轴对称图形的经典压轴题型专训（原卷版+解析）

专题09轴对称图形的经典压轴题型专训

•【轴对称图形的40道经典压轴题型专训】

1.（2023春・江西宜春•七年级江西省丰城中学校考期末）在ABC中，Z4CB=90°,ZABC=30°,CDE是

等边三角形.点。在A3边上，点£在_/山。外部，EHLAB于点、H,过点E作GE〃帅，交线段AC的延

长线于点G,AG=5CG,BH=3,则CG的长为（）

C.V2D.6

2.（2023春•河北衡水•九年级校考阶段练习）题目：“如图，已知4408=30。，点N在边。4上，OM=x,

MN=2,尸是射线OB上的点•若使点尸，M,N构成等腰三角形的点尸恰好有3个，求》的取值范围.”对

于其答案，甲答：x=0,乙答：0＜无＜2,丙答：2cx＜4,则正确的是（）

A.只有甲答得对B.甲、丙答案合在一起才完整

C.乙、丙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整

3.（2023秋•八年级单元测试）如图，ZBAD=ZC4E=90°,AB=AD,AE=AC,b是CB延长线上一点,

AF±CF,垂足为尸，下列结论：①BC=DE；②AF=CF；③四边形ABCD的面积等于；④

2

SABCD=S&ABF+S^ADE；其中正确的是（）

C.①②③D.①②③④

4.（2023春•山东济南•八年级校联考期中）如图所示，已知,ABC和，都是等边三角形，且A,B,D

三点共线，下列结论：①HB平分ZAHD；②，班G是等边三角形；③FG〃AD；④

CH+HE+HB^AH+HD.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2023春・湖北黄石•七年级统考期中）已知，四边形ABCD中，AD//BC,ZA=NBCD=ZABD,DE平

分/ADB,下列说法：®AB//CD；②EDLCD；@ZDFC=ZADE+ZBCE；④

ZA+ZDEC-ZECB=90°.其中错误的说法有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

6.（2022秋・辽宁抚顺・八年级统考期末）如图，在,ABC中，^ABC=45°,⑦,池于点。，BE平分/ABC,

且BE_LAC于点E,与CD相交于点F8是8C边的中点，连接£归与8E相交于G,下列结论:①AC；

②=尸；③ZA=67.5°；④S四边形A°GE=S四边形GHCE；⑤△DGF是等腰三角形.其中正确的有（）

A.5个B.2个C.4个D.3个

7.（2022秋・浙江金华•八年级校考期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,/B4C=30。，AG是

底边BC上的高，在AG的延长线上有一个动点D,连接CD,作—a史=150。，交的延长线于点E,

-CDE的角平分线交AB边于点/，则在点。运动的过程中，线段E尸的最小值（）

A.6B.4C.3D.2

8.（2023•安徽合肥•校联考三模）如图，在二ABC中，/84。=90。,/8=60。,钻=4,若。是边上的动点,

则2AD+DC的最小值是（）

9.（2023•黑龙江绥化•校考二模）如图..ABC中，AC=BC=5,AB=6,CD=4,CD为ABC的中线，点

E、点产分别为线段8、C4上的动点，连接AE、EF,则AE+EF的最小值为（）

A.4.8B.2.4C.6D.5

10.（2023春•全国•八年级专题练习）如图，在ABC中，ABAC=90°,AB=AC,D为边BC上一动点、,

连接AZ）.以AD为底边，在AD的左侧作等腰直角三角形VAT>E,点尸是边AC上的定点，连接EE,当

A£+EE取最小值时，若=则NAEF为（）（用含a的式子表示）

A

C.90°+aD.1800-2a

11.（2022秋•山东聊城•八年级校考期末）如图,线段AB,BC的垂直平分线k，12相交于点O.若ZOEB=46°,

贝！jZAOC=()

A.92°B.88°C.46°D.86°

12.（2022秋•江苏无锡•八年级校考期中）如图,在等腰RABC中，ZA=90°,3。平分NA5C,8E平分

NDBC,M、N分别为射缱BE、BC上的动点,若比）=10,则CM+MN的最小值为（

D.10

13.（2023春・广西南宁•七年级南宁二中校考期末）如图，在.ABC中，。为中点，DEJ.AB,

ZACE+ZBCE=1?,Q°,EFJ.BC于点F,AC=6,BC=9,则8尸的长为

14.（2023春嘿龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，在J1BC中，ZACB=90°,

AO是它的角平分线，£5人筋且交4£）的延长线于点上过£作瓦13。于点/，CF-BF=5-3,BE=15cm,

则线段DF的长为cm.

