数学分析第十四章课件傅里叶级数知识分享

第十四章Fourier级数两类重要的函数项级数幂级数三角级数问题三角级数收敛？表示的函数给定函数能否用三角级数表示研究函数满足什么条件，可以展开成三角级数若可以展开，展开式是什么形式？一、三角函数系的正交性§14.1三角级数与Fourier级数1、三角函数系：（正交系）定理14.1三角函数系中任意两个不同的函数的乘积，在区间上的积分为0，即：设在绝对可积记为

2）常数项写成是为了与的表达式统一说明：1）上式不能写成等号定义14.1若在有界，则表示可积若在无界，则表示绝对可积称为的傅立叶级数。例1，求其傅立叶级数。解：由于为奇函数知，看P118图

例2解：看P118图由于f(x)为奇函数知，，求其傅立叶级数。例3，求其傅立叶级数。解：看P118图例4，求其傅立叶级数。看P118图解：看P119图由于f(x)为偶函数知，

f(x)可展开成它的Fourier级数的条件：即上式划“等号”的条件按函数项级数收敛的定义，考察Fourier级数的部分和：方法：给出部分的一个表达式§14.2

Fourier级数的收敛性设记把：

代入上式，得:

称为Dirichlet积分在上述积分中，令t=u–x

得在（1）中取得:先看是否逐点收敛？，即取其中综上：Fourier级数在使以下的极限式成立：当上式成立时，的Fourier级数在点收敛于S是否收敛,归结为：能否取到适当的S，将（*）分成两部分后一积分的处理用下面：引理1若在绝对可积，则若以为周期。且在绝对可积，则的Fourier系数，当时趋向于0，即推论：若以为周期，在绝对可积，则的Fourier级数在点的收敛与发散，只与函数在附点的值有关证明：定理14.2不妨设由Riemam引理知所以：的fourier级数在是收敛与发散当时收敛与发散当时的收敛的与发散在的性质进一步可以证明：当时，的收敛情况相同：叙述的事实现在给出fourier级数收敛性判别法：积分收敛与发散性与（Dini判别法）若能取到合适的S使函数满足：在某个绝对可积，即存在,的fourier级数在点收敛于S,即设以为周期，在绝对可积，定理14.3则下面讨论S的选取：有以下两种常见情况：在连续，取S=则这时只要右边两项在绝对可积，就有的fourier级数,注意到:由比较判别法，要在绝对可积，只需趋于0的速度足够快即可，这就是Th14.4.（1）收敛到（2）在是第一类间断或可去间断，即存在，取类似（1）的讨论：只需

足够快便有的级数在点收敛到

定理14.4（Lipschitz判别法）P127若以为周期，在绝对可积，且满足阶的Lipschitz条件，即存在与常数,使得则的级数在点收敛到推论1且在点可导，或存在,则的级数在点收敛到上面的讨论推广到在是第一类间断点或可去间断点的情形在逐段可微：P128：1.每个小开区间可导2.存在3.广义左右微商存在，即逐段光华综合：得：若以为周期，在绝对可积，P128若在逐段可微，则的级数

为的连续点为的不连续点。级数同理在点收敛到同一数。点的收敛情况：点：说一下：在定理14.5（P116例2）：

看P130图（P115例1）

例1例2看P131图例3求其展开式。解：1）.画图系数。为偶函数，2）.求

3）.

4）.由于函数处处连续，逐段可微，故在上式中取得：

例4.（P117例4）求其傅立叶级数.解：由于函数处处连续，逐段可微，故例5

.(P134)求其傅立叶级数。解：由于函数处处连续，逐段可微，故P136（逐项积分）在除有限个可去间断点定理14.6或第一类间断点外是连续的，且，则设以为周期，在绝对可积。做变换，则是以其中：这就是周期为的函数的Fourier级数。为周期的函数，用前面的讨论得：§14.3任意区间上的Fourier级数上面的方法：的函数以周期为另外的方法：沿用研究周期为展开的方法。在（或任意长度为的区间）是正交的。的函数。易证：以周期为的函数的Fourier一般一个函数只给出了有限区间一个周期函数，那么能否考虑它的Fourier展开呢？可以,只要把函数按周期延拓到整个数轴即可，下面两个常用（有用）的延拓方法。上的定义不能说它是例：不妨设定义。给出定义使为偶函数，再把按为周期沿拓到整个数轴，这时：

一．偶延拓：为的连续点为的间断点二．奇延拓：定义使为奇函数，再把按为周期沿拓到整个数轴，这时：

给出为的连续点为的间断点例1.

将函数按余弦展开。解:根据偶延拓计算傅立叶系数因此例2.将函数按正弦展开。根据奇延拓计算傅立叶系数解:因此内容小结1.周期为2

的函数的傅里叶级数及收敛定理其中注意:若

为间断点,则级数收敛于2.周期为2

的奇、偶函数的傅里叶级数奇函数正弦级数偶函数余弦级数3.在[0,]上函数的傅里叶展开法作奇周期延拓,展开为正弦级数作偶周期延拓,展开为余弦级数习题1.设

f(x)

是周期为2

的周期函数,它在上的表达式为解:

先求傅里叶系数将f(x)

展成傅里叶级数.2.上的表达式为将f(x)

展成傅里叶级数.解:

设

f(x)

是周期为2

的周期函数,它在说明:

当时,级数收敛于3.

将函数则解:

将f(x)延拓成以展成傅里叶2

为周期的函数F(x),利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当x=0

时,f(0)=0,得说明:4.

设的表达式为f(x)＝x,将f(x)

展成傅里叶级数.是周期为2

的周期函数,它在解:

若不计周期为2

的奇函数,因此n＝1根据收敛定理可得f(x)

的正弦级数:级数的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)

的情况见右图.n＝55.将周期函数展成傅里叶级数,其中E为正常数.解:是周期为2

的补充题1.

将函数展成余弦级数.解:

先求正弦级数.去掉端点,将f(x)

作奇周期延拓,作偶周期延拓,对2.

设又设求当的表达式.解:

由题设可知