2023年高考数学一轮复习文档 学生用书 第5章

第一节平面向量的概念及线性运算

・最新考纲•

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几

何表示.

2.掌握向量加、减法运算.理解其几何意义.

3.掌握向量数乘运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的

性质及其几何意义.

・考向预测•

考情分析：平面向量的相关概念，平面向量的线性运算，共线向量定理及其应用仍是高

考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题.

学科素养：通过向量的线性运算考查数学运算及直观想象的核心素养.

积累必备知识——基础落实嬴得良好开端

一、必记4个知识点

I.向量的有关概念

名称定义备注

既有______________又有一______的量：向量

向量平面向量是自由向量

的大小叫做向量的—_(或________)

零向量长度为一________的向量；其方向是任意的记作_________

单位向量长度等于________的向量

非零向量。的单位向量为土

平行向量方向一_________或_____一的非零向量

0与任一向量_________或共线

共线向量___________的向量又叫做共线向量

和笺向告___________________

W寺l°J里仅皮一------------------

相反向量长度一.且方向一_的向量0的相反向量为0

2.向量的表示方法

(1)字母表示法：如。，赢等.

(2)几何表示法：用一条表示向量.

3.向量的线性运算

向量

定义法则(或几何意义)运算律

运算

(1)交换律：

却、a+b=_______.

加法求两个向量和的运算(2)结合律:

______________法则

(a+A)+c=

^7

____________法则

求。与b的相反向量一b

减法的和的运算叫做。与力a—A=a+（一力）

的差____________法则

⑴|训=_______.如。）=

（2）当Q>0时,痴与a•

求实数2与向豉。的积的方向________：当2a+〃）a=

数乘

的运算V0时，〃与a的方向

________；当i=0时，久（。+方）=

/.a=________

4.共线向量定理

向量与b共线，当且仅当有唯一一个实数九使

二、必明2个常用结论

1.三点共线的等价转化

。户=（1一。

4,P,B三点共线oA>=^AB（AW0）=次+rOB（o

为平面内异于A,P,8的任一点，WR）oOP=XOA+y祠（0为平面内异于A,

P,8的任一点，x€R,y£R,*+），=1）.

2.向量的中线公式

—.kQA+OB

若尸为线段A3的中点，。为平面内一点，则0P=2）.

三、必练4类基础题

（一）判断正误

1.判断下列说法是否正确（请在括号中打“J”或“X”）.

（1）向量就是有向线段.（）

（2）零向量没有方向.（）

（3）若向量。与向量力平行，则。与。的方向相同或相反.（）

（4）两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.（）

⑸若向量标叮向量E是共线向量，则点A,8,C,。必在同一条直线上.（）

（二）教材改编

2.

［必修4・P86例4改编］如图，QABCD的对角线交于M,若赢=a,AU=b,用a.

b表示而为（）

A.z+lbB.

C.—2a~2bD.—%+2b

3.［必修4^87练习T2改编］化简：

（1）（+BO+OM=；

（2）NQ+^*+M?-W=.

（三）易错易混

4.（对向量相等隐分条件认出不清）若四边形A8C。满足AB.7BCIELI福二

IDC|,则四边形ABCD的形状是.

5.（西向量的方向关系不清）已知|。|=2,网=5,则|。+切的取值范围是.

（四）走进高考

6.［2020•海南卷］若。为AABC的边A8的中点，则刊=（）

A.2CD-CAB.2CA-CD

C.2E+以D.2出十而

提升关键能力——考点突破掌握类题通法

考点一平面向量的基本概念［基础性］

1.设。是非零向量，幺是非零实数，下列结论正确的是（）

A.。与一〃的方向相反

B.|一训云⑷

C.。与万。的方向相同

D.|一却=加

2.给出下列命题：

①零向量是唯一没有方向的向量：②零向量的长度等于0：③若。，力都为非零向量，

则使|B,+S=0成立的条件是a与b反向共线.

其中错误命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

3.给出下列命题：

①若。与b共线，力与c共线，则。与c也共线：

②若A,B,C,。是不共线的四点，则AB=DC,则四边形ABC。为平行四边

形；

③。的充要条件是|。|=|例且a//b-.

④己知九〃为实数，若痴=〃6则。与〃共线.其中真命题的序号是.

反思感悟向量有关概念的四个关注点

(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的：非零向量的平行具有传递性；相等向量一

定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性.

(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以

比较大小.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象

的平移混为一谈.

