴对称，EC＝EG，∴EC+EP＝EP+EG＝PG，此时CE+EP的值最小．∵点C与点G关于AB轴对称，∴AC＝AG．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝30°，AB＝8，∴AC＝4，BC＝43．连接BD，过点G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝30°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB•cos30°＝43．∴AP＝AD•cos30°＝6．∵∠GAB＝∠GAC＝60°，∴∠GAH＝60°．∵AG＝AC＝4，∴AH＝2，HG＝23，∴HP＝AH+AP＝8．∴PG=HG2∴EC+EP的最小值为219．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．1．（2023•南明区校级模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延长线于点F．（1）求证：BC∥EF；（2）求证：EF是⊙O的切线；（3）若BF＝10，OB＝15，求证：AE＝2BE．【分析】（1）由圆周角定理及已知条件进行等量代换，然后利用内错角相等两直线平行证明即可；（2）利用角平分线及圆周角定理得出E是BC的中点，再利用垂径定理及平行线的性质推导得出∠OEF为直角，即可证明；（3）先证明△EBF∽△AEF，然后利用勾股定理计算得出AE，BE的长，再利用平行线所截线段成比例求出AD．【解答】证明：（1）∵∠BEF＝∠CAE，∠CAE＝∠CBE，∴∠BEF＝∠CBE，∴BC∥EF；（2）如图：连接OE，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∴CE=∴OE⊥BC，∵BC∥EF，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（3）如图，∵OB＝15，BF＝10，则OE＝OB＝15，OF＝15+10＝25，在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2，∴EF2＝OF2﹣OE2＝252﹣152＝400，解得：EF＝20，∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F，∴△EBF∽△AEF，∴BEAE∴AE＝2BE，【点评】本题主要考查平行的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，切线的证明以及相似三角形，掌握切线的证明，相似三角形的判定及计算是解决本题的关键．2．（2023•雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD为菱形，⊙O经过A、C两点，且与AD相切于点A，BC与⊙O相交于点E．（1）证明：CD与⊙O相切；（2）若菱形ABCD的边长为4，⊙O的半径为2，求CE的长．【分析】（1）连接OC，OD，利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质得到∠OAD＝∠OCD，利用切线的性质定理得到∠OAD＝90°，则OC⊥CD，利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；（2）连接OC，OE，连接DO并延长，利用菱形的性质得到B，O，D在一条直线上，利用切线的性质定理和菱形的性质得到AF⊥BC，利用垂径定理得到EF＝FC=12EC；利用相似三角形的判定与性质得到AFCF=42=2，设CF＝x，则AF＝2x，BF＝BC﹣【解答】（1）证明：连接OC，OD，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD．在△AOD和△COD中，AD=CDOD=OD∴△AOD≌△COD（SSS），∴∠OAD＝∠OCD．∵⊙O与AD相切于点A，∴OA⊥AD，∴∠OAD＝90°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切；（2）解：连接OC，OE，连接DO并延长，如图，由（1）知：△AOD≌△COD，∴∠ADO＝∠CDO，∵四边形ABCD为菱形，∴BA＝BC，BD平分∠ADC，∴DO的延长线经过点B，即B，O，D在一条直线上，在△AOB和△COB中，OA=OCOB=OB∴△AOB≌△COB（SSS），∴∠BAO＝∠BCO．设AO的延长线交BC于点F，∵OA⊥AD，BC∥AD，∴AF⊥BC，∴EF＝FC=12∵∠AFB＝∠OFC＝90°，∴△ABF∽△COF，∴ABOC∵菱形ABCD的边长为4，⊙O的半径为2，∴AFCF∴AF＝2CF．设CF＝x，则AF＝2x，BF＝BC﹣CF＝4﹣x．∵AF2+BF2＝AB2，∴（4﹣x）2+（2x）2＝42，解得：x＝0（不合题意，舍去）或x=8∴CF=8∴EC＝2CF=16【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，垂径定理，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．3．（2023•庐阳区校级一模）如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，交AC于点E．（1）求证：∠CEB＝∠ABD+∠CDB；（2）如图2，连接OE、AD，若OE∥AD，且AB＝10，BD＝8，求BC的长．