2025广东《高考总复习核按钮 数学》课件 第九章 概率与统计

第九章

概率与统计9.1

随机抽样与用样本估计总体课程标准必备知识自主评价核心考点课外阅读课时作业

1.知道获取数据的基本途径，包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.

2.了解总体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性.

3.通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法.会计算样本均值和样本方差，了解样本与总体的关系.

4.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.

5.在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题.

6.能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性.

7.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数的统计含义.

8.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义.

9.结合实例，能用样本估计总体的取值规律.

10.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.【教材梳理】

1.简单随机抽样

（1）特点：逐个抽取，且每个个体被抽取的概率______.

（2）常用方法：________和__________.

（3）适用范围：个体性质相似，无明显层次，且个体数量较少，尤其是样本容量较少.相等抽签法随机数法

2.分层随机抽样

（1）定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行______________，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为______________，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为__________.

（2）适用范围：总体可以分层，且层与层之间有明显区别，而层内个体差异较小.

（3）平均数的计算：各层抽样比乘____________的和.简单随机抽样分层随机抽样比例分配各层平均数

求极差决定组距与组数列频率分布表面积面积的总和小于或等于

平均数四等份四分位数第一四分位数上四分位数

最多平均值

平均数中位数众数

越大越小常用结论

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.

(

)

×（2）在分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.

(

)

×

×（4）一组数据的众数可以是一个或几个，中位数也具有相同的结论.

(

)

×（5）在频率分布直方图中,最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.

(

)

√

√√√

3.（教材题改编）某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为____分.95

4.（教材题改编）一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18，则该组数据的第75百分位数为_____.14.5

考点一

随机抽样例1

【多选题】某学生社团有男生32名，女生24名，从中随机抽取一个容量为7的样本，某次抽样结果为：抽到3名男生和4名女生，则下列说法正确的是

(

)

A.这次抽样可能采用的是抽签法B.这次抽样不可能是按性别比例分配的分层随机抽样C.这次抽样中，每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率D.这次抽样中，每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率√√

变式1

为响应“强身健体，智慧学习”倡议，复兴中学开展了一次学生体质健康监测活动.已知高三（2）班有50名学生，其中男生28人，女生22人，按性别比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为25的样本.（1）女生应抽取____人；11

54.5考点二

用样本估计总体命题角度1

总体取值规律的估计

√√√

【点拨】①在频率分布直方图中，每个小矩形的面积就是相应的频率或概率，所有小矩形的面积之和为1.②频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，并不是频率，不要和条形图混淆.

7

（2）（2021年全国甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如右频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(

)

√

命题角度2

总体百分位数的估计例3（1）

“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：借书数量/本5678910频数/人58131194则这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数）是

(

)

A.8

B.8.5

C.9

D.10

√（2）某大型联考有16

000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩不低于515分的人数至少有

(

)

A.6

000人

B.6

240人

C.6

300人

D.6

400人

√

变式3（1）

某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是_____.92.5

A.12

B.11

C.10

D.9

√命题角度3

总体集中趋势的估计例4

【多选题】某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列说法正确的是

(

)

A.中位数为70

B.众数为75C.平均数为68.5

D.平均数为70√√√

√

命题角度4

总体离散程度的估计

6050406070807030509040605080805060208070（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；

（3）果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果,分析选种哪个品种更合适?并说明理由.

12345678910545533551522575544541568596548536527543530560533522550576536

课外阅读·社会民生中的数据分析

生活生产中处处有数学，高考强化数学应用，关注社会民生，统计中体现得更为明显.统计图表中除了茎叶图、散点图、频率分布直方图、折线图外，扇形统计图、雷达图、等高条形图、柱形图等也是近年高考热点.难度不高，多与实际生活结合紧密，考查考生阅读理解能力及数据分析核心素养，考查应用意识.一般只要仔细读题、分析，即可解决.