・・

(4)非零向量。与工的关系：口是与。同方向的单位向量.

考点二平面向量的线性运算［综合性］

角度1平面向量的加、成运算的几何意义

［例1］设非零向量。，力满足|。+方|=心一外贝女)

A.aLbB.\a\=\b\

C.a//bD.\a\>\b\

听课笔记：

角度2向量的线性运算

［例2］(1)［2022•重庆诊断］如图，AB是圆。的一条直径，C,。为半圆弧的两个三等分

点，则团=()

A.AC—ABB.2AC—2AU

C.AD-ACD.2AI-2AC

(2)［2022•北京海淀区模拟|如图，在等腰梯形ABC。中，DC=BC=CD=DA,

。及LAC于点E,则或等于()

9+海

A.B.

海一/W+;菽

C.24D.24

听课笔记：

角度3利用向量的线性运算求参数

_、L阮

[例3](1)[2022•广东韶关一模]在△ABC中，点用为4c上的点，且AM=1

若就+〃BC,则广〃的值是()

A.1B.C.D.

AB=2五，点E是线段

(2)[2022•河南八市联考改编]在等腰梯形ABCD中,

前的中点，若AE=AAB+/ZAE,则见+〃=

听课笔记；

反思感悟平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.

(2)求已知向量的和或差.共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；

求首尾相连向量的和用三角彩法则.

(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表才出来，与含参

数的表达式进行比较，求出参数的值.

【对点训练】

1.[2022♦河北衡水中学月考]设。为△ABC所在平面内一点，且祝=3则

)

标一河+3

A.

正拂一次

B.

AE=河+3

C.

D.AB=

2.在△48C中，。为线段4B上一点且8O=3A。，若a=4福+"CT,

则,=()

11

A.3B.3C..D.4

考点三共线定理及其应用［应用性］

［例4］设两个非零向量a和力不共线.

(1)若Al=°+b,BC=2a+8),CD=3(a—6).求证：A,B,。三点共线:

(2)试确定实数上使履+〃和a+M共线.

听课笔记：

一题多变

1.(变条件，变问题)若将例4(1)中“配=20+88”改为“

当用为何值时，A，B,。三点共线？

2.(变条件)若将例4(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？

反思感悟共线向量定理的应用

(1)证明向量共线：对于向量a,h,若存在实数2,使。=仍(8工0),则。与力共线.

(2)证明三点共线：若存在实数九使得AB=xAC,则A,B,。三点共线.

(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.

［提醒］证明三点共线时，要说明共度的两向量有公共点.

【对点训练】

1.在四边形八8CZ）中，M=a+2b,K=-4a-b,CD=-5。-3b,则

四边形ABC。的形状是()

A.矩形B.平行四边形

C.梯形D.以上都不对

2.［2022.天水市中学高三月考J已知两个非零向量口，〃互相垂直，若向量5=4〃+5。,

〃=%+弱共线，则实数2的值为()

A.5B.3C.'D.2

3.［2021・浙江高三期末］设ei，e2是不共线的向量，若赢=0+融2，E=ei+

CD=3ei-2e2,A,B,。三点共线，则入的值为

微专题21新定义下平面向量的交汇运算交汇创新

［例］定义两个平面向量的•种运算不力=|a|W|sin(a,b)则关于平面向量上述运算

的以下结论中，

①)mb=b£a；

②^(a®Z>)=(/.a)®Z>：

③若a=2"则a-'b=0；

④若力且％>0,则(Q+8)®c=(a6c)+(Z»").正确的序号是.

解析：①恒成立；②加功)=2⑷WsinQ,b)t(2a)<M=M•网sin(a,b),当2<0

时，纪)=(2a)M不成立；③^二动，则sin(a,b)=0,故足仍=0恒成立：④。=%，

且40,则a+力=(1+2)6,(a+))®c=|(l+2)|网,|c|sin(b,c),(a®c)+(^®c)=|Zft|-|c|sin(ht

c)+-Hc|sin(b,c)=|1+A||Z>|-|c|sin(b,c),故3+b)®c=S®c)+(b®c)恒成立.

答案：①③④

名师点评本例是新定义下平面向量的运算，解答本题关键是把此定义运算转化为我们

所学的平面向量数量积运算，命题便可判断.