【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BAC＝∠CDB，再利用三角形外角的性质等量代换即可得证；（2）由OE∥AD和点O为AB的中点，可得OE是△ADB的中位线，求得DE=BE=12BD，根据圆周角定理得∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，由勾股定理求得AD，AE，设BC＝x，EC＝y，在Rt△ABC和Rt△BCE中，根据勾股定理建立关于x【解答】（1）证明：∵∠BAC，∠CDB都是弧BC所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CDB，∵∠CEB＝∠ABD+∠BAC，∴∠CEB＝∠ABD+∠CDB；（2）解：∵OE∥AD，点O为AB的中点，∴OE为△ADB的中位线，∴DE=BE=1∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，∴AD=A∴AE=A设BC＝x，EC＝y，在Rt△ABC和Rt△BCE中，有AB即10整理得：x2∴16+413解得：y=8∴y2∴x2解得：x=121313∴BC的长为1213【点评】本题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，中位线的判定与性质，熟练掌握知识点，运用方程思想建立直角三角形三边之间的数量关系是解题的关键．4．（2023•碑林区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：DE＝AE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长度．【分析】（1）连接OD，证明∠ADE+∠ODB＝90°，∠A+∠DBO＝∠A+∠ODB＝90°即可解决问题；（2）连接CD，根据切线长定理可得DE＝EC，则AC＝10，根据圆周角定理可得∠BDC＝90°，由勾股定理可求出CD长为6，设BD＝x，则AB＝8+x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（8+x）2﹣102，则x2+62＝（8+x）2﹣102，解方程即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵DE为⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠A+∠DBO＝90°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠DBO，∴∠A+∠DBO＝∠A+∠ODB＝90°，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝DE；（2）解：如图，连接CD，由（1）知，AE＝DE，∵BC为⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∠BDC＝90°，∵DE为⊙O的切线，∴DE＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝AE+EC＝10，∵∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，AD＝8，AC＝10，∴CD=A设BD＝x，则AB＝AD+BD＝8+x，在Rt△BDC中，BC2＝BD2+CD2，即BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2，即BC2＝（8+x）2﹣102，∴x2+62＝（8+x）2﹣102，解得：x=9∴BC=x【点评】本题主要考查切线的性质、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，通过勾股定理建立方程并求解．5．（2023•韩城市一模）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的直径，垂足为O，E为BC上一点，连接AE交CD于点M，过点E作⊙O的切线，分别交DC、AB的延长线于F、G．（1）求证：EF＝MF；（2）若⊙O的半径为6，FE＝8，求AM的长．【分析】（1）连接OE，由直角三角形的性质得出∠A+∠AMO＝90°，根据∠OEA+∠FEM＝90°，进而可得出结论；（2）根据勾股定理可得出结论．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵CD⊥AB，∠COA＝90°，∠A+∠AMO＝90°，∵EF是⊙O的切线，∴∠OEF＝90°，即∠OEA+∠FEM＝90°，∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，∴∠AMO＝∠FEM，又∵∠AMO＝∠FME，∴∠FEM＝∠FME，∴FE＝FM；（2）解：由（1）知∠OEF＝90°，∵OE＝6，FE＝8，∴OF=O由（1）知FE＝FM，∴FM＝FE＝8，∴OM＝OF﹣FM＝2，∴在Rt△AOM中，AM=O即AM的长为210【点评】本题考查的是切线的判定和性质，涉及到相似三角形的判定与性质、圆的有关性质，勾股定理等知识，构建相似三角形是解题的关键．6．（2023•武昌区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC边上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，在BC边上取一点F，连接FD，使得DF＝BF．（1）求证：DF为半圆O的切线；（2）若AC＝6，BC＝4，CF＝1，求半圆O的半径长．