2024-2025学年高中数学模块复习课教案含解析新人教B版必修4

PAGE1-模块复习课(老师用书独具)(老师用书独具)一、弧度制与随意角的三角函数1．角的概念经过推广以后，包括正角、负角、零角．2．按角的终边所在位置可分为象限角和坐标轴上的角(又叫象限界角)．3．与角α终边相同的角可表示为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．4．角度制与弧度制的换算关系是180°＝π.5．扇形弧长公式是：l＝αr，扇形面积公式是S＝eq\f(1,2)lr.6．三角函数在各象限的符号可简记为一全正，二正弦，三正切，四余弦．7．同角三角函数的基本关系式是sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα).8．三角函数的诱导公式都可表示为eq\f(kπ,2)±α，k∈Z的形式，可简记为奇变偶不变，符号看象限．二、三角函数的图象与性质1．正弦函数(1)定义域R，值域[－1,1]，最小正周期2π.(2)单调增区间：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))k∈Z；单调减区间：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))k∈Z.2．余弦函数单调增区间：[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z；单调减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.3．正切函数(1)定义域：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).(2)单调增区间：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z.4．对于y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)，应明确A，ω确定“形变”，φ，k确定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性．针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很简单出错，应留意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区分．5．由已知函数图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式时常用的解题方法是待定系数法．由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ.但由图象求得的y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解．否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．三、向量的线性运算与坐标运算1．零向量与单位向量(1)长度为0的向量叫做零向量，规定零向量与随意向量平行．(2)长度等于一个单位的向量叫单位向量，单位向量有多数个．2．相等向量、相反向量与共线向量(1)长度相等方向相同的向量叫相等向量．(2)与向量a方向相反且等长的向量叫做向量a的相反向量．(3)向量的基线相互平行或重合，称这些向量共线或平行．3．向量的加法与减法(1)向量的加法满意三角形法则与平行四边形法则．(2)eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))它表示向量减法的几何意义，可简记为“终点向量减始点向量”．4．数乘向量与数量积运算实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长|λa|＝|λ||a|，a·b＝|a||b|cosθ.四、平行向量基本定理与平面对量基本定理1．假如a＝λb，则a∥b，反之，假如a∥b且b≠0，则肯定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.2．假如e1和e2是一个平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.3．直线l的向量参数方程eq\o(OP,\s\up8(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(OB,\s\up8(→)).五、向量的运算律与坐标运算1．向量的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a.(2)结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，a－b－c＝a－(b＋c)．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)安排律(λ＋u)a＝λa＋ua，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．向量的坐标运算已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))，a2＝xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.六、三角恒等变换1．和角公式(1)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β.(2)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β.(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2．倍角公式与半角公式(1)sin2α＝2sin_αcos_α，(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)，(4)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(1－cosα,sinα)＝eq\f(sinα,1＋cosα).3．协助角公式f(x)＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)·sin(x＋φ)．1．钝角是其次象限角． (√)[提示]钝角的范围是大于90°而小于180°，始边与x轴正半轴重合时，终边落在其次象限，因此钝角是其次象限角．2．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关． (×)[提示]依据角度、弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以错误．3．已知α是三角形的内角，则必有sinα>0. (√)[提示]当α为三角形的内角时，0°<α<180°，由三角函数的定义知sinα>0.4．三角函数线的长度等于三角函数值． (×)[提示]三角函数线表示轴上的向量，不仅有大小，也有方向，三角函数线的方向表示三角函数值的正负．5．对随意角α，eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝taneq\f(α,2)都成立． (×)[提示]由正切函数的定义域知α不能取随意角，所以错误．6．若cosα＝0，则sinα＝1. (×)[提示]由同角三角函数关系式sin2α＋cos2α＝1知，当cosα＝0时，sinα＝±1.7．诱导公式中角α是随意角． (√)[提示]在诱导公式中，角α没有限定条件，也就是α为随意角．8．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))<0，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))>0，则θ是第一象限角． (×)[提示]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝cosθ<0,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝sinθ>0))，所以θ为其次象限角．9．画正弦函数图象时，函数自变量通常用弧度制表示． (√)[提示]在平面直角坐标系中画y＝sinx(x∈R)的图象自变量x为实数，通常用弧度表示．10．函数y＝3sin(2x－5)的初相为5. (×)[提示]在y＝3sin(2x－5)中x＝0时的相位φ＝－5称为初相，故初相为－5.11．由函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象得到y＝sinx的图象，必需向左平移． (×)[提示]由函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象得到y＝sinx的图象，可以把y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象向右平行移动eq\f(π,3)得到y＝sinx的图象，不肯定向左平移．12．