第一章数学模型与建模概论教学提纲

数学模型与建模概论中国药科大学

言方荣等编制一、数学的重大作用计算机的迅速发展和普及，大大增强了数学解决现实问题的能力。数学向社会、经济和自然界各个领域的渗透，扩展了数学与实际的接触面。产生了如数量经济学、数学生态学、数学地质学、数学心理学和数学语言学等边缘学科知识经济时代——信息社会国家的繁荣富强，关键在于高新的科学技术和高效率的经济管理。高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学。数学的显著特点：思维的抽象性推理的严谨性结论的明确性应用的广泛性现代科技人员所应具备工作素质直观思维逻辑推理精确计算结论明确等如果没有一定的数学训练和数学应用基础是难以具备的。

如何应用数学来解决实际问题数学模型是应用数学知识和计算机解决实际问题的重要手段和桥梁。数学模型的广泛应用生理医药学家有了药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型，就可以分析药物的疗效，有效地指导临床用药城市规划工作者需要建立一个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型，为领导层对城市发展规划的决策提供科学根据厂长经理们要是能够根据产品的需求状况、生产条件和成本、贮存费用等信息，掌握了他们的工厂、企业的生产与销售的数学模型，他们就可以用计算机控制生产、销售以获取尽可能高的经济收益，增强他们的经济竞争力科学史上成功地应用数学的典范十七世纪伟大的科学家Newton在研究受迫运动时发明了微积分，并以此为工具建立了以三大运动定律与万有引力定律为核心的一个完整的力学理论体系，给出了地球表面和太阳系里一切宏观物体机械运动的一个数学模型。二、从现实对象到数学模型1．原型与模型我们经常使用模型的思想来认识世界和改造世界，而模型是针对原型而言的。原型是指人们在社会活动和生产实践中所关心和研究的实际对象。在科技领域常常用系统或过程等术语，如机械系统、电力系统、生态系统、交通系统、社会经济系统等;如导弹飞行过程、化学反应过程、人口增长过程、污染扩散过程等等。模型模型是人们对原型的近似抽象和描述。它是为了某个特定目的将原型的其一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。航空模型城市交通模型—城市交通图模型与原型的关系模型来源于原型，但它不是对原型简单的模仿，它是人们为了认识和理解原型而对它所作的一个抽象、升华。它就可以使我们通过对原型的分析研究加深对原型的理解和认识。2．模型的形式模型有各种形式用模型替代原型的方式来分类，模型可以分为物质模型(形象模型或具体模型）直观模型（缩尺模型）物理模型（模拟模型）等理想模型(抽象模型)思维模型符号模型数学模型等。三、数学模型数学模型是指通过抽象和简化，使用数学语言和方法对实际现象的一个近似刻划，以便于人仰更深刻地认识所研究的对象。是对现实对象的信息通过提炼、分析、归纳、翻译的结果。通过数学上的演绎推理和分析求解，使得我们能够深化对所研究的实际问题的认识。数学模型举例力学中著名的牛顿第二定律F=ma描述受力物体的运动规律描述人口增长规律的数学模型dN(t)/dt=rN(t)揭示人口成等比级数的增长的规律数学建模基础数学是人们掌握和使用数学模型这个工具的必要条件和重要的基础。广博的数学知识严格数理逻辑思维数学模型本身的数学特征等数学+计算机应用技术+应用专业知识+数模分析“用数学”与“学数学”数学模型是使用数学来解决实际问题的桥梁。对它的分析和研究的目的是解决实际问题。数学模型并不就是数学应用题，更不是套公式的问题。掌握使用数学去建立模型以解决实际问题所需的技能与理解数学概念、证明定理、求解方程所需的技巧也是迥然不同的。广义数学这里的数学是广义数学，不仅包括经典数学P，还包括统计学S、应用数学A、计算数学N等。P

ASN建立数学模型的全过程可分为表述、求解、解释、验证几个阶段，完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环

四、数学建模的方法和步骤1.建立数学模型的方法机理分析方法（演绎推理）是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义测试分析方法（归纳总结）内部机理无法直接寻求，可以测量系统的有关数据，并运用统计分析等方法，按照事先确定的准则求出数据拟合得最好的模型常将这两种方法结合起来进行建模用机理分析建立模型的结构，用测试分析确定模型的参数·2.数学建模的一般步骤模型准备↓模型假设↓模型构成↓模型求解↓

模型分析↓no模型检验↓yes

模型应用模型准备首先要了解问题的实际背景明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等尽量弄清对象的特征，由此初步确定用哪一类模型

模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化用精确的语言作出假设，是建模的关键作假设的依据出于对问题内在规律的认识来自对数据或现象的分析

模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，来构造模型方法尽量采用简单的数学工具

模型求解采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算、统计分析等各种传统的和近代的数学方法特别是应用计算机技术

模型分析对模型解答进行数学上的分析，常常需要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等·

模型检验把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。这一步对于建模的成败是非常重要的模型检验的结果如果不符合实际，问题通常出在模型假设上

模型应用

应用的方式取决于问题的性质建模的目的

用建模方法解决实际问题首先是用数学语言表述问题即构造模型其次才是用数学工具求解构成的模型数学建模的基础用数学语言表述问题，包括模型假设、模型构造等，需要广博的知识(包括数学知识和各种实际知识)足够的经验丰富的想象力敏锐的洞察力直觉和灵感五、数学模型的分类数学模型可以按照不同的方式分类按照模型的应用领域分类如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、再生资源利用模型、污染模型等范畴更大一些则形成许多边缘学科，如生物数学、医药数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等·按照建立模型的数学方法分类初等数学模型几何模型微分方程模型统计模型图论模型马氏链模型规划论模型等按照模型的表现特性分类确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化·线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系离散模型和连续模型取决于模型中变量(主要是时间变量)的取值按照建模目的分类描述模型分析模型预报模型优化模型决策模型控制模型等按照对模型结构了解程度分类白箱模型:通常是指一些机理已较为清楚的问题，如力学、电学、机械等学科所研究的问题。这类模型模型大多已基本确定，主要研究的是如何优化设计和控制的问题。灰箱模型:于白箱模型和黑箱模型之间的是灰箱模型，主要是指经济、气象、生态、地质等领域的问题。黑箱模型:主要是指生命、医学、心理、社会等领域机理不清楚的问题。六、数学模型课与能力培养数学建模课的开设目的是为了把学生学习过的和将在本课程中学习的数学方法和知识与周围的现实世界联系起来，甚至和少数真正的实际应用问题联系起来，不仅使学生知道数学有用、怎样用，更知道在真正的应用中还要继续学习。努力培养学生的有关能力1.培养“翻译”的能力，即把经过一定抽象简化的实际问题用数学的语言表达出来形成数学模型，对数模结果