15.（2023•黑龙江哈尔滨•校考三模）如图，四边形ABC。中=4）,且N3CD=/B4D=120。，过点A

作AE〃CD交8C于点E,若BE=3,CD=2,则CE=

16.（2022春・广东清远・八年级统考期末）如图，在Rt_ABC中，ZC=90°,AC=BC,AD是一。山的平

分线，过点8作交AD的延长线于点E.若A£>=5,则BE的长为.

17.（2023秋•八年级课时练习）通过教材“13.4最短路径问题”的学习，我们体会到轴对称变换的作用.请你

用轴对称的有关知识解决下面的问题：如图，C为A3的中点，^ACD+ZBCE=60°,AD=2,BE=4.5,

AB=6,则DE的最大值是.

18.（2023春・浙江•八年级专题练习）如图，已知四边形ABC。，ZDAC=30°,CE±AB,CD=6,3E=2且

ABAC+ZACD^60°,ZBAC=-ZB,贝l|A8=

2

c.

19.（2023・四川成都・统考一模）如图，在三角形ABC中，ZS4C=50°,AB=AC,8D_LAC于。，M,

N分别是线段8。，BC上的动点，BM=CN,当AM+AN最小时，ZMAD=.

20.（2023春・江苏泰州•七年级靖江市靖城中学校考阶段练习）如图，ASC中，ZBAC=90°,AD1BC,

/ABC的平分线BE1交于点/，AG平分/IMC.给出下列结论：®ZBAD=ZACB-,②NAEF与ZAFB

互补；③AGLEF；@ZAGC-ZABE=9Q°.其中结论正确的是（填序号）.

21.（2023秋•江苏南京•八年级统考期末）如图，在..ABC中，ZC=60°,AC=5,BC=4,点。为CB延

长线上一点.当点。在a延长线上运动时，的最小值为——.

22.（2023春・陕西西安•八年级交大附中分校校考阶段练习）如图，ZAOB=60°,点M、N分别为角的两边

OA,上的点，OC平分NAO3,点尸为射线0c上一点，且4PNB=ZMNO,PM=PN=4,若射线0c

上有一点。则NQ的最小值为.

M

23.（2021秋•河南信阳•八年级校考期中）如图，在中，ZA=90°,ZB=60°,AB=4,若。是BC边上

的动点，则2AO+OC的最小值为.

BL-------------------------------4c

24.（2022秋.黑龙江哈尔滨.八年级校考期中）如图，RtZXABC中，。为AC上一点，连接30,E为上

一点，连接。E,作。尸，DE交BC于点/，若ZA=2NFDC,ZBDF=45。，AD=BF=5,则A3的长为

25.（2023春•山西临汾•八年级统考期末）综合与实践

特例感知：

如图1,在等边三角形ABC中，。是8C延长线上一点，且CDV3C,以8为边作等边三角形CDE,连

接BE,分别过点8作叱〃£D,过点。作。尸〃3E,交于点P,连接AF,AC与8E交于点G.

（1）试判断■和8E的数量关系，并说明理由.

（2）猜想论证：将一CDE绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到图2,则（1）中AF和BE的数量关系是否仍

然成立？请说明理由.

(3)拓展延伸：将如图1所示的CDE绕点C按逆时针方向旋转角度c(O°<a<180。)，当//M=90。时，请

直接写出a的值.

26.(2023春•河南平顶山•七年级统考期末)如图1,ABC是等边三角形，AD,CE是一ABC的角平分线,

AO与CE相交于点。.点尸在线段。C上，点。在边AC上，且BP=CQ.连接。尸，OQ.

图I图2

⑴聪聪研究发现。4=OC.

理由如下：因为AZ)是ABC的角平分线，且A8=AC,根据等腰三角形的性质①，可得且fiD=DC,

即AD垂直平分BC,同理，CE垂直平分AB,所以点。是‘ABC三边中垂线的交点，根据线段垂直平分线

的性质②，可得。4=OC.

填空：上述证明过程中，①、②两处的理由分别为和.(填选项前的字母)

a.“三线合一”b.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

c.等腰三角形两个底角相等

⑵判断OQ和0尸的数量关系，并说明理由；

(3)如图2,若点尸是射线0c上任意一点，点。在射线C4上，其它条件不变，当,OPC为等腰三角形时，

直接写出NC。。的度数.

27.(2023春•重庆九龙坡•七年级校考期末)在一MC中，AB=AC,点E、点。分别是A3、AC上一点,

连接CE、BD,SLBD=BC.

