2025高考数学一轮复习-对点练70 分类加法计数原理与分步乘法计数原理【含答案】

对点练70分类加法计数原理与分步乘法计数原理【A级基础巩固】1.每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有()A.22种 B.33种C.300种 D.3600种2.将3张不同的冬奥会门票分给10名同学中的3人，每人1张，不同的分法种数为()A.720 B.240C.120 D.603.某省新高考采用“3＋1＋2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目.已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有()A.4种 B.6种C.8种 D.12种4.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A.3 B.4C.6 D.85.中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种，其相互关系是“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”.将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为()A.8 B.10C.15 D.206.如图所示，某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，每座桥只能连通两个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是()A.8 B.12C.16 D.247.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是()A.120 B.140C.240 D.2608.(多选)现有4个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人，则下列说法正确的是()A.选1人为负责人的选法种数为34B.每组选1名组长的选法种数为5400C.若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为420D.若另有3名学生加入这4个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有37种9.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是________.10.乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3＋b4)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后的项数为________.11.4张卡片的正、反面分别写有0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成________个不同的三位数.12.(2024·青岛调研)甲与其他四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为________.【B级能力提升】13.如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()A.5 B.8C.10 D.1514.(2023·湖北名校联考)设集合A＝{1，2，…，2023}，S＝{(A1，A2，…，A100)|A1⊆A2⊆…⊆A100⊆A}，则集合S的元素个数为()A.Ceq\o\al(100,2023) B.Ceq\o\al(101,2023)C.1002023 D.101202315.(2024·衡水调研)用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为________种.设a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有______对点练70分类加法计数原理与分步乘法计数原理答案1．B[从甲地到乙地不同的方案数为5＋10＋6＋12＝33.]2．A[可分三步：第一步，第1张门票有10种不同的分法；第二步，第2张门票有9种不同的分法；第三步，第3张门票有8种不同的分法，由分步乘法计数原理得，共有10×9×8＝720种不同分法．]3．B[根据题意得，分两步进行分析：①小明必选化学，则必须在思想政治、地理、生物中再选出1个科目，选法有3种；②小明在物理、历史科目中选出1个，选法有2种．由分步乘法计数原理知，小明可选择的方案共有3×2＝6(种)．]4．D[以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9；把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，∴所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．]5．B[由题意知，可看作五个位置排列五个元素，第一个位置有5种排列方法，不妨假设是金，则第二个位置只能从土与水两者中选一种排放，有2种选择，不妨假设排的是水，则第三个位置只能排木，第四个位置只能排火，第五个位置只能排土，因此，总的排列方法种数为5×2×1×1×1＝10.]6．B[四个人工小岛分别记为A，B，C，D，对A分有一座桥相连和两座桥相连两种情况，用“—”表示桥．①当A只有一座桥相连时，有A—B—C—D，A—B—D—C，A—C—B—D，A—C—D—B，A—D—B—C，A—D—C—B，共6种方法；②当A有两座桥相连时，有C—A—B—D，C—A—D—B，D—A—B—C，D—A—C—B，B—A—C—D，B—A—D—C，共6种方法．故设计方案最多有6＋6＝12(种)．]7．D[由题意，先涂A处，有5种涂法；再涂B处4种涂法；第三步涂C，若C与A同色，则D有4种涂法；若C与A不同色，则D有3种涂法，由此得不同的着色方案有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)．]8．AD[对于A，4个数学课外兴趣小组共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故选1人为负责人的选法共有34种，A正确；对于B，分四步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选1名组长，所以不同的选法共有7×8×9×10＝5040(种)，B错误；对于C，分六类：从第一、二组中各选1人，有7×8种不同的选法；从第一、三组中各选1人，有7×9种不同的选法；从第一、四组中各选1人，有7×10种不同的选法；从第二、三组中各选1人，有8×9种不同的选法；从第二、四组中各选1人，有8×10种不同的选法；从第三、四组中各选1人，有9×10种不同的选法．所以不同的选法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)，C错误；对于D，若不考虑限制条件，每个人都有4种选法，共有43＝64(种)选法，其中第一组没有人选，每个人都有3种选法，共有33＝27(种)选法，所以不同的选法有64－27＝37(种)，D正确．]9．36[因为a＋bi为虚数，所以b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．]10．60[从第一个括号中选一个字母有3种方法，从第二个括号中选一个字母有4种方法，从第三个括号中选一个字母有5种方法，故根据分步乘法计数原理可知共有N＝3×4×5＝60(项)．]11．168[要组成三位数，根据百位、十位、个位应分三步：第一步：百位可放8－1＝7个数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数．故由分步乘法计数原理，得共可组成7×6×4＝168(个)不同的三位数．]12．80[5日至9日，日期尾数分别为5，6，7，8，9，有3天是奇数日，2天是偶数日．第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有2×2＝4(种)用车方案；第二步，安排奇数日出行，分两类，第一类，选1天安排甲的车，另外2天安排其他车，有3×2×2＝12(种)用车方案，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有23＝8(种)用车方案，共计12＋8＝20(种)用车方案．根据分步乘法计数原理可知，不同的用车方案种数为4×20＝80.]13．C[满足条件1≤i<j<k≤12，k－j＝3且j－i＝4的(i，j，k)有(1，5，8)，(2，6，9)，(3，7，10)，(4，8，11)，(5，9，12)，共5个；满足条件1≤i<j<k≤12，k－j＝4且j－i＝3的(i，j，k)有(1，4，8)，(2，5，9)，(3，6，10)，(4，7，11)，(5，8，12)，共5个．所以一共有10个．]14．D[对任意i∈[1，2023]，在A1，A2，…，A100中的从属关系有以下101种：(1)i∈A1，i∈A2，i∈A3，…，i∈A100；(2)i∉A1，i∈A2，i∈A3，…，i∈A100；(3)i∉A1，i∉A2，i∈A3，…，i∈A100；…；(101)i∉A1，i∉A2，i∉A3，…，i∉A100.由分步乘法计数原理知，集合S中共有1012023个元素．故选D.]15．10[依题意，第1个格子必须为黑色，则出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子包含的情况有：①全染黑色，有1种方法；②第1个格子染黑色，另外4个格子中有1个格子染白色，剩余的都染黑色，有Ceq\o\al(1,4)＝4种方法；③第1个格子染黑色，另外4个格子中有2个格子染白色，2个格子染黑色，具体分为若第3个格子染白色，则第2个格子染黑色，剩余的格子1白1黑，有Ceq\o\al(1,2)种方法；若第3个格子染黑色，则另外3个格子中有2个格子染白色，剩余的染黑色，有Ceq\o\al(2,3)种方法，故有Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,3)＝5种方法．所以出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法有1＋4＋5＝10种．]16．27[先考虑等边