大一期末离散数学试卷

大一期末离散数学试卷一、选择题

1.在集合论中，一个集合A的幂集是指包含A的所有子集的集合，下列说法正确的是（）

A.A的幂集一定包含A

B.A的幂集一定不包含A

C.A的幂集的元素个数是2的A的元素个数次方

D.A的幂集的元素个数是A的元素个数次方

2.在图论中，一个无向图G的度数序列是指图中所有顶点的度数按升序排列组成的序列，下列说法正确的是（）

A.图G的度数序列中一定包含0

B.图G的度数序列中一定包含正整数

C.图G的度数序列中一定包含负整数

D.图G的度数序列中一定包含0和正整数

3.在离散数学中，下列哪个概念不属于逻辑命题的运算（）

A.合取

B.析取

C.蕴含

D.概率

4.在图论中，一个连通图是指对于图中的任意两个顶点，都存在一条路径连接它们，下列说法正确的是（）

A.连通图的顶点数必须大于等于2

B.连通图的边数必须大于等于2

C.连通图的边数必须大于顶点数

D.连通图的顶点数必须大于边数

5.在离散数学中，下列哪个概念不属于关系（）

A.等价关系

B.传递关系

C.自反关系

D.概率关系

6.在组合数学中，从n个不同元素中取出k个元素的组合数记为C(n,k)，下列说法正确的是（）

A.C(n,k)=C(n,n-k)

B.C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)

C.C(n,k)=n!

D.C(n,k)=(n+k)!

7.在图论中，一个无向图G的连通分量是指G中所有顶点通过边相互连接的子图，下列说法正确的是（）

A.连通分量的顶点数必须大于等于2

B.连通分量的边数必须大于等于2

C.连通分量的边数必须大于顶点数

D.连通分量的顶点数必须大于边数

8.在离散数学中，下列哪个概念不属于集合的运算（）

A.并集

B.交集

C.补集

D.概率

9.在图论中，一个无向图G的连通度是指G中任意两个顶点之间的最短路径长度，下列说法正确的是（）

A.连通度必须大于等于0

B.连通度必须小于等于n-1

C.连通度必须大于等于n

D.连通度必须小于等于n-2

10.在组合数学中，从n个不同元素中取出k个元素的排列数记为P(n,k)，下列说法正确的是（）

A.P(n,k)=C(n,k)

B.P(n,k)=n!

C.P(n,k)=(n-k)!

D.P(n,k)=n!/(n-k)!

二、判断题

1.在集合论中，如果一个集合A是另一个集合B的子集，那么A的基数一定小于或等于B的基数。（）

2.在图论中，一个图是无向图当且仅当图中任意两个顶点之间都存在一条边。（）

3.在离散数学中，一个命题的否定是另一个命题，它们的真值表是互补的。（）

4.在组合数学中，组合数C(n,k)和排列数P(n,k)是相等的。（）

5.在图论中，一个图是连通的，当且仅当它包含一个包含所有顶点的环。（）

三、填空题

1.在图论中，一个顶点的度定义为连接该顶点的边的数量，一个无向图G中顶点v的度可以用公式______表示。

2.在集合论中，一个集合A的幂集的基数是______，因为它包含A的所有子集。

3.在离散数学中，逻辑运算“与”的结果为真当且仅当两个命题都为______。

4.在组合数学中，从n个不同元素中取出k个元素的组合数C(n,k)可以用公式______计算。

5.在图论中，一个连通图的最小生成树是指一棵包含图中所有顶点的最小权重的树，其边数通常是______。

四、简答题

1.简述集合论中“笛卡尔积”的概念及其在离散数学中的应用。

2.解释图论中“路径”和“回路”的区别，并举例说明。

3.阐述逻辑命题的“否定”运算，并说明其与原命题之间的关系。

4.在组合数学中，为什么组合数C(n,k)与排列数P(n,k)之间存在着递推关系？请给出具体的递推公式。

5.简要介绍图论中的“连通度”概念，并说明如何计算一个图的最小连通度。

五、计算题

1.计算集合A={1,2,3,4,5}和集合B={2,4,6,8}的笛卡尔积A×B。

2.给定一个图G，其顶点集合V={A,B,C,D}，边集合E={(A,B),(B,C),(C,D),(D,A)}，计算图G的度数序列。

3.判断以下命题的真假，并给出理由：

(p∧q)∨(¬p∧¬q)

其中，p和q是两个逻辑命题。

4.计算从5个不同的数字中取出3个数字的组合数C(5,3)。

5.设图G是一个有向图，其顶点集合V={A,B,C,D}，边集合E={(A,B),(B,C),(C,D),(D,A),(A,C),(B,D)}，计算图G的最小生成树。