(1)如图1,当CE上AB,NCBD=50。时，求N3CE的度数；

(2)如图2,取CE的中点R连接所，若NCBD=NABF.求证：AC^2BF.

28.(2023・浙江•八年级假期作业)直线/经过点A,_ABC在直线/上方，AB^AC.

DAEDAE

（图1）（图2）（图3）

⑴如图1,/54C=90。，过点2,C作直线/的垂线，垂足分别为。、E.若BD=2,CE=3,则DE=；

(2汝口图2,D,A,E三点在直线/上，若NBAC=NBDA=ZAEC=a(a为任意锐角或钝角)，猜想线段。£、

BD、CE的数量关系是否仍然成立？若成立，写出证明过程；

(3)如图3,/R4c=90。，过点8作直线/上的垂线，垂足为几点。是B尸延长线上的一个动点，连接AD,

作NZME=90。，使得A£=AD,连接OE,CE,直线/与CE交于点G.求证：G是CE的中点.

29.(2023春•四川成都・七年级统考期末)已知等腰RtAABC中，ZABC=90°,点D在射线BC上，连接AD,

在右侧作等腰Rt△ADE,且NAT>E=90。

图2图3

(1)如图1,若AD平分/BAC,延长A£\BC交于点F,求证：DE=EF；

(2)如图2,点M为AE的中点，求证：点M在线段8的垂直平分线上;

(3)如图3,射线AC与射线即交于点G,若AT)+DG=AE,求NADC的度数.

30.(2023春•四川达州•七年级统考期末)已知ABC.

图2图3

(1)如图1,按如下要求用尺规作图:

①作出A3C的中线CD；

②延长。至E,使DE=CD,连接AE；(不要求写出作法，但要保留作图痕迹.)

(2)如图2,若/4?8=90。,8是中线.试探究CO与A3之间的数量关系，并说明理由;

(3)如图3,若NACB=45。,AC=BC,CD是..ABC的中线，过点B作BELAC于E,交CD于点、F,连接DE.若

CF=4,求DE的长.

31.(2023春•四川成都・七年级统考期末)如图，在Rt^ABC中，ZS4C=90°,过点A作AD/3C于点

E为AC边上一点，且AE=AB,过点E作EF2AD于点F.

BDC

(1)求证：_AB£>"E4F；

(2)连接BE,若G为线段8E的中点，连接G尸，GD.

(/)试判断一次灯的形状，并说明理由；

(〃)连接所，记一。尸G_%万的面积分别为品邑，若ZBFD=ZBEF,求寸的值.

d2

32.(2023春•四川成都・七年级统考期末)ABC中，ZACB=90°,AC=BC,点。是BC边上的一个动点,

连接AD并延长，过点B作BFLAD交AZ)延长线于点足

(D如图1,若A。平分,BAC,AD=6,求8尸的值；

(2)如图2,M是FB延长线上一点，连接AM,当AD平分/M4C时，试探究AC、CD、A"之间的数量关

系并说明理由；

(3)如图3,连接CP,

①求证：NAFC=45°；

35

②SBCF=宁，SACF=21,求AF的值.

33.(2023春•上海浦东新•七年级上海市进才中学校考期末)如图，四边形CMCB中，OALOB,联结OC,

图1图2备用图

(1)如图1,当OC为-493的平分线时，试说明：OC1EF；

(2)如图2,延长3尸、OE交于点D,

①直接写出线段CD、OF、BF之间的数量关系；

②联结AD,若。歹=8,求四边形。LDB的面积.

34.(2022春・广东梅州•七年级校考阶段练习)如图1,A、B、C三点在一直线上，分别以AB、BC为边

在AC同侧作等边和等边BCE,AE交BD于点F,DC交BE于点、G.

(1)M=OC吗？BF=BG吗?请说明理由.

(2)如图2,若A、8、C不在同一直线上，那么这时上述结论成立吗？若成立请证明.

(3)在图1中，若连接尸、G,你还能得到什么结论？(写出结论，不需证明)

35.(2023春•陕西西安•七年级校考阶段练习)如图(1),已知C4=CB,CD=CE,^.ZACB^ZDCE.

⑴求证：AACDSBDE；

(2)将△ZJCE绕C点旋转(A、C、。三点在同一直线上除外)的过程中，若ED、AB所在的直线交于点F,

当点尸为边AB的中点时，如图2所示.求证：ZADF=ZBEF^

⑶在(2)的条件下，求证：ADLCD.

36.(2023春・全国•七年级期末)如图①，已知点。在线段A3上，在ABC和VADE中，AD=DE,AB=BC,

NEAD=ZAED=45°,ZBAC=ZBCA=45°,且M为EC的中点.