［变式训练］

定义平面向量的一种运算aOb=|a+力|X|G—"Xsin(a,b),其中〈a,b)是,a与b

的夹角,给出下列命题：

①若(a,b}=90A,则a(bb=u2-\-b2x

②若|。|=|b|,则(a+〃)。(a—。)=4A仍：

③若闻=网,则加)bW21al2：

其中真命题的序号是.

第五章平面向量

第一节平面向量的概念及线性运算

积累必备知识

I.大小方向模长度零01个单位长度相同相反方向相同或相反平

行相等相同相等相反

2.⑵有向线段

3.三角形平行四边形b+aa+(8+c)三角形因⑷相同相反0>.pa).a

4.h=).a

zs、

1.答案：⑴x(2)X(3)X(4)V(5)X

—4-BBi(AD-AB---

2.解析：Ml==)=2(b—a)=—1+2b.

答案：D

3.解析：(I)原式=AB+B0+0M+M3=AB.

(2)原式=i®+丽=D.

答案：⑴AB(2)0

4.解析：当|而|=|前|时，四边形ABCQ是平行匹边形；当|而BC|

时，四边形A8CO是等腰梯形.

答案：等腰梯形或平行四边形

5.解析：当。与6方向用同时，|。+回=7：当。与方方向相反时，|0+"=3；当a与

力不共线时，3<|a+〃|<7.所以|a+〃|的取值范围为[3,7].

答案：[3,7]

6.解析：为△ABC的边AB的中点，.I而=1),；.百=

2CD—0.故选A.

答案：A

提升关键能力

考点一

1.解析：当AVO时，。与一痴的方向相同，所以选项A揩误；当HIVI时，选项B不

成立，所以选项B错误；因为2是非零实数，所以Nao,因此。与炉。的方向相同，所以

选项C正确；又因为|一加|是一个实数，是一个向量，所以选项D错误.

答案：C

2.解析：①错误，零向量是有方向的，其方向是任意的；②正确，由零向量的定义可

知，零向量的长度为0；③正确，因为日与国都是单位向量，所以只有当日与

阳是相反向量，即。与。反向共线时才成立.

答案：B

3.解析：①错误，若6=0,则。与c不一定共线.②正确，因为AB=DC,

所以I期=|四且AB//DC；又A,B,C,。是不共线的四点，所以四边形

ABCD为平行四边形.③错误，当。〃力且方向相反时，即使|。|=|例，也不能得到。=力，所

以⑷=|加且。〃力不是。=6的充要条件，而是必要不充分条件.④错误，当2="=0时，a

与力可以为任意向量，满足独=〃仇但。与沙不一定共线.故填②.

答案：②

考点二

例1解析：方法一利用向量加法的平行四边形法则.在山188中，设AE=a,

箴=瓦

由|a+b|=|af知，|幽=|叫

从而四边形A3CO为矩形，即AB_L4。，故a_L。

方法二•・・|a+b|=M—6|,

|a+/>|2=|a-/>|2.

^a1-\-b1-\-2ab=a1-\-b2—lab.

••a,b=0.a.Lb.

答案：A

例2解析：（1）连接C。，YC,。是半圆瓠的两个三等分点,

••・。。〃/18且48=28

AB-2赢.故选D.

AB=20)=2(AD-A()=2

(2)VCD=DA,DE±AC,

点E为4c的中点，

:充十而

2)+产

DC-iAC

答案：⑴D(2)A

加闪所以

例3解析：⑴由AM=2,得

——就十湎BA+1^C-RA|BA+|BC

BA+AN=333,又因为

记+〃所以/=3

BC,〃=",故2—〃=’.故选C.

⑵取AB的中点F,连接CF,则由题意可得CE〃AD,且CE=AD因为M=

ABBi赢+河:同一同AB+1(AB-^

+=AB2)=

,〃=,则4+〃=

答案：(1)C⑵

对点训练

——一AC+^BCAC+^AC-rAB

3

1.解析：由题意得AB=AC+CD=

^AB+?A(

33，故选A项.

答案：A

丽=而号记

2.解析：方法一依题意得：m+

E+妒心的河：：

)—，r/\kAX—»〃一,双彳=3,

故选B.

方法二以CD为对角线作平行四边形CFDE,根据BD=3AD,可知CD=

层出加河…hJ,故

♦=3,故选B.

答案：B

考点三

解析：⑴证明：因为菽=。+仇

例4BC=2a+8b,CD=3（a—。），所以

52=BC+CD=2°+88+3（。一白）=5（。+8）=5AE,所以AB,B力共

线.又凝与前行公关点从所以4,B,。三点共线.