函数y＝sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,2)))的图象与函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象的形态完全一样． (√)[提示]由正、余弦曲线可知它们的图象形态一样．13．将函数y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位，得到函数y＝cosx的图象． (√)[提示]函数y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))的图象，因为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx，故正确．14．正切函数在整个定义域上是增函数． (×)[提示]正切函数的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))k∈Z，只能说正切函数在每一个开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z上为增函数，不能说它在整个定义域上为增函数．15．若sinα＝eq\f(1,5)，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则α可表示为α＝eq\f(π,2)＋arcsineq\f(1,5).(×)[提示]∵α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴π－α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∵sinα＝sin(π－α)＝eq\f(1,5)，∴π－α＝arcsineq\f(1,5)，∴α＝π－arcsineq\f(1,5).16．向量就是有向线段． (×)[提示]向量可以用有向线段来表示，但不能说向量就是有向线段，如0就不是有向线段．17．若向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))满意|eq\o(AB,\s\up8(→))|>|eq\o(CD,\s\up8(→))|，且eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(CD,\s\up8(→))同方向，则eq\o(AB,\s\up8(→))>eq\o(CD,\s\up8(→)). (×)[提示]向量的模也就是向量的长度可以比较大小，但向量又具有方向性，因此向量不能比较大小．18．两个向量相加事实上是两个向量的模相加． (×)[提示]向量的加法满意三角形法则和平行四边形法则，两个向量的和仍是一个向量．19．对于随意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b. (×)[提示]当m＝0时，不肯定有a＝b.20．向量a与向量b平行，则a与b同向或反向． (×)[提示]a与b中若有一个为零向量，则其方向不确定．21．一个平面内有多数对不共线的向量都可作为表示该平面内全部向量的基底． (√)[提示]在平面内，只要两个向量不共线，它们就可作为该平面内全部向量的基底．22．相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关． (√)[提示]相等向量长度相等，方向相同，那么坐标明显相同，又向量可以平移，因此与起点、终点无关．23．相等的向量，若起点不同，则终点肯定不同． (√)[提示]若是零向量，起点和终点重合，留意零向量的特别性．24．已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，若a∥b，则必有a1b2＝a2b1. (√)[提示]若a∥b，则a1b2－a2b1＝0即a1b2＝a2b1.25．若a·b＝b·c，则肯定有a＝c. (×)[提示]当b＝0时，满意a·b＝b·c，但不肯定有a＝c.26．若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0. (×)[提示]当a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且a，b为非零向量时，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.27．对于随意实数α，β，cos(α＋β)＝cosα＋cosβ都不成立． (×)[提示]当α＝eq\f(π,3)，β＝－eq\f(π,3)时，cos(α＋β)＝1，cosα＋cosβ＝1，此时cos(α＋β)＝cosα＋cosβ.28．对于随意α∈R，sineq\f(α,2)＝eq\f(1,2)sinα都不成立． (×)[提示]当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般状况下不成立．29．taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)，只须要满意α≠2kπ＋π，(k∈Z)． (√)[提示]taneq\f(α,2)中，eq\f(α,2)≠kπ＋eq\f(π,2)即α≠2kπ＋π，(k∈Z)，eq\f(sinα,1＋cosα)中，cosα≠－1即α≠2kπ＋π，(k∈Z)．30．若x＋y＝1，则sinx＋siny≥1. (×)[提示]∵sinx＋siny＝2sineq\f(x＋y,2)coseq\f(x－y,2)＝2sineq\f(1,2)·coseq\f(x－y,2)，又0<eq\f(1,2)<eq\f(π,6)<eq\f(π,2)，∴sineq\f(1,2)<sineq\f(π,6).∴2sineq\f(1,2)<2sineq\f(π,6)＝1，∴sinx＋siny＝2sineq\f(1,2)·coseq\f(x－y,2)<coseq\f(x＋y,2)≤1.∴sinx＋siny<1.1．(2024·全国卷Ⅲ)若sinα＝eq\f(1,3)，则cos2α＝()A.eq\f(8,9)B.eq\f(7,9)C．－eq\f(7,9)D．－eq\f(8,9)B[cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up8(2)＝eq\f(7,9).]2．(2024·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满意|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－bA．4 B．3C．2 D．0B[a·(2a－b)＝2a2－3．(2024·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq\o(EB,\s\up8(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up8(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up8(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up8(→)) D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up8(→))A[由题可得eq\o(EB,\s\up8(→))＝eq\o(EA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up8(→)).]4．(2024·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．eq\f(3π,4) D．πA[法一：f(x)＝cosx－sinx＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，且函数y＝cosx在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋eq\f(π,4)≤π，得－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(3π,4).因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a≥－\f(π,4)，,a≤\f(3π,4)，))解得a≤eq\f(π,4)，所以0＜a≤eq\f(π,4)，所以a的最大值是eq\f(π,4)，故选A.法二：因为f(x)＝cosx－sinx，所以f′(x)＝－sinx－cosx，则由题意，知f′(x)＝－sinx－cosx≤0在[－a，a]上恒成立，即sinx＋cosx≥0，即eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≥0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图象可知有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(π,4)≥0，,a＋\f(π,4)≤π，))解得a≤eq\f(π,4)，所以0＜a≤eq\f(π,4)，所以a的最大值是eq\f(π,4)，故选A.]5．(2024·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得到曲线C2D[因为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\r