图①图②

(1)连接D暇并延长交8C于M写出线段CN与AD的数量关系：_；

(2)写出直线与的位置关系：_；

(3)将VADE绕点A逆时针旋转，使点E在线段C4的延长线上(如图②所示位置)，(2)中结论是否仍成立?

若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

37.(2023春・广西南宁•九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习)综合与实践

C

(1)问题发现：如图1,AACB和△OCE均为等腰三角形，AC=BC,DC=EC,/ACB=/DCE,点、A、

D、E在同一条直线上，连接BE.

①求证：AD=BE；将下列解答过程补充完整.

证明：ZACB=NDCE,

ZACD+NDCB=NDCB+

:.NACD=NBCE,

在.AC。和3CE中，

AC=BC

，ZACD=ZBCE,

CD=CE

:AACD%△BCE(SAS),

AD=BE；

②若ZACB=50°,则ZAEB的度数为.

(2)类比探究：如图2,八箕方和均为等腰直角三角形，NACB=NOCE=90。，点A、D、E在同一

条直线上，CM为△£>(?£中OE边上的高，连接BE.请判断AE、8E与CM三条线段的数量关系，并说明

理由.

(3)拓展延伸：在(2)的条件下，若BE=2,CM=1,请直接写出四边形ABEC的面积.

38.（2023春・广东梅州•八年级校考阶段练习）已知，ABC中，3E平分/ABC,BE交AC于点E,8平分

NACB,交AB于点。，BE与CD交于点O.

(1)如图1,求证：ZBOC=90°+^ZBAC.

图1

（2）如图2,连接。4,求证：平分NBAC.

图2

(3)如图3,若ZB4C=60。，BD=4,CE=2,求'的值.

图3

39.（2023春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）在..ABC中,

ZACB=90°,2NDAC+ZABC=90°.

DCDC

(SI)(图2)(S3)

(1)如图1,求证：A£)平分/SAC；

(2)如图2,过。作DE〃四交AC于E,过A作"IDE延长线，垂足为尸，求证：AF=CD；

⑶如图3,在(2)的条件下，过C作CPLAQ于P,。在Ab延长线上，NCQP=g/A4C,连接CQ,OQ,CP=3,

VOP。的面积为15,求A。的长.

40.(2023•陕西咸阳•统考三模)【观察发现】

(1)如图1,在ABC中，点尸为ABC内一点，连接弘PB,PC,若44P3=NAPC=110。，贝U

ZPBC+ZPCB=°；

【问题拓展】

(2)如图2,直角三角尺ABC如图放置，ZC4B=90°,NCB4=30。，AC=6,直线/经过点A交3c于

点E,点。在E4的延长线上，若池=5,NC4E=30。，求AWC与，ADB的面积之和；

【实践应用】

(3)如图3,四边形A3CD是一个避暑山庄的平面示意图，3c=720米，AB=500米，ZABC=&)°,BD

是一条彩灯带，点。到胡、3c所在直线的距离相等，A3砂区域是绿化区域，点E、尸分别在BDBC上，

3/=240米，EF//AB.为吸引游客，现要对绿化区域进行改造，设计师计划在A5上找点尸，将以点尸、

C、E为顶点的三角形区域改建成绿化区，要求改建前后的绿化区面积相等(即与一尸CE的面积相等)，

请你帮助设计师确定点P的位置，并求出此时AP的长.

图3

专题09轴对称图形的经典压轴题型专训

•【轴对称图形的40道经典压轴题型专训】

1.（2023春・江西宜春•七年级江西省丰城中学校考期末）在，ABC中，N4cB=90。，NABC=30。，..CDE是

等边三角形.点。在A3边上，点E在ABC外部，于点过点E作GE〃A5,交线段AC的延

长线于点G,AG=5CG,BH=3,则CG的长为（）

【答案】B

【分析】取的中点。，连接CO、EO、EB,根据题意得出COE和△BOE全等，然后得出一CEG和，DCO

全等，设CG=a,则AG=5a,OD=a,根据题意列出一元一次方程求出〃的值得出答案.