（2）因为履十方与。+幼夫线，所以存在实数2,使履+6=2（“+@），即（2一力”=（独一

[k—A=O.

lAk-l=O.

1）4又用b是两个不共线的非零向量，所以所以&2—1=0,即*=±1.故

当k=±l时，两向量共线.

一题多变

1.解析：BD=BC+CD=（a+〃而）+3（。一力）=4a+（/〃一3）6,若4,B,。三点

{4=工

共线，则存在实数九使52=A标，即4a+（小-3）力=〃。+匹所以"」…

解得〃?=7.故当〃?=7时，A,B,。三点共线.

2.解析：因为履+/＞与。+协反向共线，所以存在实数2,使履+力=2（。+协）（IVO）,

1=1.

所以所以&=±].又因为7VO,&=晨所以&=-1.故当女=一1时，两向量反

向共线.

对点训练

1.解析：由已知得,AD=AB+BC+CD=a+2b—4。—6—5。—3。=—8。—28

=2（—4〃一6）=2BC,故AE//前.又因为标与国不平行，所以四边形

A8CO是梯形.故选C.

答案：C

2.解析：因为明》是非零向量，且互相垂直，所以/"=必+5）#0,

因为〃i,〃共线，所以当且仅当有唯一一个实数〃，使〃="雁，即2«+劝=〃(40+5)),

=0

=0

所以(2—4"〃=(5"—2地，又因为a,力不共线，所以=>4=

答案：C

3.解析：因为ei,e2是不共线的向量，所以的，。2可以作为平面内一组基底，因为AB

=ei+%e2,CB=ei+e?,CD=3ei—2e2,所以DH=CB—CD=(ei+c2)—(3ei

-2e2)=-2ei+3e2,因为A,B,。三点共线，所以标〃丽，所以-22=1X3,解

得7=一

答案：一2

微专题Q新定义下平面向量的交汇运算

变式训练

解析：①中，因为〈。，b>=90°,则。。方=|a+"X|a一例=02+小，所以①成立；

②中，因为⑷=网，所以(3+协，3—力)>=90°,所以(a+b)03—协=|2a|X12bl=4⑷步

所以②不成立；③中,因为⑷=|力所以a('>=M+b|X|a—"Xsin<a,b>成一

3W2=2|a|\所以③成立.

答案：®®

第二节平面向量基本定理及坐标表示

・最新考纲•

1.了解平面向量的基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向皇的加法、减法与数乘运算.

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

・考向预测•

考情分析：平面向量基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，向量共线的坐标表示及

其应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题.

学科素养：通过平面向量基本定理的应用考查数学运算的核心素养.

积累必备知识——基础落实嬴得良好开端

一、必记4个知识点

1.平面向量的基本定理

如果以,的是同一平面内II勺两个向量，那么对于这一平面内的任意向量。,

有且只有一对实数九，A2,使。=.

2.平面向量的坐标表示

在直角坐标系内，分别取与的两个单位向量i,j作为基底，对任一个向量m

有唯对实数x,y使得：a=xi+W，叫做向量。的直角坐标，记作。=(x,y),

显然j=>j=,0=.

3.平面向量的坐标运算

(1)设。=(汨，yi),b=(X2<2)，则a+b=»a-h=,).a=.

(2)设A(xi，yi),B(xi，yi),则AB=,|他=.

4.平面向量共线的坐标表示

设。=(*i，8)，b={xi，j2)»其中。工0,则。〃力劝QWR)=.

二、必明2个常用结论

1.向量共线的充要条件的两种形式

(V)a//b^b=Aa(a^O,ACR)；

(2)a//।=0(其中a=Cr।,yi),5=(x2，J2)).

2.已知△ABC的顶点A：xi，)，i),8(七，》)，。(月，第)，则△ABC的重心G的坐标为

♦t也i也i

三、必练4类基础题

(一)判断正误

1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“「或"X”).

(1)在△45C中，*嬴a可以作为基底.()

(2)在△AB。中，设网=小BC=8，则向量a与白的夹角为NA8C.()

(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后，其坐标不变.()

(4)若4,力不共线,且九。+川力=痴+〃2旦则为=22,且川=42.()

y«

⑸若。=(片，yi)>b=(X2<)力则。〃力的充要条件可以表示成4)

(二)教材改编

2.［必修4-P刈习题Ts改匐已知向量。=(4,2),b=(x,3).日.a〃4则x的侑杲()

A.-6B.6

C.9D.12

3.［必修4PI(M练习T6改编］设尸是线段P/2上的一点,若丹(1,3),尸2(4,0)且尸是

线段P.P2的一个三等分点(靠近点Pl)，则点P的坐标为()

A.(2,2)B.(3,-I)

C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)

(三)易错易混

4.(忽视其线的两种情况)已知点4(一1,3),BQ,-1),则与向量嬴共线的单位

向量是.

