甘肃省兰州市榆中县2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省兰州市榆中县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列说法错误的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形2．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．2x﹣1＝4 B．xy+x＝3 C． D．x2﹣2x+1＝03．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（）A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝94．（3分）如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B＝25°，则∠ADC的度数为（）A．50° B．48° C．55° D．25°5．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣3m＝0的常数项为0，则m的值为（）A．3 B．0 C．3或0 D．26．（3分）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）A． B． C． D．7．（3分）如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是正方形内的一点，且△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF的长是（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.58．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有解，那么m的取值范围是（）A．m＞ B．m≥ C．m＞且m≠2 D．m≥且m≠29．（3分）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（）A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球10．（3分）如图，四边形ABCD和四边形AEFC都是矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1，S2，则S1和S2的大小关系是（）A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．5S1＝4S211．（3分）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为x步，可列方程为（）A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．2x+2（x+12）＝864 D．2x+2（x﹣12）＝86412．（3分）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（）A． B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则m的值为．14．（3分）如图，菱形ABCD的面积为24，AC＝8，则菱形的边长为．15．（3分）一个不透明的袋子里装有红球和白球共m个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计汇总数据如下表：摸球次数3006009001500摸到白球的频数123247365606摸到白球的频率0.4100.4120.4060.404已知袋子里白球有10个，根据表格信息，可估计m的值为．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，R和P分别是DC，BC上的点，E和F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，CR＝2时，线段EF的长是．三、解答题（共72分）17．（4分）解方程：4x2﹣（3x+1）2＝0．18．（4分）解方程：2x2﹣6x+3＝0．19．（5分）如图所示在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，且∠BAE：∠EAD＝1：2，若BC＝3，求AE的长．20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值；（2）在（1）的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．21．（6分）某校为纪念历史，缅怀先烈，举行以“致敬抗美援朝，争做时代新人”为主题的故事会，校团委将抗美援朝中四位历史英雄人物头像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和头像外其余完全相同），活动时先将四张卡片背面朝上洗匀放好，再从中随机抽取一张，记下卡片上的英雄人物，然后放回．学生根据所抽取的卡片来讲述他们波澜壮阔、可歌可泣的历史事迹．请用列表或画树状图的方法求小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率．22．（6分）如图所示，在长和宽分别为a，b的矩形纸片的四个角上都剪去一个边长为x的正方形．（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积．（2）当a＝6，b＝4时，且剩余部分的面积是剪去部分面积的2倍时，求正方形的边长．23．（6分）如图，点E是平行四边形ABCD中边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．连接AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．24．（6分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？25．（6分）劳动教育具有树德、增智、强体、美育的综合育人价值观，有利于学生树立正确的劳动价值观，某学校为了了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图，根据题中已有信息，解答下列问题：（1）m＝，a＝；（直接写出答案）（2）该校学生有1200人，试估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有多少人？（3）劳动时间在2.5≤t≤3范围的学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．劳动时间t（单位：小时）频数0.5≤t＜1121≤t＜1.5a1.5≤t＜2282≤t＜2.5162.5≤t＜3426．（7分）如图，点A，B，C，D在同一直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝CD．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD＝7cm，DC＝2cm，∠EBD＝60°，BE＝3cm，求证：四边形BFCE是菱形．27．（8分）晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+4）＝6．解：原方程可变形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．直接开平方并整理，得．我们称晓东这种解法为“平均数法”．（1）下面是晓东用“平均数法”解方程（x+2）（x+6）＝5时写的解题过程．解：原方程可变形，得[（x+□）﹣〇][（x+□）+〇]＝5．（x+□）2﹣〇2＝5，（x+□）2＝5+〇2．直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤．上述过程中的“□”，“〇”，“☆”，“¤”表示的数分别为，，，．（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣3）（x+1）＝5．28．（9分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE+GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求直角梯形ABCD的面积．

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．A．2．D．3．D．4．A．5．B．6．A．7．C．8．D．9．B．10．B．11．A．12．B．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．﹣4．14．5．15．25．16．．三、解答题（共72分）17．解：4x2﹣（3x+1）2＝0，（2x﹣3x﹣1）（2x+3x+1）＝0，（﹣x﹣1）（5x+1）＝0，﹣x﹣1＝0或5x+1＝0，x1＝﹣1，x2＝﹣．18．解：解法1：∵a＝2，b＝﹣6，c＝3∴x＝∴x1＝，x2＝；解法2：x2﹣3x+3＝x2﹣3x+＝+（x）2＝x＝∴x1＝，x2＝．19．解：∵∠BAE：∠EAD＝1：2，∠BAD＝90°，∴∠BAE＝30°，∠DAE＝60°，∵AE⊥BD，∴∠ADB＝30°，∴AE＝AD＝BC＝．20．解：∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝8﹣4m＞0，解得m＜2，故整数m的最大值为1；（2）∵m＝1，∴此一元二次方程为：x2﹣2x+1＝0，∴x1+x2＝2，x1x2＝1，∴x12+x22﹣x1x2＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝8﹣3＝5．21．解：列表如下：共有16种等可能的结果数，其中小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的结果有4种，所以小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物概率为＝．22．解：（1）由题意可知纸片剩余部分的面积：ab﹣4x2；（2）由题意得：ab﹣4x2＝2×4x2，将a＝6，b＝4，代入上式，得：6×4﹣4x2＝2×4x2，x2＝2，解得x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去）．答：正方形的边长．23．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE．又∵BE＝CE∴△AEB≌△FEC（AAS），∴AE＝FE，∴四边形ABFC是平行四边形．∵∠AEC＝2∠ABE，∠AEC＝∠ABE+∠BAE，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE，∴AF＝BC，∴平行四边形ABFC是矩形．24．解：设每个商品的定价是x元，由题意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]＝2000，整理，得x2﹣110x+3000＝0，解得x1＝50，x2＝60．当x＝50时，进货180﹣10（50﹣52）＝200个＞180个，不符合题意，舍去；当x＝60时，进货180﹣10（60﹣52）＝100个＜180个，符合题意．答：当该商品每个定价为60元时，进货100个．25．解：（1）由题意得，m＝12÷15%＝80，a＝80﹣12﹣28﹣16﹣4＝20．故答案为：80；20．（2）1200×＝300（人）．∴估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生约有300人．（3）列表如下：男男女女男（男，男）（男，女）（男，女）男（男，男）（男，女）（男，女）女（女，男）（女，男）（女，女）女（女，男）（女，男）（女，女）共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，∴抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为．26．证明：（1）在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴BE＝FC，∠ABE＝∠DCF，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥FC，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）∵AD＝7cm，DC＝2cm，AB＝DC，∴AB＝2cm，∴BC＝7﹣2﹣2＝3（cm），∵BE＝3cm，∴BC＝BE，∵∠EBD＝60°，∴∠BCE＝∠BEC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴BE＝CE，∵四边形BFCE是平行四边形（已证），∴四边形BFCE是菱形．27．解：（1）4，±2，﹣1，﹣7（最后两空可交换顺序）；故答案为：4，±2，﹣1，﹣7；（2）（x﹣3）（x+1）＝5；原方程可变形，得[（x﹣1）﹣2][（x﹣1）+2]＝5，整理得：（x﹣1）2﹣22＝5，（x﹣1）2＝5+22，即（x﹣1）2＝9，直接开平方并整理，得x1＝4，x2＝﹣2．28．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠FDC＝90°．∴∠B＝∠FDC，∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE＝CF．（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF．由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF．∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．∵CE＝CF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG．∴GE＝GF，∴GE＝GF＝DF+GD＝