【详解】取A5的中点。，连接CO、EO、EB,

.•.ZA=60。，OC=OA,

.•...ACO为等边三角形，

:.CA=CO,

-CD石是等边三角形，

:.ZACD=ZOCE,

:._ACgJJCE,

.\ZCOE=ZA=60°,

.•.ZBO石=60。,

VOC=OD,DE=DE,ZBOE=ZCOE=60°

:.△COEmABOE,

:.EC=EB,

:.ED=EB，

QEHLAB,

:.DH=BH=3,

GEAB,

.•.NG=180。-ZA=120。，

,/△ACO为等边三角形，

・•.ZAOC=60°,

JZG=ZCOD=180°-60°=120°,

・・・.CD£是等边三角形，

JCD=CE,

设NOCD=a,则ZGCE=180°-ZACO-ZOCD-ZDCE=60°-a,

ZCDO=ZAOC-ZOCD=60。—a,

・•・ZCDO=ZGCE

在/CEG和DCO中，

ZG=ZCOD

<ZCDO=ZGCE

CD=CE

:「CEGgDCO,

:.CG=OD,

设CG=a,贝！JAG=5a,OD=a,

A,C=OC=4a,

QOC=OB,

A-ci=a+3+3,

解得，a=2,

即CG=2.

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握是解

题的关键.

2.（2023春•河北衡水•九年级校考阶段练习）题目：“如图，已知4408=30。，点N在边。4上，OM=x,

MN=2,尸是射线OB上的点•若使点尸，M,N构成等腰三角形的点尸恰好有3个，求x的取值范围.”对

于其答案，甲答：x=0,乙答：0<无<2,丙答：2<x<4,则正确的是（）

A.只有甲答得对B.甲、丙答案合在一起才完整

C.乙、丙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整

【答案】B

【分析】分别画出特殊位置的图形，然后根据图形判断即可.

【详解】解：①如图：当x=0时，存在满足条件的三个点尸:

②当尤=2时，存在满足条件的点P只有1个;

④当2Vx<4时，存在满足条件的三个点P;

⑤0<x<2时，不存在满足条件的点尸；

所以甲、丙答案合在一起才完整.

故选B.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定等知识，寻找特殊位置并画出图形是解答本题的关键.

3.（2023秋•八年级单元测试）如图，ZBAD=ZCAE^90°,AB=AD,AE=AC,尸是CB延长线上一点,

AF±CF,垂足为尸，下列结论：①BC=DE；②AF=CF；③四边形ABCD的面积等于;AC?；④

SABCD=S&ABF+S&ADE；其中正确的是（）

C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】证明丝△ADE（SAS）,得出BC=£>E,故①正确；由AF_LCF,得出NAFC=90。,

AABC名八ADE,得出/ACF=NE=45。，进而得出为等腰直角三角形，故②正确；由

2故③正确;

+S.ACD得出S四边形"CD=SADE+SACD=SACE=^AC-AE=^AC由

ABF+^AADE=^/\ABF+^AABC=^AACF不能确定8小寸=5-8,故④不正确，即可得出答案.

【详解】解：,ZCAE=90°,AE=AC,

:.ZE=ZACE=45°,

ZBAD=ZCAE=90°,

/.ABAC+ZCAD=ZEAD+ZCAD,

:.ZBAC=ZEAD,

在-ABC和VAD£中，

AB=AD

<ZBAC=ZDAEf

AC=AE

.jABC丝AD石（SAS）,

BC=DE,

故①正确；

AF±CF,

/.ZAFC=90°,

.AABC^AADE,

,\ZACF=ZE=45°f

■.ZFAC=ZACF=45°,

:.AF=CF,

故②正确；

u四边形A5CD一°ABC丁QACD，

112

=

'S四边形ABC0=^tADE+S,AC。=SACE万AC.AE=—AC,

故③正确；

°ABF丁0ADE~UABF丁0.ABC~°ACF，

不能确定S/^ACF=，故④不正确.

故选：c.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是

解题的关键.

4.（2023春・山东济南•八年级校联考期中）如图所示，已知U1BC和，BDE都是等边三角形，且A,B,D

三点共线，下列结论：①平分NAHD；②.BFG是等边三角形；③FG〃AD；④

CH+HE+HB=AH+HD.其中正确的有（）

E

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】过5作于M,BNLCD千N,由题中条件可得a4%@^CBZ),得出对应边、对应角相

等，进而得出一3GD三△BEE,ABM=.CBN,再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结

论.