A.从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大B.从2018年开始，进出口总额逐年增大C.从2018年开始，进口总额逐年增大D.从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小√解：显然2021年相对于2020年进出口总额增加特别明显，故2021年的增长率最大，A正确.统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B正确.2020年相对于2019年的进口总额减少，故C错误.2021年的进出口总额增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，且计算增长率时前者的分母更大，故2020年的增长率一定最小，D正确.故选C.2.【多选题】人均消费支出是社会需求的主体，是拉动经济增长的直接因素，是体现居民生活水平和质量的重要指标.2022年一季度和2023年一季度我国居民人均消费支出分别为6

393元和6

738元，图1、图2分别为2022年一季度

和2023年一季度居民人均消费支出构成分布图，则

(

)

√√

【巩固强化】1.我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人、3岁以下婴幼儿照护等七项专项附加扣除.某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为(

)

A.8

B.10

C.12

D.18

√

√

√√

√√

5.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如下图，则下列说法正确的是

(

)

√

6.有5人进行定点投篮游戏，每人投篮12次.这5人投中的次数形成一组数据，中位数为10，唯一众数为11，极差为3，则该组数据的第60百分位数是

(

)

A.9

B.10

C.10.5

D.11

√

5

8.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图.

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

【综合运用】9.【多选题】2022年北京某高校毕业生中，有本科生2

971人，硕士生2

527人，博士生1

467人，毕业生总体充分实现就业，就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提升.如图，下列说法正确的是

(

)

√√√

10.如图所示的三个统计图分别是随机抽查甲、乙、丙三地的若干个家庭教育年投入（万元），记A表示众数，B表示中位数，C表示平均数，则根据图表提供的信息，下面的结论正确的是(

)

√解：由甲地的条形图，可知家庭教育年投入的中位数为10万元，众数为10万元，平均数为10.32万元.由乙地的折线图，可知家庭教育年投入的中位数为10万元，众数为10万元，平均数为9.7万元.由丙地的扇形图，可知家庭教育年投入的中位数为12万元，众数为12万元，平均数为12.4万元.结合选项，可知C正确.故选C.

946

经济作物质量指标区间甲品种/份26244820乙品种/份28384210

（2）该经济作物按其质量指标值划分等级如下表：质量指标值作物等级二级一级特级102050现利用样本估计总体，试从样本利润平均数的角度分析该村村民种植哪个品种的经济作物获利更多.

【拓广探索】

A.50

B.60

C.70

D.80

√第九章

概率与统计9.2

成对数据的统计分析课程标准必备知识自主评价核心考点课时作业

【教材梳理】

相关关系散点图

③正相关与负相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现______的趋势,我们就称这两个变量正相关;如果当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现______的趋势,则称这两个变量负相关.

④线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在__________附近，我们称这两个变量线性相关.如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量____________或__________.增加减少一条直线非线性相关曲线相关

样本相关系数

越强越弱

因变量响应变量自变量解释变量截距参数斜率参数随机误差

经验回归方程最小二乘法最小二乘估计

观测值预测值

带状区域越窄残差平方和越小越好越差

3.列联表与独立性检验

（1）分类变量与列联表.

①分类变量：为了表述的方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为__________.分类变量

合计____________合计____________

越大

零假设

独立性检验

④临界值表.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8281.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.

(

)

√（2）经验回归直线一定过成对样本数据的中心点，且中心相同的样本点的经验回归方程一定相同.

(

)

×（3）两个变量的样本相关系数越小,它们的相关性越弱.

(

)

×

×

√

1401501701801952324262828

√

√

合计2173222547合计46120

5274

考点一

成对数据的统计相关性

23452.534.5

√√√

√

12345678910总和0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.60.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

①估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量.

考点二

一元线性回归模型及其应用命题角度1

经验回归方程及其应用

12345672.93.33.64.44.85.25.9

图1图2

752.2582.54.512028.67

（1）根据图2，比较模型A，B的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由.

解：（1）应选择模型B.理由如下：由于模型B的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型A的带状区域宽度窄，所以模型B的拟合精度更高，经验回归方程的预报精度相应越高，故选模型B比较合适.