5.(向量其乞的坐标公式拿捏不丰)已知点8(4,2)和向量Q=(2"),若。〃AB,

则实数久=：若。=〃AB,则〃=.

(四)走进高考

6.［全国卷I］在△ABC中，A。为3C边上的中线，E为AD的中点，则就=()

：同一涵海一涵

A.*4B.*4

C.•・D.••

提升关键能力一考点突破掌握类题通法

考点一平面向量基本定理及其应用［基础性］

［例1］

(1)［2022•天水市高三月考］如图所示，在△A8C中，3=3国，赢=2标,

若M=a,AC=A，则0=()

(2)［2022•甘肃兰州高三月考］如图，在△A3C中,,P是线段3。上一

tAB+jAC

点，若M=m6,则实数/〃的值为()

1a

A.3B.3C.2D.

听课笔记：

反思感悟平面向量基本定理的实质及解题思路

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向

量的加、减或数乘运算.

(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件

和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

【对点训练】

1.［2022・福州市质量检测］在AABC中，E为4B边的中点，。为AC边上的点，HD,

T?+两三

CE交于点R若Ai=丁丁，则叫的值为()

A.2B.3

C.4D.5

2.已知在△ABC中，点。满足OA+OB+OC=o,点尸是OC上异于端点的任意

而，则〃?+〃的取值范围是

一点，且OP=mQA+”

考点二平面向量的坐标运党［基础性］

标=(1,一1),C(0,1),若0)=2AB,则点。的坐标为()

1.已知

A.(―2»3)B.(2,-3)

C.(-2,1)D.(2,-1)

2.已知。=(5,-2),力=(—4,—3),若a—2/>+3c=0,则c的坐标为()

㈠，Y)

C.舁3D.

3.已知平行四边形48。)中，AB=(3,7),AB=(—2,3),时角线AC与8。

交于点0,则面的坐标为()

A.(一”)B.G，5)

C.G，T)D(V，-5)

反思感悟求解向量坐标运算问题的一般思路

(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现

了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转

化为数量运算.

(2)巧借方程思想求坐标；向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，

若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用.

(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和

被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数.

考点三平面向量共线的坐标表示［综合性］

角度1利用向量共线求句量或点的坐标

［例2］已知梯形A8CO中，其中A8〃CO,且OC=2AB,三个顶点A(l,2),8(2,1),

C(4,2),则。点坐标为.

听课笔记：

反思感悟利用两向量共线的条件求向量坐标,一般地.在求与一个已知向量。共线的

向量时，可设所求向量为&J(2£R),然后结合其他条件列出关于2的方程，求出入的值后代

入及，即可得到所求向量.

角度2利用向量共线求参数

［例3］(1)［2022•海南昌茂高三月考］已知向量。=(x+2,3),—),且。〃b,则x

的值是()

A.B.0

C.2D.I

(2)已知向量<»=(A⑵,01=(4.5),0C=(—鼠10),且A、8、。三

点共线，则攵=

听课笔记：

反思感悟平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

(1)利用两向量共线求参奴.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a

=(X|,VI),b=(X2,J2),则。〃力的充要条件是XlY2=X2M”解题比较方便.

(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量。共线的向量时，

可设所求向量为痴a^R),然后结合其他条件列出关于％的方程，求出入的值后代入痴即

可得到所求的向量.

(3)三点共线问题.A,B,C三点共线等价于标与菽共线.

【对点训练】

1.［2022•云南昆明市一中月考］在△ABC中，已知AB=(2,8),菽=(-3,2),

若SS=MC,则词的坐标为

-b)

2.［2022•广东广州高三月考］已知向量m=(2,—3),〃=，若，〃〃〃,

则〃的值为

微专题22巧借坐标系——提升运和能力思想方法

［例］如图，在边K为4的正方形A6CD中，动圆Q的半径为1,圆心。在线段6c(含

端点)上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量A>=/〃AB+〃AEQ〃，"为实

数)，则/〃+〃的取值范围是()

”"串B

A.D.