六、案例分析题

1.案例背景：某电子商务公司在设计其产品推荐系统时，需要考虑如何有效地推荐用户可能感兴趣的商品。为了实现这一目标，公司决定使用图论中的“相似度”概念来衡量商品之间的关联性。

案例分析：

（1）假设公司数据库中有以下商品及其属性：商品A（类型：电子产品，品牌：苹果），商品B（类型：电子产品，品牌：三星），商品C（类型：电子产品，品牌：苹果），商品D（类型：书籍，品牌：亚马逊），商品E（类型：书籍，品牌：亚马逊）。

（2）请设计一个算法来计算商品之间的相似度，并利用这个相似度来构建一个推荐图。

（3）根据构建的推荐图，分析如何向用户推荐商品。

2.案例背景：一个在线教育平台需要为用户设计一个学习路径规划系统，以便用户可以根据自己的学习目标和进度选择合适的课程。

案例分析：

（1）假设该平台上有以下课程：课程A（数学），课程B（物理），课程C（化学），课程D（英语），课程E（编程）。

（2）请根据课程之间的依赖关系设计一个课程图，其中课程之间的依赖关系可以用有向边表示。

（3）分析如何根据学生的选择和学习进度，在课程图中找到一条有效的学习路径。

七、应用题

1.应用题：某城市交通规划部门正在设计一个新的公共交通系统，该系统由多个公交站和连接这些站点的线路组成。为了评估系统的效率，需要计算从一个公交站到另一个公交站的最短路径。假设公交站用顶点表示，线路用边表示，边上的权重代表线路的长度。给定以下图G的顶点集合V={A,B,C,D,E}和边集合E={(A,B,5),(B,C,3),(C,D,2),(D,E,4),(A,C,7),(B,D,6)},请计算从顶点A到顶点E的最短路径。

2.应用题：在一个社交网络中，每个用户都可以与其他用户成为朋友。这种关系可以用无向图表示，其中顶点代表用户，边代表朋友关系。假设有一个包含100个用户的社交网络，每个用户最多有20个朋友。请设计一个算法来找出网络中所有包含至少3个共同朋友的用户对，并计算这样的用户对的数量。

3.应用题：一个图书馆需要为其书籍分类系统设计一个编码方案。每个书籍都有一个唯一的标识符，这个标识符由字母和数字组成。假设图书馆的书籍标识符遵循以下规则：每个标识符由3个字母后跟4个数字组成，字母可以是任意大小写，数字可以是0到9。请计算所有可能的书籍标识符的总数。

4.应用题：一个在线考试系统需要检查学生答案的正确性。系统提供了一组题目，每道题目都有一个正确答案。假设题目集合Q包含10道题目，每道题目的正确答案是一个字母（A到E）。请设计一个算法来生成所有可能的答案组合，并计算这些组合的总数。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.C.A的幂集的元素个数是2的A的元素个数次方

2.D.图G的度数序列中一定包含0和正整数

3.D.概率

4.A.连通图的顶点数必须大于等于2

5.D.概率关系

6.A.C(n,k)=C(n,n-k)

7.D.连通分量的顶点数必须大于边数

8.D.概率

9.B.连通度必须小于等于n-1

10.D.P(n,k)=n!/(n-k!)

二、判断题

1.×

2.×

3.√

4.×

5.×

三、填空题

1.deg(v)

2.2^n

3.真

4.C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)

5.n-1

四、简答题

1.笛卡尔积是指两个集合的有序对组成的集合，它广泛应用于数据库查询、关系表示等领域。

2.路径是图中的顶点序列，其中任意两个相邻顶点之间都有一条边相连；回路是路径，且第一个和最后一个顶点相同。

3.命题的否定是指将原命题的真值取反，它们的真值表是互补的，即原命题为真时，其否定为假，反之亦然。

4.组合数C(n,k)与排列数P(n,k)之间存在递推关系：C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)。

5.连通度是指图中任意两个顶点之间的最短路径长度，最小连通度可以通过寻找最小生成树来计算。

五、计算题

1.A×B={(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8)}

2.度数序列：[1,3,2,3,1]

3.命题的真假：假，因为(p∧q)∨(¬p∧¬q)与(p∨q)∧(¬p∨¬q)的真值表不同。

4.C(5,3)=10

5.最小生成树：{(A,C),(C,D),(D,A),(A,B),(B,C)}

六、案例分析题

1.（1）算法设计：计算商品A与B的相似度：sim(A,B)=1/2，计算商品A与C的相似度：sim(A,C)=1，构建推荐图。

（2）分析：根据相似度推荐商品A给用户，推荐商品C给用户。

2.（1）课程图设计：根据课程依赖关系构建有向图。

（2）分析：根据学生的选择和学习进度，在课程图中找到一条路径，确保所有依赖关