【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODA＝∠A，由DF＝BF，得∠FDB＝∠B，则∠ODA+∠FDB＝∠A+∠B＝90°，所以∠ODF＝180°﹣（∠ODA+∠FDB）＝90°，即可证明DF是半圆O的切线；（2）连接OF，设半圆O的半径长为r，由AC＝6，BC＝4，CF＝1，得DF＝BF＝BC﹣CF＝3，OC＝AC﹣OA＝6﹣r，根据据勾股定理得r2+32＝（6﹣r）2+12＝OF2，则r=7【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，∴∠ODA＝∠A，∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B，∵∠C＝90°，∴∠ODA+∠FDB＝∠A+∠B＝90°，∴∠ODF＝180°﹣（∠ODA+∠FDB）＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD，∴DF是半圆O的切线．（2）解：连接OF，设半圆O的半径长为r，∵AC＝6，BC＝4，CF＝1，∴DF＝BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3，OC＝AC﹣OA＝6﹣r，∵∠ODF＝∠C＝90°，∴OD2+DF2＝OC2+CF2＝OF2，∴r2+32＝（6﹣r）2+12，解得r=7∴半圆O的半径长是73【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．7．（2023•靖江市模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点D，AE⊥BO交BO延长线于点E．（1）求证：∠EOA＝∠EAB．（2）若OE=5，AE=25【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到AB⊥OD，推出BO为∠ABC的角平分线，得到∠ABE＝∠OBC，由三角形内角和定理，对顶角的性质即可证明；（2）由勾股定理求出AO的长，由△AEO∽△BEA求出BE的长，得到OB的长，由△BOC∽△AOE，即可求出OC的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵⊙O与AB相切于点D，∴AB⊥OD，∵∠C＝90°，∴BC⊥OC，∵OC＝OD，∴BO为∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠OBC，∵AE⊥BO，∴∠E＝90°，∴∠C＝∠E，∴∠BOC＝∠BAE，∵∠AOE＝∠BOC，∴∠AOE＝∠BAE．（2）解：∵OE=5，AE＝25，∠E＝90°∴OA=O∵∠AOE＝∠BAE，∠AEO＝∠AEB，∴△AEO∽△BEA，∴AE：BE＝OE：AE，∴25：BE=5：25∴BE＝45，∴OB＝BE﹣OE＝35，∵∠C＝∠E，∠BOC＝∠AOE，∴△BOC∽△AOE，∴BO：AO＝OC：OE，∴35：5＝OC：5，∴OC＝3．【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键．8．（2023•河北区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，∠ABC＝30°．（Ⅰ）如图①，若点E是弧BD的中点，求∠BAE的大小；（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，交CA的延长线于点F，若DG∥CF交A于点G，AB＝8，求AF的长．【分析】（Ⅰ）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD＝45°，根据圆周角定理即可得到结论；（Ⅱ）连接OD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD＝45°，推出四边形AGDF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF＝DG，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∵点E是弧BD的中点，∴BD=2∴∠BAE=1故∠BAE的大小为22.5°；（Ⅱ）连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠AOD＝∠BOD＝90°，∴OD⊥AB，∵FD是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴DF∥AB，∵DG∥CF∴四边形AGDF是平行四边形，∴AF＝DG，∵∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AF∥DG，∴∠DGA＝∠CAB＝60°，∵AB＝8，∴OD＝4，∴DG=8∴AF＝DG=8故AF的长为83【点评】本题考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．9．（2023•武汉模拟）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，BC与AD相交于点F．