【详解】解：—ABC与，BDE为等边三角形,

:.AB=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=60°,

:.ZABE=ZCBD,

即=BD=BE,ZABE=NCBD,

\ABE@CBD(SAS),

=

S的日SCBD>AC=CD,ABDC=ZAEB,

又iZDBG=ZFBE=60°,

ABGD=.BFE(ASA),

BG=BF,ZBFG=NBGF=60°,

过B作硼/LAE于M,3N_LCD于N,

=

S,.ES.CBD,AE=CD,

:.-xAExBM=-xCDxBN,

22

BM=BN,

:.BH平分ZAHD,

.•.①正确；

.•.△BEG是等边三角形，

.•.②正确；

:.NGFB=NCBA=60。,

：.FG//AD,

.•.③正确；

ABE=ACBD,

:.NBAE=NBCD,

NBAE+/BDC=NBCD+NBDC=ZABC=60°,

:.ZAHD=120°,

BH平分ZAHD,

.-.ZBHA=ZBHD=6O°,

:.BH=2MH=2NH,

在RtABM和RtCBN中，

jAB=CB

[BM=BN）

.'.RtABMRtCBN,

:.AM=CN,

同理可得DN=EM,

:.CH+HE+HB=CH+HN+HE+HM^AM+HN+DN+HM^AH+DH,

.•.④正确；

故选：D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角

形解决问题，属于中考常考题型.

5.（2023春•湖北黄石•七年级统考期中）已知，四边形ABCD中，AD//BC,ZA=NBCD=ZABD,DE平

分/ADB,下列说法：①AB〃CE＞；②EDLCD；®ZDFC=ZADE+ZBCE；④

ZA+NDEC—NECB=90°.其中错误的说法有（）

AD

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【分析】根据平行线性质求出/ABC=/AOC，得出NA+/A£>C=180。，即可推出AB〃CD,故说法①正

确；根据等腰三角形性质求出DE2即可推出EDLCD,故说法②正确；过点E作EG〃3C,易得

ZDEF=NGEC+NDEG中NBCE,结合三角形外角的性质以及角平分线的性质可知

ZDFC丰ZADE+ZBCE,故说法③错误；由三角形内角和定理易得/DEC+ZDCE=90。，结合NA=ZBCD,

可证明ZA+ZDEC-ZECB=90°,故说法④正确.

【详解】解：

ZA+ZABC=180°,ZADC+ZBCD=180°,

'：ZA=NBCD,

：.ZABC=ZADC,

：.ZA+ZADC=180°,

AAB//CD,故说法①正确；

VZA=ZABD,OE平分/ADB,

DE.LAB,

:.DELCD,故说法②正确；

如下图，过点E作EG〃台C,

NGEC=/BCE,

：.ZDEF=Z.GEC+ZDEG手NBCE,

,/DE平分

ZADE=ZFDE,

又ZDFC=Z.FDE+ZDEF,

ZDFC=ZADE+NDEF,

：.ZDFCZADE+ZBCE,故说法③错误；

DE1CD,

ZCDE=90°,

：./.DEC+ZDCE+Z.CDE=180°,

ZDEC+ZDCE=180°-ZCDE=90°,

,/ZA=ZBCD,

：.ZDCE=/BCD-ZECB=ZA-ZECB,

ZA+ZDEC-ZECB=90°,故说法④正确.

综上所述，说法错误的是③，共计1个.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了平行线判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的定

义和性质等知识，解题关键是正确推导A3〃CD.

6.（2022秋・辽宁抚顺・八年级统考期末）如图，在中，/ABC=45。，CDLAB于点。,8E平分NABC,

且班，AC于点E,与。相交于点F反是BC边的中点，连接。归与8E相交于G,下列结论:®BF=AC；

②A£=g3P；③ZA=67.5°；@S^ADGE=SmGHCE.⑤△JDGF是等腰三角形.其中正确的有（）

A.5个B.2个C.4个D.3个

【答案】C

【分析】只要证明43留名△QM、AABE^ACBE（ASA）,即可判断①②正确，根据角平分线的定义利

用即可判断③；过G作于点根据角平分线定理GM=GH,结合BD>BH,可得

S^BDG>S^BGH，又空△可£可得S谀=SCBE,即可判断④错误，证明NDGF=/DFG可判断⑤正确.

【详解】①，CD±AB,

ZCDA=ZBDF=90°,

ZDBF+ZDFB=180。一ZBDF=90°,

又，BE±AC,

:.ZBEA=90°,

:.ZDBF+ZDAC=1800-ZBEA=90°,

.\ZDAC=ZDFB,

又・ZABC=45。，

/.ZDCB=180。-ZABC-ZBDF=45°,

・・・△BCD是等腰直角三角形，

BD=CD9

在IACD和一FBD中，

/DAC=/DFB

<ZCDA=ZBDF,

CD=BD

/.ACD^FRD(AAS),

:.AC=BF.故①正确；

②郎平分/ABC,BELAC,

:.ZABE=NCBE,ZBEA=ZBEC=90°,

在一ABE和△(?跖中，

NABE=ZCBE

<BE=BE,

ZBEA=ZBEC

ABE"CBE(ASA),

/.AE=CE,

.,.AC=AE+CE=2CE,

又，AC=BF,

:.BF=2CE,

即：AE=；B尸,故②正确;