命题角度2

决定系数与残差

345670.570.530.440.360.300.020

√√√

2.22.64.05.35.93.85.47.011.612.2

√√

考点三

独立性检验

性别打篮球合计喜爱不喜爱男生6女生10合计48

0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

性别打篮球合计喜爱不喜爱男生22628女生101020合计321648

变式4

（2022年全国甲卷）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：公司是否准点准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

0.1000.0500.0102.7063.8416.635

公司是否准点合计准点班次数未准点班次数A24020260B21030240合计45050500

【巩固强化】1.下列说法中错误的是(

)

√

√

√

√

√6.【多选题】为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则(

)

√√√

对于C，由题意，结合男生、女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得如下列联表.性别锻炼的经常性合计经常不经常男10060160女10040140合计200100300

21232527151819200.8

8.（2021年全国甲卷）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：机床等级合计一级品二级品甲15050200乙12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

0.050.010.0013.8416.63510.828

【综合运用】9.建筑地基沉降预测对于保证施工安全、实现信息化监控有着重要意义.某工程师建立了四个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间的变化趋势，并用决定系数、误差平方和、均方根值三个指标来衡量拟合效果.决定系数越接近1表明模型的拟合效果越好，误差平方和越小表明误差越小，均方根值越小越好.依此判断下面指标对应的模型拟合效果最好的是(

)

A.

B.

C.

D.

√解：决定系数越接近于1，拟合效果越好，比较决定系数，知可选C，D.由误差平方和及均方根值都越小，拟合效果越好，知C的拟合效果最好.故选C.

√√

二、四

年份201920202021202220231234523.137.062.1111.6150.8

【拓广探索】

A.10人

B.11人

C.12人

D.13人√

性别足球合计喜爱不喜爱男性女性合计

第九章

概率与统计9.3

两个计数原理、排列与组合课程标准必备知识自主评价核心考点课时作业

1.通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.

2.通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.【教材梳理】

排列排列顺序

（2）排列数.定义及表示全排列的概念阶乘的概念

组合

（4）组合数.定义及表示组合数公式乘积式阶乘式两个性质性质1性质2组合数

常用结论

1.解排列组合问题基本策略

（1）相邻问题捆绑策略,不相邻问题插空策略.

（2）多排问题单排策略,定位问题优先策略.

（3）定序问题消序策略,有序分配分步策略.

（4）多元问题分类策略,交叉问题集合策略.

（5）至少（至多）问题间接策略,选排问题先取后排.

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.

(

)

√（2）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.

(

)

×（3）所有元素完全相同的两个排列为相同排列.

(

)

×

×

×2.某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男学生和5名女学生中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）.若需要教师、学生各一人共同主持，则不同的选法有(

)

A.12种

B.15种

C.27种

D.30种

√

√√√4.（教材题改编）由数字0,1,2,3,4,5,6可以组成______个没有重复数字，并且比5

000000大的正整数.1440

考点一

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

13

ABCDEFGHA.288

B.336

C.576

D.1

680

√

【点拨】解答计数应用问题的总体思路是先分类再分步,注意以下计数方法的应用：①枚举法,将各种情况一一列举出来.②转换法,转换问题的角度或转换成其他已知问题.③间接法,先计算其反面情形，再用总数减去即得.变式1（1）

【多选题】

现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是(

)

A.选1人为负责人的选法有30种B.每组选1名组长的选法有3

024种C.若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法有335种D.若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种√√√

（2）某学校有东、南、西、北四个校门.翻新改造期间，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有3名教师和4名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有_____种（用数字作答）.128

考点二

排列、组合的基本问题例2

【多选题】某学院学生会的3名男生和2名女生在社区参加志愿者活动，结束后这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是(

)

A.若让其中的男生甲排在两端，则这5名同学共有24种不同的排法B.若要求其中的2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法C.若要求其中的2名女生不相邻，则这5名同学共有72种不同的排法D.若要求其中的1名男生排在中间，则这5名同学共有72种不同的排法√√√

【点拨】有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档.