C.D.

解析：如图建立平面直角坐标系，则A1=(4,0),AE=(O,4),AB

VnAB=(4m,4”)，设Q(4,r),00,4],则P在圆(*-4)2+。，一加=1上，设尸(4+

4+cos6=4m.

,t+sinB=4n.R佃十;

\",当，=0,

cos0,r+sin6),则4〃1+4〃=4+r+V2sin

空虫-坦

'时,〃?+〃取得最小值1—•，当t=4,0="时/〃+〃取得最大值2+

T2+串

所以〃?+〃的取值范围是

答案：A

名师点评巧建系妙解题，常见的建系方法

(1)利用图形中现成的垂直关系

若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这

两条直线建立坐标系；

(2)利用图形中的对称关系

图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如等腰三角形，

等腰梯形等)，可利用自身对称性建系.建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点

在坐标轴上，或在同一象限.

【变式训练I

给定两个长度为1的平面向量福利而，它们的夹角为*.如图所示，点。

在以。为圆心的豌上运动.若0C=x福+),丽，其中x,yWR,问x+y

是否存在最大值？若不存在，说明理由：若存在，则求出最大直.

第二节平面向量基本定理及坐标表示

积累必备知识

1.不共线AICI+AICI

2.x轴、J，轴正方向相同(x,j)(1,0)(0,1)(0,0)

3.(X]4-X2,川+力)(X1—Xi,Ji—J2)Uri，孙1)(X2—Xi,y2~j'i)

j5一松+仇一

4.X1J2-x^yi=0

、

1.答案：⑴J(2)X(3)7(4)7(5)X

2.解析：因为a〃乩所以4X3—2x=0,所以x=6.

答案：B

PiP1尸2.尸1尸2

3.解析：由已知得，1=3=(3,-3).设P(x,)，)，则(x

-1,y-3)=(l,-1),所以*=2,y=2,点尸(2,2).

答案：A

4.解析：嬴=(3,-4),|期=J3、+1―41=5,所以与AB共线的

单位向量是7(43

答案:e，a(4》

5.解析：由题意得标=(3,1),因为。〃AB,所以"一2=0,解得2=

由AB,得(2,川=(3小〃)，所以(卜=入，故〃=

22

答案：*

6.解析：

作出示意图如图所示.

—4—>—^AD+-CT

ED+DB=22

^x1^B+ACkAB-AC

21)+z)

|AB-JAC

故选A.

答案：A

提升关键能力

考点一

例【解析：⑴因为百=3国*标=2AI

—kcA+CT\\国\i（AB-AC

所以CE=2）=-7+23=-7+）

⑵设B?=;BD,

迎所以氤=

因为AD=

则At=AB+B?=AB+幺BO=1AB+/（BA+AD）=（i—

AC,

AB+^AC

又因为AF=/〃$,所以

答案：⑴B(2)A

对点训练

1.解析：方法一如图,设AC=iAD,所以A>=

,A,I4Ad2+工竺

7?，因为F,B,。三点共线，所以77=1,解得，=4,故M=4.故

选C.

方法二设证=4而.AD="AC,则正=2(AD—AE)=—

2菽+川戢，所以AF=AB+B!=（I—2）AB+办AC.

1-入制2〃

解得片；故:=4.

正=海十国

又7,，所以

答案：C

2.解析：依题意，设0^=2OC（0<2<i）,由QA+OB+OC=o,知OC

QA+OB）,

所以0P=-；Ofi-A0员由平面向量基本定理可知，/〃+〃=—2］，所以

+”任(一2,0).

答案：(一2,0)

考点二

S=(.,y-I),2AB=(2,-2),根据

1.解析：设D(x,y),则Y0)=2

得(x,y-1)=(2,-2),

答案：D

2.解析：设，=。，y).因为。-2力+3c=0,所以(5,-2)-2(-4,—3)+3(x,》)=(0,

'13

fl3+3x=O.—守

l4+3y=0>y=—

0),即(5+8+3x,-2+6+3y)=(0,0)所以解得、3所以。

(W,

答案：D

—»一__IAC

3.解析：因为AC=同+疑=(一2,3)+(3,7)=(1,10),所以0C=2

G目所以瓦㈠一)故选D项.

答案：D

考点三

例2解析：•.•在梯形ABCQ中，OC=2A8

AB//CD,：.DC=2AB,

设点。的坐标为(x,y),

则DC=(4—X,2~y),M