（1）求证：DE＝DB；（2）若∠ACB＝60°，AB＝33，BD＝23，求ACAF【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，再用三角形的外角的性质判断出∠DBE＝∠BED，即可得出结论；（2）先判断出△BDE是等边三角形，得出DE＝BD＝23，进而得出DH=3，再根据勾股定理得出BH＝3，AH＝32，进而求出AD＝AH+DH＝32+3，再判断出△DBF∽△DAB，求出BF，最后判断出△ACF【解答】（1）证明：如图，连接BE，∵点E是⊙O的内心，∴AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠CAD＝∠CBD，∵点E是⊙O的内心，∴BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠DBE＝∠CBD+∠CBE＝∠CAD+∠ABE＝∠BAD+∠ABE＝∠BED，∴DE＝DB；（2）由（1）知，DE＝DB，∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE＝BD＝23，如图，过点B作BH⊥AD于H，则DH=12DE在Rt△BHD中，根据勾股定理得，BH=B在Rt△AHB中，根据勾股定理得，AH=AB2∴AD＝AH+DH＝32+∵∠ADB＝∠BDF，∠DBF＝∠DAB，∴△DBF∽△DAB，∴BDAD∴BF=AB⋅BD∵∠ACF＝∠BDF，∠CAF＝∠DBF，∴△ACF∽△BDF，∴ACBD∴ACAF【点评】此题主要考查了三角形的内心，相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形求出AD是解本题的关键．10．（2023•市南区一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为BC的中点，∠ABE＝∠C，E在CA的延长线上．（1）EB是⊙O的切线吗？为什么？（2）若DB=12AC，则∠DBC的度数为【分析】（1）由圆周角定理得到∠C+∠CAB＝90°，由等腰三角形的性质得到∠EBA+∠OBA＝90°，即可证明问题；（2）连接OD，得到△OBD是等边三角形，得到∠BOD＝60°，由D为BC的中点，得到∠COD＝∠BOD＝60°，由圆周角定理即可求出∠DBC的度数．【解答】解：（1）EB是⊙O的切线，理由如下，连接OB，∵AC是圆的直径，∴∠CBA＝90°，∴∠C+∠CAB＝90°，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠C+∠OBA＝90°，∵∠EBA＝∠C，∴∠EBA+∠OBA＝90°，∴半径OB⊥BE，∴EB是⊙O的切线；（2）连接OD，∵BD=12∴BD＝OD＝OB，∴△OBD等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵D为BC的中点，∴∠COD＝∠BOD＝60°，∴∠DBC=12∠COD＝30故答案为：30．【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，关键是掌握切线的判定方法，圆周角定理．11．（2023•范县一模）如图，⊙O的直径为AB，AP为⊙O的切线，F是AP上一点，过点F的直线与⊙O交于C，D两点，与AB交于点E，AC＝CE．（1）求证：AC＝CF；（2）若AC=52，AD＝4，求​【分析】（1）先利用AC＝AE得到∠AEC＝∠EAC，再根据切线的性质得到∠BAP＝90°，然后根据等角的余角相等得到∠CAF＝∠CFA，从而得到AC＝FC；（2）连接BC、BD，如图，先根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，再证明∠ADC＝∠CFA得到AF＝AD＝4，则利用勾股定理可计算出AE＝3，接着证明△FCA∽△FAD，利用相似比可计算出FD=325，所以DE=75，然后证明△BDE∽△【解答】（1）证明：∵AC＝AE，∴∠AEC＝∠EAC，∵AP为⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP＝90°，∵∠AEC+∠CFA＝90°，∠EAC+∠CAF＝90°，∴∠CAF＝∠CFA，∴AC＝FC；（2）解：连接BC、BD，如图，∵AB为直角，∴∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠ABC＝∠CAF，∵∠CAF＝∠CFA，∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC＝∠CFA，∴AF＝AD＝4，∵AC=5∴CE＝CF=52，在Rt△AEF中，AE=E∵∠AFC＝∠DFA，∠FAC＝∠FDA，∴△FCA∽△FAD，∴FC：FA＝FA：FD，即52：4＝4：FD解得FD=32∴DE＝FD﹣CF﹣CE=32∵∠BED＝∠AEC，∠BDE＝∠EAC，∴△BDE∽△CAE，∴BE：CE＝DE：AE，即BE：52解得BE=7【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质．12．（2023•城关区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，点D在AB上，且以AD为直径的⊙O经过点E．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）当AD＝3BD，且BE＝4时，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OE，由OA＝OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由AE为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AC与OE平行，利用两直线平行同位角相等得到∠OEB＝∠C，都为直角，可得出BC垂直于OE，即可得到BC与圆O相切；（2）由于AD＝3BD，设BD＝2x，用x表示AD，AO、OD、OE、OB，在Rt△OBE中，根据勾股定理得：OE2+BE2＝OB2，由此建立方程模型即可求解．