组合问题的两种基本题型及解法.题型解法“含有”或“不含有”某些元素的组合“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取“至少”或“至多”含有几个元素的组合解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法分类复杂时，通常考虑逆向思维，用间接法处理变式2

【多选题】为响应政府部门号召，某红十字会安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴A，B，C三地参加健康教育工作，则下列说法正确的是(

)

A.不同的安排方法共有64种B.若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种C.若甲必须去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有12种D.若甲、乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有14种√√√

考点三

排列、组合的综合问题命题角度1

定序问题

A.2

280个

B.2

120个

C.1

440个

D.720个√

变式3

某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则调整方法种数为(

)

A.150

B.300

C.450

D.225

√命题角度2

分组分配问题例4

（2021年全国乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有(

)

A.60种

B.120种

C.240种

D.480种

√

变式4

【多选题】2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”有着可爱的外表和丰富的寓意，现有5个不同造型的“冰墩墩”，则下列说法正确的是(

)

A.把这5个“冰墩墩”装入3个不同的盒内，共有129种不同的装法B.从这5个“冰墩墩”中选出3个分别送给3位志愿者，每人1个，共有60种选法C.从这5个“冰墩墩”中随机取出3个，共有10种不同的取法D.把这5个“冰墩墩”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有150种不同的装法√√√

命题角度3

有条件限制的选派问题例5

某校从8名青年教师中选派4名分别作为四个学生社团的指导教师，每个社团各派去1名教师，其中教师甲和乙不能同时参加，甲和丙只能都参加或都不参加，则不同的选派方案有

(

)

A.360种

B.480种

C.600种

D.720种

√

【点拨】常见的“在”与“不在”有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先.一是以元素为主解题，二是以位置为主解题，三是用间接法解题.变式5

某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同的排课方法有(

)

A.16种

B.24种

C.8种

D.12种

√【巩固强化】

A.9

B.8

C.7

D.6

√2.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为(

)

A.6

B.4

C.8

D.10解:列树状图如下.

，共4种.故选B.√3.（2023年新课标Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(

)

√4.（2020年新课标Ⅰ卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有

(

)

A.120种

B.90种

C.60种

D.30种

√5.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有(

)

A.27种

B.36种

C.33种

D.30种

√6.【多选题】从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中(

)

A.偶数有60个

B.比300大的奇数有48个C.个位和百位数字之和为7的数有24个

D.能被3整除的数有48个√√√

7.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为

____；五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），则获得冠军的可能性有_____种.

1024625

8.（2023年新课标Ⅰ卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有____种（用数字作答）.64

【综合运用】9.（2023年全国甲卷）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有

(

)

A.120种

B.60种

C.30种

D.20种

√

A.3

B.4

C.6

D.8

√

A.120种

B.720种

C.840种

D.960种

√12.【多选题】某校举办诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，则下列结论正确的是(

)

A.若甲、乙、丙三名同学全参加，则不同的朗诵排列顺序有36种B.若甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，则不同的朗诵排列顺序有288种C.若甲、乙、丙三名同学恰有二人参加，则不同的朗诵排列顺序有432种D.选派的4名学生不同的朗诵排列顺序有768种√√√

【拓广探索】13.如图，某小区有7条南北向街道，5条东西向街道.（1）图中有_____个矩形；210

210

第九章

概率与统计9.4

二项式定理课程标准必备知识自主评价核心考点课时作业1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【教材梳理】

1.二项式定理概念二项式系数通项二项展开式

常用结论杨辉三角

杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表（如下），是我国数学史上一个伟大成就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论.

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

×（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.

(

)

×

√

√（5）杨辉三角各行中除1以外的每个数字，等于其“肩上”两数之和.

(

)

√

√

A.7

B.6

C.5

D.4

√

20

考点一

通项公式的应用

A.30

B.33

C.34

D.35

√

A.5

B.10

C.15

D.20

√

√考点二

二项式系数的性质与各项的和命题角度1

二项式系数和与系数和

（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项系数和与偶数项系数和；

√

√√命题角度2

二项式系数的最值问题

A.5

B.6

C.7

D.8

√

A.第6项

B.第5项

C.第5，6项

D.第4，5项

√考点三

二项式定理的综合应用

A.0

B.1

C.2

D.3

√

A.0.940

B.0.941

C.0.942

D.0.943

√【巩固强化】

√

√

A.8

B.7

C.6

D.5

√

√

√

A.31

B.32

C.15

D.16

√

√√

510

【综合运用】

√

A.1

B.14

C.12

D.25

√√

√

【拓广探索】

√√√

第九章

概率与统计9.5

随机事件与概率课程标准必备知识自主评价核心考点课时作业

1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.