③'ZABC=45°,BE平分，ABC,

ZABE=-ZABC=22.5°,

2

BELAC,

:.ZAEB=9Q°,

;.ZA=67.5°,故③正确；

④如图所示，过G作GM,即于点M,

H为等腰直角△BCD斜边BC的中点,

DHA.BC,即NGHB=90。，

又.BE平分/ABC,GMLBD,

:.GM=GH,

又•.BD>BH,

-2BDG2BGH，

又.ABEaCBE

,・•0q,ABE.—0v,CBE，

一S四边形ADGE=§ABE~BDG，S四边形G"CE-SCBE—SBGH,

…S四边形ADGE<S四边形GHCE，故④错误；

@ZHBG+ZBGH=180°-ZGHB=90°,ZDBF+ZDFG=180°-ZBDF=90°,ZHBG=ZDBF,

:./BGH=/DFG,

又,ZBGH=/DGF,

ZDGF=Z.DFG,

.•VDG尸为等腰三角形，故⑤正确.

「•正确的为①②③⑤，共计4个，

故选：c.

【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，

三角形的面积等知识点的综合运用，第四个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键.

7.（2022秋・浙江金华•八年级校考期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,^BAC=30°,AG是

底边BC上的高，在AG的延长线上有一个动点连接C。，作/CDE=150。，交AB的延长线于点E,

/CDE的角平分线交边于点尸，则在点。运动的过程中，线段E尸的最小值（）

A.6B.4C.3D.2

【答案】D

【分析】作DMLAB于作DNLAC于N,证明MDE^A©C（ASA）,推出DE=DC,再证明

EDF^CDF（SAS）,推出EF=CF,得到当CFLAB时C尸有最小值，即所有最小值，由N3AC=30。,

AC=4,求出CF.

【详解】解：作。“，48于M，作DNLAC于N,

；.AG平分，BAC,即AD平分，54C,

DMLAB,DNLAC,

:.DM=DN,

NB4C=30。，NAMD=NAND=90。,

.\^MDN=150°,

/CD£=150。，

/.ZMDE=150°-ZCDM=NNDC,

MDE-7VDC(ASA),

/.DE=DC9

DF平分NCDE,

:.ZEDF=ZCDF,

连接。尸，

DF=DF,

.\^EDF^CDF(SAS),

:.EF=CF,

.•.当CFLAB时C尸有最小值，即所有最小值，

此时，/B4C=30。，AC=4,

CF^-AC=2,

2

故选：D.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定即性质，等腰三角形的三线合一的性质，直角三角形30度角的性质,

熟记全等三角形的判定定理是解题的关键.

8.(2023•安徽合肥•校联考三模)如图，在,ABC中，/34。=90。,/8=60。,钿=4,若。是8。边上的动点,

则2AD+DC的最小值是()

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】过点C作射线CE,使N3CE=30。，再过动点。作£＞尸，CE,垂足为点尸，连接AD,在RtADFC

中，/。'=30。,。/=』。(7,24。+£^=2(/1。+1。0=2(4。+。尸)当A,。，尸在同一直线上，即AFLCE

22

时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段"的长.

【详解】解：过点C作射线CE,使NBCE=30。，再过动点。作。尸，CE,垂足为点尸，连接AD,如图所

在Rt△。尸C中，ZDCF=30°,

：.DF=-DC,

2

,/2AD+DC=2(AD+1DC)

=2(AD+DF),

.•.当A,D,尸在同一直线上，即AFLCE时，AD+£犷的值最小，最小值等于垂线段AF的长，

此时，ZB=ZADB=60°,

△ABD是等边三角形，

/.AD=BD=AB=4,

在忒ABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=4,

BC=8,

：.DC=4,

DF=-DC^2,,

2

：.AF=AD+DF=4+2=6,

：.2(AD+DF)=2AF=U,

：.2(AO+DC)的最小值为12,

故选：D.

【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会

用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题.

9.(2023•黑龙江绥化•校考二模)如图.ABC中，AC=BC=5,AB=6,CD=4,CD为ABC的中线，点

£、点厂分别为线段CD、C4上的动点，连接AE、EF,则AE+EF的最小值为()

A.4.8B.2.4C.6D.5

【答案】A

【分析】连接BE,过3点作⑻VLAC于N点，根据等腰三角形的性质可知CD垂直平分AB,接着根据垂

线段最短可知：当&E、/三点共线，且此线与AC垂直时AE+EF有最小值，最小值为3N的长，再利用

面积公式可得Sv^cM^xABxCOnlxBNxAC,即有8N=«等2,问题随之得解.