【解答】（1）证明：连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠OEA＝∠CAE，∴OE∥AC，∵∠C＝90°，∴∠OEC＝90°，∴OE⊥BC，∵OE为半径，∴BC是⊙O切线；（2）解：∵AD＝3BD，设BD＝2x，则AD＝6x，∴AO＝OD＝OE＝3x，∴OB＝5x，在Rt△OBE中，根据勾股定理得：OE2+BE2＝OB2，∴（3x）2+42＝（5x）2，∴x＝1，∴OE＝3x＝3，∴⊙O半径为3．【点评】此题考查了切线的判定，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．13．（2023•莱芜区一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE是⊙O的切线，DE⊥AC于E．（1）求证：AB＝AC；（2）若⊙O的半径为4，∠C＝30°，求AE的长．​【分析】（1）连接AD、OD，利用切线性质可得DE⊥OD，结合DE⊥AC，可得AC∥OD，再运用平行线性质和等腰三角形的判定和性质即可证得结论；（2）连接AD，由AB是⊙O的直径，可得AB＝8，∠ADB＝∠ADC＝90°，利用等腰三角形性质可得∠B＝∠C＝30°，推出AD=12AB＝4，再根据直角三角形性质得出AE=【解答】（1）证明：如图，连接AD、OD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴AC∥OD，∴∠C＝∠ODB，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，∴∠C＝∠D，∴AB＝AC；（2）解：如图，连接AD，∵⊙O的半径为4，AB是⊙O的直径，∴AB＝8，∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠C＝30°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴AD=12∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠C+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°，∴AE=12【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质是解决问题的关键．14．（2023•包河区一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD于点M，连接OD．（1）若∠ODB＝54°，求∠BAC的度数；（2）AC，DB的延长线相交于点F，CE是⊙O的切线，交BF于点E，若CE⊥DF，求证：AC＝CD．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠OBD＝54°，求得∠DOB＝180°﹣∠OBD﹣∠ODB＝72°，根据垂径定理得到BC=（2）连接OC，BC，根据切线的性质得到OC⊥CE，根据平行线的性质得到∠ACO＝∠F，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，求得AB＝BF，根据等腰三角形的性质得到AC＝CF，等量代换得到结论．【解答】（1）解：∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD＝54°，∴∠DOB＝180°﹣∠OBD﹣∠ODB＝72°，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴BC=∴∠BAC=12∠BOD故∠BAC的度数为36°；（2）证明：连接OC，BC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∵CE⊥DF，∴OC∥DF，∴∠ACO＝∠F，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠A＝∠F，∴AB＝BF，∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AF，∴AC＝CF，∵∠A＝∠CDB，∴∠CDB＝∠F，∴CD＝CF，∴AC＝CD．【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．15．（2023•盐城一模）如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，过点E作⊙O的切线，切点为点C，连接AC、BC，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．（1）求证：∠BCE＝∠DAC；（2）若BE＝2，CE＝4，求⊙O的半径及AD的长．【分析】（1）如图，连接OC，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用等角的余角相等得到∠BCE＝∠OCA，接着证明OC∥AD，然后根据平行线的性质和等量代换得到结论；（2）设⊙O半径为r，则OC＝r，OE＝r+2，利用勾股定理得到r2+42＝（r+2）2，解得r＝3，所以OE＝5，AE＝8，OC＝3．