2.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.

3.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.

4.结合具体事例，会用频率估计概率.【教材梳理】

1.有限样本空间与随机事件概念定义随机试验样本点样本空间有限样本空间试验基本结果概念定义随机事件子集事件基本事件必然事件

不可能事件续表

2.事件的关系和运算概念含义符号表示包含相等并事件（和事件）交事件（积事件）互斥（互不相容）互为对立

概率古典概型有限个可能性相等

稳定

伪随机数1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）事件发生的频率与概率是相同的.

(

)

×（2）两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.

(

)

√

×

×

×2.（教材题改编）一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(

)

A.至少有一次中靶

B.两次都中靶

C.只有一次中靶

D.两次都不中靶解：射击两次中“至多有一次中靶”，即“有一次中靶”或“两次都不中靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.故选B.√3.【多选题】关于频率和概率，下列说法正确的是(

)

√√

4.（2022年全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为___.

考点一

互斥、对立事件的判断

√√

A.是互斥事件，不是对立事件

B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件

D.既不是互斥事件，也不是对立事件解：事件A与事件B不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件.故选A.√（2）【多选题】下列结论正确的是(

)

√√√

考点二

概率的基本性质例2

某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示.人数012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04（1）求派出医生至多2人的概率；（2）求派出医生至少2人的概率.

【点拨】求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法.

①直接法.

②间接法（正难则反，特别是“至多”“至少”型问题，用间接法求解较简单）.

A.0.8

B.0.7

C.0.3

D.0.2

√

√√√考点三

古典概型

√√√

变式3（1）

（2023年全国乙卷）某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为

(

)

√

√（3）（2022年新课标Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(

)

√【巩固强化】

A.0.5

B.0.1

C.0.7

D.0.8

√2.某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表.投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518

√3.（2023年全国甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(

)

√4.（2022年全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(

)

√5.有5个形状大小相同的球，其中3个红球、2个蓝球，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是(

)

√

6.【多选题】将A，B，C，D这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，则

(

)

√√√

8.某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额/元01

0002

0003

0004

000车辆数/辆500130100150120（1）若每辆车的投保金额均为2

800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

【综合运用】

√10.（2022年全国甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为___.

11.现有小赵、小钱、小孙、小李、小刘5人去北京、上海、广州三地参加研讨会，每人只能去一个城市，每个城市至少去一人，则小赵不去北京的概率为__.

12.某盒中装有产品10个，其中有7个正品，3个次品.（1）从中不放回地依次抽取3个产品，求取到的次品数比正品数多的概率；

0123

【拓广探索】

√第九章

概率与统计9.6

事件的相互独立性、条件概率与全概率公式课程标准必备知识自主评价核心考点课时作业

1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义.结合古典概型，利用独立性计算概率.

2.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.

3.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.

4.结合古典概型，会利用乘法公式和全概率公式计算概率.【教材梳理】

条件概率

常用结论

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.

×

√

√

√

√

√

A.0.25

B.0.15

C.0.1

D.0.03

√4.（教材题改编）智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去食堂A，那么第二天去食堂A的概率为0.6；如果第一天去食堂B，那么第二天去食堂A的概率为0.5.则居民甲第二天去食堂A用餐的概率为_____.0.55

考点一

相互独立事件例1（1）

（2021年新课标Ⅰ卷）有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(

)

A.甲与丙相互独立

B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立

D.丙与丁相互独立√

①甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率;②只有甲小组受到奖励的概率;③受到奖励的小组数是2的概率.

【点拨】判断事件相互独立，一般用定义判断.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较繁（如求用“至少”表达的事件的概率）或难以入手时，可从其对立事件入手计算.

√√√

①若甲先发球，求两人又打了2个球后该局比赛结束的概率；②若乙先发球，求两人又打了4个球后该局比赛结束，且甲获胜的概率.