【详解】连接班，过2点作⑻VLAC于N点，如图，

ABC中，AC=3C=5,AB=6,8为，ABC的中线，

ACDA.AB,AD=BD=-AB=3,

2

CD垂直平分AB,

，AE=BE,

/.AE+EF=BE+EF,

根据垂线段最短可知：当B、E、E三点共线，且此线与AC垂直时他+砂有最小值,

/.AE+EF的最小值为BN的长，

VCDLAB,BNLAC,

S.r,=—xABxCD=—xBNxAC,

'vAB。r22

•・施—

VAC=BC=59AB=6,CQ=4,

.B7V=ABxCD=6x4=4_8)

AC5

AE+EF的最小值为4.8,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了垂线段最短，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，掌握垂线段最短,

合理构筑辅助线，是解答本题的关键.

10.（2023春・全国•八年级专题练习）如图，在.?1BC中，ABAC=90°,AB=AC,。为边8C上一动点,

连接AD.以为底边，在AD的左侧作等腰直角三角形VADE,点f是边AC上的定点，连接FE,当

AE+FE取最小值时，若=则NA£F为（）（用含a的式子表示）

C.900+aD.1800-2«

【答案】D

【分析】如图，取的中点H,连接AH,交ED于I,作直线HE,交A3于G,设/曲。=£,取AD的

中点J,连接〃?，JH,证明/£H4=45。，则E在直线“E上运动，且HELM,当B,E,尸三点共线

时，AE+EF=BE+EF=BF,此时最短，从而可得结论.

【详解】解：如图，取BC的中点H,连接交即于/,作直线交A3于G,

VZBAC=90°,AB=AC,

:.AH=BH=CH,NBAH=/ABC=NACB=45。,AH1,BC,

:等腰直角三角形AE。，AE=ED,

：.ZEAD=ZEDA=45°,

"HAD=/3,

取A。的中点J,连接JE,JH,

:,JE=JH=JA=JD,EJLAD,

:•/JAH=/JHA=（3,ZJEH=NJHE,

：.AHJD=AJAH+AJHA=2p,

.・.ZEJH=180°-90°-2y0=90°-2/7,

ZJHE=g（180。一90。+2月）=45。+尸=ZEHA+0,

；・NEHA=45。,

JE在直线HE上运动，且

•:HA=HB，

・・・HE是AB的垂直平分线，

：・AE=BE,ZBAE=ZABE,

当5,E,尸三点共线时，

AE+EF=BE+EF=BF,此:时最短，

ZBAE-^-ZEAF=900=ZABE-^-ZAFB,

：.ZEAF=ZAFB=af

：.ZAEF=18Q0-2a,

故选D.

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性

质，三角形的内角和定理的应用，证明E在直线HE上运动是解本题的关键.

11.（2022秋・山东聊城•八年级校考期末）如图，线段A3,BC的垂直平分线乙，4相交于点O.若ZOEB=46°,

贝IZAOC=（）

A.92°B.88°C.46°D.86°

【答案】B

【分析】根据线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到/AOC=2/ABC,再利用垂直的定义结合直

角三角形两锐角互余得到//铝。=90。-/。班=90。-46。=44。，计算即可.

【详解】解：如图，连接80并延长至点P,4与线段AB交于忆

*2

••X，4是A3、BC的垂直平分线，

：.OA=OB,OB=OC,NODE=NOFA=90。,

：.ZA=ZABO,NC=/CBO

：.ZAOP^2ZABO,NCOP=2NCBO,

：.ZAOC=ZAOP+NCOP=2（ZABO+NCBO）=2ZABC,

ZOEB=46°,NOE”90。，

ZABC=90°-ZOEB=90°-46°=44°,

ZAOC=2ZABC=2x44°=88°,

故选：B

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，

注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用.

12.（2022秋・江苏无锡•八年级校考期中）如图，在等腰RABC中，ZA=90°,8。平分/ABC,BE平分

NDBC,M、N分别为射线BE、BC上的动点，若比）=10,则。W+M2V的最小值为（）

C

A.7B.6C.5D.10

【答案】C

【分析】过点C作交3。的延长线于点尸，则G0+MN的最小值为延长3ACF两线交于

点G,证明一GBFMCBF,根据全等三角形的性质，得到Gb=b=gcG=g8D.

【详解】过点。作交