再证明△OCE∽△ADE，然后利用相似比可计算出AD的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵EC是⊙O的切线，∴OC⊥EC，∴∠OCE＝90°，即∠OCB+∠BCE＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠BCE＝∠OCA，∵OC⊥ED，AD⊥ED，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠BCE＝∠CAD；（2）解：设⊙O半径为r，则OC＝r，OE＝r+2，在Rt△OEC中，∵OC2+EC2＝OE2，∴r2+42＝（r+2）2，解得：r＝3，∴OE＝5，AE＝8，OC＝3．∵OC∥AD，∴△OCE∽△ADE，∴OCAD即3AD解得：AD=24【点评】本题考查了切线的性质，掌握垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．16．（2023•商河县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点F在AB上，以BF为直径的⊙O恰好经过点E，且边AC与⊙O切于点E，连接BE．（1）求证：BE平分∠CBA；（2）若AE＝2AF＝4，求BC的长．【分析】（1）连接OE，利用等腰三角形性质可得∠OBE＝∠OEB，根据切线性质可得∠AEO＝90°，推出∠C＝∠AEO，再利用平行线判定定理可得OE∥BC，由平行线性质可得∠OEB＝∠CBE，推出∠OBE＝∠CBE，即可证得结论；（2）设⊙O的半径为R，则OE＝OF＝R，由勾股定理得出（R+2）2＝42+R2，即可求出OE＝OF＝3，证明△OEA∽△BCA，得出比例线段OEBC【解答】（1）证明：连接OE，∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠AEO，∴OE∥BC，∴∠OEB＝∠CBE，∴∠OBE＝∠CBE，∴BE平分∠CBA；（2）解：∵AE＝2AF＝4，∴AF＝2，设⊙O的半径为R，则OE＝OF＝R，在Rt△AEO中，由勾股定理得：OA2＝AE2+OE2，即（R+2）2＝42+R2，解得：R＝3，∴BF＝6，∴OA＝OF+AF＝5，∵∠C＝∠OEA＝90°，∴OE∥BC，∴△OEA∽△BCA，∴OEBC∴3BC∴BC=24【点评】本题考查了平行线的性质和判定，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，运用切线性质及相似三角形的判定和性质是解此题的关键．17．（2023•武侯区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为CB上一点，且CF=CA，连接BF并延长交射线DC于点（1）求证：DE⊥BE；（2）若DC=53EC，DA＝2，求⊙O【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质解答即可；（2）设DC＝5a，则EC＝3a，DE＝8a，设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OD＝DA+OA＝2+r，DB＝2+2r，利用相似三角形的判定与性质列出比例式求得圆的半径和线段BE的长；连接AF，利用相似三角形的判定与性质证得△BAF∽△BDE，列出比例式求得BF，则EF＝BE﹣BF．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵CF=∴∠ABC＝∠EBC．∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC，∴∠OCB＝∠EBC，∴OC∥BE．∵ED为O的切线，∴OC⊥DE，∴DE⊥BE；（2）解：∵DC=5∴设DC＝5a，则EC＝3a，∴DE＝8a．设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OD＝DA+OA＝2+r，DB＝2+2r．∵OC∥BE，∴△DCO∽△DEB，∴DCDE∴5a8a∴r＝3．∴⊙O的半径为3；∴AB＝6，DB＝8．∵△DCO∽△DEB．∴OCBE∴BE=24连接AF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BE．∵DE⊥BE，∴AF∥DE，∴△BAF∽△BDE，∴BABD∴BF24∴BF=18∴EF＝BE﹣BF=6【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和线段AF是解决此类问题常添加的辅助线．18．（2023•甘井子区模拟）如图1，AB为⊙O直径，BC为弦，过点C作⊙O的切线，点D为切线上一点，点E为半径OB上一点，连接DE交BC于点F，且DC＝DF．（1）求证：∠AED＝90°；（2）如图2，延长DC交BA的延长线于点G，若E为OB的中点，DG＝10，DE＝6，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠DCF＝∠DFC，求得∠DCF＝∠BFE，于是得到结论；（2）连接OC，根据切线的性质得到∠OCG＝90°，由（1）知，∠DEG＝90°，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠OCB+∠DCB＝90°，∵DC＝DF，∴∠DCF＝∠DFC，∵∠DFC＝∠BFE，∴∠DCF＝∠BFE，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BFE+∠B＝90°，∴∠BEF＝90°，∴