考点二

条件概率

√

A.0.8

B.0.6

C.0.5

D.0.4

√

√√√

考点三

全概率公式的应用

A.0.78

B.0.8

C.0.82

D.0.84

√

√

变式3（1）

在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为(

)

A.0.48

B.0.49

C.0.52

D.0.51

√

√√√

【巩固强化】

A.0.28

B.0.12

C.0.42

D.0.16

√

√

A.0.95

B.0.45

C.0.55

D.0.05

√

√

√

√√√

（1）求任取一个零件是第1台车床生产出来的次品的概率;（2）求任取一个零件是次品的概率;（3）若取到的零件是次品，求零件是第2台车床加工的概率.

【综合运用】

√

√11.【多选题】在国家宪法日来临之际，某中学开展“学宪法、讲宪法”知识竞赛，一共设置了7道题目，其中5道是选择题，2道是简答题.现要求从中不放回地抽取2道题，则

(

)

√√

12.（2022年新课标Ⅱ卷）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图.（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

【拓广探索】

√

第九章

概率与统计9.7

离散型随机变量及其分布列、数字特征课程标准必备知识自主评价核心考点课时作业

通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）.【教材梳理】

随机变量

有限个一一列举

分布列

01

…………

数学期望期望

加权平均数平均水平

…………

标准差

集中分散

常用结论

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.

(

)

√（2）离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.

(

)

×（3）均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.

(

)

×（4）随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.

(

)

√（5）方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.

(

)

√2.5件产品中有3件次品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是(

)

A.取到产品的件数

B.取到正品的概率

C.取到次品的件数

D.取到次品的概率解：A，B，D均是定值，C中可能值为0，1，2，是随机变量.故选C.√

012

√

01

01

考点一

离散型随机变量分布列的性质

A.4

B.6

C.8

D.12

√

【点拨】①利用“总概率之和为1”“每个概率非负”可以求相关参数的取值范围或值.②利用“离散型随机变量在某范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.③可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.

01

考点二

求离散型随机变量的分布列例2

某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

012

【点拨】离散型随机变量分布列的求解步骤.明取值明确随机变量的可能取值有哪些，及每一个取值所表示的意义求概率要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率画表格按规范要求形式写出分布列做检验利用分布列的性质检验分布列是否正确变式2

已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

200300400考点三

离散型随机变量的数字特征命题角度1

均值与方差的性质

012

√√√

【点拨】①概率与统计中均值与方差的基本性质是一致的.②涉及单调性、最值等性质时,一般构造函数进行研究.

012

√√√

命题角度2

均值与方差的应用

2022242628300.10.20.30.10.10.2

【点拨】利用均值、方差进行决策的主要策略：①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断；②若两随机变量均值相同，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

0201000.20.320.48

【巩固强化】

A.甲3胜2负

B.甲4胜1负C.甲3胜2平或甲3胜2负

D.甲4胜1负或3胜2平解：甲3胜2平或4胜1负时,均得3分.故选D.√

012

√

024

√

A.2

B.4

C.6

D.7

√

√6.【多选题】设离散型随机变量的分布列为012340.40.10.20.2

√√√

8.在一个不透明袋子中放入除颜色外完全相同的2个白色球和2个黑色球，从中任意取出一个球，若是黑色球，则用2个同样的白色球替换黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，则把该白色球放回袋子中.（1）求第3次恰好取完两个黑色球的概率；

234

【综合运用】

01

√

√

（2）若以最后得分的数学期望为依据，运动员应选择哪个参赛方案?说明你的理由.

0306090

030407090120

【拓广探索】

√

第九章

概率与统计9.8

二项分布与超几何分布课程标准必备知识自主评价核心考点课时作业

1.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.

2.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.【教材梳理】

两个

相互独立

超几何分布常用结论

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

√

√

√

√

×

√3.（教材题改编）一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10.现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是(

)

解：根据超几何分布的定义，可知A，B，D均不合要求，C满足.故选C.√

√考点一

二项分布

例1

现有4个人去参加某项娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去